泛延拓矩陣的極分解與廣義逆

袁暉坪,呂福起,何 靜,江維瓊,易 強,呂希元

(重慶財經學院 軟件學院,重慶 401320)

1 引言與預備知識

矩陣的極分解在大數據、人工智能和數值分析等領域應用廣泛[1-8],如在對寬帶信號測向研究中,通過對方向矩陣進行極分解構造聚焦矩陣,不需譜峰搜索便可確定來波方向的估計值,從而極大提高其計算精度和分辨率[6]. 矩陣的廣義逆在數理統計、軟件工程和隨機規劃等領域具有重要作用[9],許多實際問題中關于行(列)或對角線的對稱圖像(矩陣),若用計算機直接對高維數據矩陣進行分解,則計算量大、效率低. 若能發現矩陣具有某種行或列的對稱性,則問題即易解決,故尋找矩陣中某一塊與其他塊之間的結構關系非常重要[7-15]. 文獻[7-8]探討了行(列)對稱矩陣及酉對稱矩陣的極分解; 文獻[12-13] 研究了泛延拓矩陣的QR分解和奇異值分解. 本文進一步研究泛延拓矩陣的極分解與廣義逆,給出泛延拓矩陣的極分解與廣義逆的公式和快速算法,并給出泛延拓矩陣極分解的若干擾動界. 本文用AH和A+分別表示矩陣A的共軛轉置陣與Moore-Penrose逆,m×n表示m×n復陣集,表示秩為r的m×n復陣集,‖‖F表示Frobenius范數.

定義1[12]設A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為m階正交矩陣,稱

為A的k次泛行延拓矩陣,A稱為其母矩陣,其中Ai=QiA,i=1,2,…,k-1. 當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,記

R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定義2[12]設A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為n階正交矩陣,稱

C(A;Q1,…,Qk-1)=(A,A2,…,Ak-1)

為A的k次泛列延拓矩陣,A稱為其母矩陣,其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1. 特別地,當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,簡記為

C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;Q).

顯然,當Q1=Q2=…=Qk-1=I(單位矩陣)時,R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A)即為A的第一類k次行延拓,C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A)=(A,A,…,A)即為A的第一類k次列延拓[10]; 當Q1=Q2=…=Qk-1=J(單位反對角矩陣)時,R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;J)即為A的k次行周期對稱陣,C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;J)即為A的k次列周期對稱陣[11]；當Q1,Q2,…,Qk-1為實酉變換矩陣時,R(A;Q1,…,Qk-1)即為A的k次行酉對稱矩陣,C(A;Q1,…,Qk-1)即為A的k次列酉對稱矩陣[7].

2 泛行(列)延拓矩陣的極分解和廣義逆公式

引理1設Q1,Q2,…,Qk-1均為n階正交陣,U為n階酉陣,則

均為kn階酉矩陣.

證明：因為UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I,所以易驗證：

同理可證(P1(U))HP1(U)=Ikn,故P1(U)為kn階酉矩陣. 同理可證P2(U)為kn階酉矩陣. 證畢.

以下若無特殊說明,所有酉陣P1(U),P2(U)均與引理1相同.

引理2[15]設A∈m×n,則對任何酉矩陣U∈m×m,V∈n×n均有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

證明：1) 由引理1知P1(U)為酉矩陣,因為

又由引理1知P2(U)為酉矩陣,因為

2) 由1)、引理2及文獻[15]知,

定理2設正規陣A∈n×n的極分解為A=HU=UH,其中U為酉陣,H為正定Hermite陣,且AAH=H2,則存在兩個酉陣P1(U),P2(U)∈kn×kn,使得：

證明：與定理1的證明類似,故略.

即PPH=Ikn,使得

證明：易驗證PPH=Ikn,且

即PPH=Ikm,使得

證明：易驗證PPH=Ikm,且

3 泛行(列)延拓矩陣極分解的擾動分析

引理3設μ1,μ2,…,μn,ν1,ν2,…,νn均為復數,則

證明：由復數的性質及Cauchy-Schwarz不等式,有

引理41) 設A∈m×n,Bij∈n×s,i,j=1,2,…,k,則

2)

證明：由矩陣范數的定義及引理3 可知結論成立.

證明：由定理2、引理4和引理5,知

證畢.

證明：類似于定理5的證明,故略.

泛行延拓陣R(A;Q1,…,Qk-1)的極分解也有類似于定理5和定理6的擾動界.

4 泛延拓矩陣的極分解與廣義逆算法

根據上述討論,可得下列算法.

步驟1) 求矩陣A的的極分解A=UH2；

步驟2) 計算定理1中的酉矩陣P1(U)；

步驟1) 求矩陣A的極分解A=H1U；

步驟2) 計算定理1中的酉矩陣P2(U)；

類似可得與定理2、定理4、定理5的相應分解算法.

5 數值實例

使得

則

綜上所述,本文給出了泛行(列)延拓矩陣與母矩陣的極分解、廣義逆與擾動界之間的結構關系及一些計算公式和算法,結果表明,用母矩陣代替泛行(列)延拓矩陣計算極分解、廣義逆與擾動界,既能簡化計算,又不會降低數值精度.