有限群的可補子群的相關性質

周玉英

(哈爾濱商業大學 基礎科學學院,哈爾濱 150028)

1 引言與預備知識

用G表示某個有限群,F*(G)表示群G的廣義Fitting子群,F表示某個群系. 本文所用術語和符號可參見文獻[1-4]. 設H≤G,如果存在K≤G,使得G=HK且H∩K=1,則稱H是G的可補子群或稱H在G中可補,并稱K是H在G中的一個補群. 特殊子群的可補性質對有限群的結構有重要影響. 例如,G的任一Sylowp-子群均在G中可補當且僅當G中存在Hallp′-子群[1].

Hall[5]證明了如下經典定理:G是可解群當且僅當G的任一Sylow子群均在G中可補. 受Hall定理的啟發,Arad[6]提出了如下猜想: 如果G的任一Sylow 2-子群及任一Sylow 3-子群均在G中可補,則G是可解群. Arad等[7]用有限單群分類定理證明了Arad猜想,進而將Hall定理推廣為如下形式:G是可解群當且僅當G的任一Sylow 2-子群及任一Sylow 3-子群均在G中可補. Miao等[8]引入了M-可補子群的概念: 設H>1是G的子群,如果存在G的子群B,使得G=HB且對H的任一極大子群H1,都有H1B1的極小子群,即H是G>1的素數階子群,則H在G中M-可補當且僅當H在G中可補. Kang[9]引入了弱可補子群的概念: 設H>1是G的子群,如果存在G的真子群K,使得G=HK,則稱H是G的弱可補子群或稱H在G中弱可補. 易證H在G中可補蘊含H在G中弱可補,H在G中M-可補也蘊含H在G中弱可補. 設H是G>1的極小子群,即H是G>1的素數階子群,則易證H在G中弱可補當且僅當H在G中可補. 文獻[10-14]討論了可補子群、M-可補子群和弱可補子群的概念和性質,本文考慮有限群的可補子群對群結構的影響,所得結果推廣了文獻[12-15]的相關結果.

引理4[16]設p,q是素數,a,b是自然數. 假設|G|=paqb,則G是可解群.

引理5[17]設G是非交換單群,p,q是|G|的兩個不同素因子,a,b是正整數. 假設存在G的子群H1和H2,使得|G∶H1|=pa且|G∶H2|=qb,則G?PSL(2,7).

2 主要結果

定理1設F是包含全體超可解群的群系,M>1是G的正規子群,且G/M∈F. 如果對M的任一極小子群H,H∩F*(GF)均在G中可補,則G∈F.

N=N∩G=N∩(HK)=H(N∩K).

注1設F是包含全體交換群的群系,M是G的正規子群,且G/M∈F. 易見GF≤M∩G′. 因此,F*(GF)≤F*(M∩G′)≤F*(M)∩G′.

結合注1,可得如下推論:

推論1[13]設F是包含全體超可解群的群系,M是G的可解正規子群,且G/M∈F. 如果F(M∩G′)的任一極小子群均在G中弱可補,則G∈F.

推論2[14]設F是包含全體超可解群的飽和群系,M是G的正規子群,且G/M∈F. 如果F*(M)∩G′的任一極小子群均在G中弱可補,則G∈F.

定理2設M是G的正規子群,p是|M|的最小素因子,且P∈Sylp(M). 假設P的任一極小子群均在G中可補,則M在G中p-超循環嵌入. 特別地,M是p-冪零群.

H∩(M∩K)=H∩K=1,

定理3設M>1是G的正規子群,且M的任一極小子群均在G中可補,則M在G中超循環嵌入. 特別地,M是超可解群.

推論3假設G>1的任一極小子群均在G中可補,則G是超可解群.

推論4設M>1是G的正規子群,X是G的正規子群,且滿足F*(M)≤X≤M. 假設X的任一極小子群均在G中可補,則M在G中超循環嵌入. 特別地,M是超可解群.

證明: 由定理3可知X在G中超循環嵌入,故F*(M)在G中超循環嵌入. 由引理7可知M在G中超循環嵌入. 特別地,M是超可解群. 證畢.

推論5設F是包含全體超可解群的飽和群系,M>1是G的正規子群且滿足G/M∈F,X是G的正規子群且滿足F*(M)≤X≤M. 假設X的任一極小子群均在G中可補,則G∈F.

證明: 由推論4可知M在G中超循環嵌入,由引理6可知G∈F. 證畢.

定理4如果G的任一奇數階Sylow子群均在G中可補,則G是可解群.

證明: 先證明G的任一合成因子都是素數階群. 用反證法. 假設存在G的合成因子K/L,使得K/L不是素數階群,則K/L是非交換單群. 由引理4知|π(K/L)|≥3,由引理3易檢驗K/L滿足該定理的全部條件,即K/L的任一奇數階Sylow子群均在K/L中可補. 特別地,K/L滿足引理5的全部條件. 由引理5知K/L?PSL(2,7),但168階單群PSL(2,7)中沒有Hall 3′-子群(否則PSL(2,7)同構于A3的一個子群,矛盾),故K/L?PSL(2,7)的任一Sylow 3-子群均不是可補子群,矛盾. 從而G的任一合成因子都是素數階循環群,進而G是可解群. 證畢.

注2定理4的條件“G的任一奇數階Sylow子群均在G中可補”不能削弱為“G的任一奇數階Sylow子群均在G中弱可補”.

例1令G=PSL(2,7)×3,則|G|=23×32×7. 由于在PSL(2,7)中有24階子群,從而G中有72階子群,即G的任一Sylow 7-子群均在G中可補,從而在G中弱可補. 對任一R∈Syl3(G),注意到PSL(2,7)

定理5設|π(G)|=n,其中n≥3. 假設存在|G|的(n-1)個互不相同的素因子p1,p2,…,pn-1,使得對任一1≤i≤n-1,G的任一Sylowpi-子群均在G中可補. 如果G的任一合成因子均不同構于PSL(2,7),則G是可解群.

證明: 先證明G的任一合成因子都是素數階群. 用反證法. 假設存在G的合成因子K/L,使得K/L不是素數階群,則K/L是非交換單群. 由引理4知|π(K/L)|≥3,由引理3易見K/L滿足該定理的全部條件,由引理5知K/L?PSL(2,7),與G的任一合成因子均不同構于PSL(2,7)矛盾. 于是證明了G的任一合成因子都是素數階群,從而G是可解群. 證畢.

注3注意到|PSL(2,7)|=23×3×7,并且PSL(2,7)的任一Sylow 2-子群及任一Sylow 7-子群均在PSL(2,7)中可補,但PSL(2,7)為非交換單群,進而是非可解群. 因此,定理5的條件“G的任一合成因子均不同構于PSL(2,7)”必不可少.

由定理5可得如下推論.

推論6[15]設|π(G)|=n,其中n≥3. 假設存在|G|的(n-1)個互不相同的素因子p1,p2,…,pn-1,使得對任一1≤i≤n-1,G的任一Sylowpi-子群均在G中可補. 如果G的任一截斷均不同構于PSL(2,7),則G是可解群.