Sobolev空間子集上的采樣集條件

李慧敏,李水艷

(河海大學(xué) 理學(xué)院,南京 211100)

0 引 言

在數(shù)字信號處理中,一個連續(xù)信號通常用其離散樣本{f(xj):j∈J}表示,其中J是一個可數(shù)索引集. 采樣問題主要包括下列兩個目標(biāo)[1]:

2) 找到有效、快速的數(shù)值算法,從X上的樣本中恢復(fù)任何函數(shù)f∈V.

本文主要考慮采樣集滿足什么條件時函數(shù)才可從樣本中穩(wěn)定地恢復(fù). 如香農(nóng)采樣定理[2]：對每個f∈L2()和其可通過從樣本點{f(xj):j∈}中被完全恢復(fù),其中在上和L2()上的收斂性一致.

引入采樣不等式：

(1)

其中c和C是獨立于f的正常數(shù). 不等式(1)表明,采樣值f(xj)的微小變化只引起了f的微小變化,即采樣是穩(wěn)定的,從其樣本中重建的f是連續(xù)的. 因此,當(dāng)不等式(1)成立時,集合X={xj:j∈J}是函數(shù)類V?L2(d)的穩(wěn)定采樣集[1,3].

目前,關(guān)于采樣集穩(wěn)定性的研究已有許多成果. 例如: Aldroubi等[1]研究了在平移不變空間中的非均勻采樣和重構(gòu); 文獻[4-5]研究了加權(quán)有限生成移位不變空間的采樣集條件和應(yīng)用；文獻[6-7]分別討論了在乘法生成的移位不變空間中隨機抽樣和重構(gòu)問題以及有界導(dǎo)數(shù)信號的隨機抽樣和近似問題.

本文主要討論Sobolev空間子集Vα中函數(shù)f采樣集的穩(wěn)定問題,即在X={xj:j∈J}采樣集上找到刻畫條件,使得式(1)成立. 在d上定義函數(shù)類

Vα∶={f|f在d上連續(xù),‖Df‖L2(d)≤α‖f‖L2(d)},

一般地,假設(shè)采樣值{f(xj):j∈J}可精確測量并不符合實際,一個更好的假設(shè)采樣數(shù)據(jù)形式為

(2)

(3)

因此,本文只需考慮對任意的函數(shù)f∈Vα,采樣集X={xj:j∈J}要滿足使式(3)成立的條件.

1 預(yù)備知識

定義f在d上的L2范數(shù)為

定義2表明,任何采樣點到其下一個相鄰點的距離最多為2γ. 因此,γ是密度的反比,即如果增加γ,則每個單位立方體的點數(shù)將減少.

定義3[4]適應(yīng)于{Bγ(xj)}j∈J的有界單位劃分(BPU)是滿足下列條件函數(shù){βj}j∈J的集合:

1) 0≤βj≤1,?j∈J;

2) suppβj?Bγ(xj);

引理1(Poincaré不等式)[12]設(shè)U是d上的有界連通開子集,具有C1邊界?U. 對于1≤p<∞,存在一個僅依賴于d,p和U的常數(shù)C,使得

‖u-(u)U‖Lp(U)≤C‖Du‖Lp(U),u∈W1,p(U),

2 主要結(jié)果

下面給出采樣集X={xj:j∈J}的刻畫條件,使得在該條件下,函數(shù)可從樣本中被穩(wěn)定地恢復(fù). 對任意函數(shù)f∈Vα,用式(2)的采樣方法可得采樣值{f(xj):j∈J}. 只需證明采樣集X={xj:j∈J}滿足一定條件時,采樣不等式(3)成立,即可說明函數(shù)f∈Vα能從樣本{f(xj):j∈J}中被穩(wěn)定地恢復(fù).

定理1假設(shè)采樣點集X={xj:j∈J}在d上是γ-稠密的,權(quán)函數(shù){ψxj}滿足下列條件:

3) suppψxj?xj+[-h,h]d,這里h是一個充分小的正數(shù).

則存在常數(shù)c,C>0,使得對任意函數(shù)f∈Vα,下列采樣不等式成立：

(4)

這里V(δ,d)是半徑為δ的d維球體體積.

‖f‖L2(d)≤‖f-Qxf‖L2(d)+‖Qxf-Pxf‖L2(d)+‖Pxf‖L2(d).

1) 先估計‖f-Qxf‖L2(d),有

再利用定義3中βj的性質(zhì)和引理1中Poincaré不等式,可得

這里常數(shù)C1僅依賴于維數(shù)d和suppβj,常數(shù)C2僅依賴于j,γ由定義2給出. 對任意的函數(shù)f∈Vα,有‖Df‖L2(d)≤α‖f‖L2(d). 因此,

‖f-Qxf‖L2(d)≤C1C2γ‖Df‖L2(d)≤C1C2γα‖f‖L2(d).

2) 估計‖Qxf-Pxf‖L2(d). 同理,利用Poincaré不等式和βj的性質(zhì)以及權(quán)函數(shù){ψxj}的限制條件可得

這里常數(shù)C1僅依賴于維數(shù)d和suppβj,常數(shù)C2僅依賴于j,γ由定義2給出.

3) 估計‖Pxf‖L2(d)：

這里V(γ,d)是半徑為γ的d維球體體積.

綜合上述估計1)～3),可得

整理得

從而

因此采樣不等式(4)成立.