冪等自反環中廣義逆的包含性質

孫玉虎,王 龍

(1. 中國礦業大學徐海學院 基礎教學部,江蘇 徐州 221008；2. 揚州大學 數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

1 預備知識

目前,關于環中廣義逆包含性質的研究已有很多結果[1-8],本文在冪等自反環中討論廣義逆的包含性質.

設R表示一個有單位元的結合環,如果存在一個元素x∈R,使得方程

axa=a

(1)

成立,則稱元素a(von Neumann)正則. 此時,元素x稱為a的內逆(或者a的{1}-逆). 本文用Reg(R)表示環R中所有正則元素的集合. 如果Reg(R)=R,則稱環R為正則環. 通常一個正則元可能有不止一個內逆,用a{1}表示元素a所有內逆的集合. 若存在一個元素x∈R使得方程

xax=x

(2)

成立,則稱元素x是a的一個外逆(或者a的{2}-逆),用a{2}表示元素a所有外逆的集合. 如果存在一個元素x∈R既是a的內逆又是a的外逆, 則稱x為a的一個自反逆. 用a{1,2}表示元素a所有自反逆的集合.

設*是R的一個反自同構,如果對任意a∈R均有(a*)*=a,則稱*為R的一個對合. 帶有一個對合*的環稱為*-環. 如果關于x的方程(1)、方程(2)及下列兩個方程有解：

(ax)*=ax,

(3)

(xa)*=xa,

(4)

則稱*-環R中元素a是Moore-Penrose可逆的[1]. 此時,解x是唯一的,稱為元素a的Moore-Penrose逆,記為a?. 一般元素未必是Moore-Penrose可逆的. 若存在元素x滿足方程(1)和方程(3),則稱元素a是{1,3}-可逆的,x稱為元素a的一個{1,3}-逆. 通常情況下,a的{1,3}-逆不是唯一的. 用符號a{1,3}表示a的所有{1,3}-逆集合. 類似地,用符號a{1,4}表示a的所有{1,4}-逆集合.

引理1[2]假設R是一個半素環,a和b為環R中兩個正則元. 如果a{1}=b{1}或a{1,2}=b{1,2},則a=b.

引理2[3]假設R是一個半素環,a和b為環R中兩個正則元. 如果a{1,2}?b{1,2},則a=b.

如果存在一個環中可逆元素u∈R使得方程aua=a成立,則稱元素a為單位正則的[4]. Lee[5]考慮了素環中廣義逆的包含性質,推廣了Hartwig等[6]關于單位正則元的相關結果.

引理3[5]假設R是一個素環,a和b為環R的兩個正則元. 如果a{2}?b{2},則a=b.

2 主要結果

用E(R)表示環R中所有冪等元的集合. 對于環中任意元素a,e∈E(R),若aRe=0蘊含著eRa=0,則稱環R是左冪等自反的[7]. 若eRa=0蘊含著aRe=0,則稱環R是右冪等自反的. 如果環R既是左冪等自反的也是右冪等自反的,則稱環R是冪等自反的.

命題1如果R是一個半素環,則R是冪等自反的.

證明：對任意元素a,e∈E(R),使得aRe=0,可以證明eRa=0. 事實上,若eRa≠0,則存在元素b∈R使得eba≠0. 注意到

ebaReba=eb(aRe)ba=0,

由于R是一個半素環,從而可得eba=0,矛盾,即R是左冪等自反的. 類似可證明R也是右冪等自反的.

例1設R=4,模4剩余類環. 則易驗證R是冪等自反的,但不是半素的. 因此,命題1的逆命題未必成立.

定理1假設R是一個冪等自反*-環,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}?b{1,3},則b*b=b*a,Rb*?Ra*.

證明：假設w∈a{1,3},則易驗證對任意x∈R,

v=w+(1-wa)x∈a{1,3}.

由題設a{1,3}?b{1,3},可知w,v∈b{1,3},進一步有

bwb=b,b[w+(1-wa)x]b=b.

因此,b(1-wa)xb=0. 設b0∈b{1,3},則b(1-wa)xbb0=0. 由于環R是一個冪等自反環,則

bb0xb(1-wa)=0.

取x=1,則有b=bwa. 由于w∈b{1,3},則bw=(bw)*且b*bw=b*(bw)*=(bwb)*=b*. 對b*bw=b*右乘a可得b*bwa=b*a,即b*b=b*a. 此外,由于b*bw=b*,b=bwa,則

b*=b*bw=b*bwaw=b*bw(aw)*=b*bww*a*∈Ra*.

證畢.

類似定理1的證明,可得如下結果:

推論1假設R是一個冪等自反*-環,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若b{1,3}?a{1,3},則a*a=a*b,Ra*?Rb*.

對半群S中的兩個元素a和b,如果aS=bS且Sa=Sb,則稱a和b是空間等價的[8]. 類似地,對環R中的兩個元素a和b,如果aR=bR且Ra=Rb,則稱a和b是空間等價的.

定理2假設R是一個冪等自反*-環,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}=b{1,3},則元素a和b是空間等價的.

定理3假設R是一個冪等自反*-環,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}=b{1,3},則a=b.

證明：對任意w∈a{1,3},由于a{1,3}=b{1,3},則w∈b{1,3}. 由定理2可知,元素a和b是空間等價的,即aR=bR且Ra=Rb. 于是存在s和t,使得b=as且a=tb,進一步可得

b=as=(aw)as=awb=(tb)wb=tb=a.

由命題1和定理3可得如下結果：

定理4假設R是一個半素*-環,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}=b{1,3},則a=b.

進一步,有:

推論2假設R是一個冪等自反*-環,且a,b∈R是{1,4}-可逆的. 若a{1,4}=b{1,4},則a=b.

證明：由a*{1,3}=a{1,4},可知a{1,4}=b{1,4}當且僅當a*{1,3}=b*{1,3}. 由定理3可得a=b.

類似推論2的證明,可得如下結果:

推論3假設R是一個半素*-環,且a,b∈R是{1,4}-可逆的. 若a{1,4}=b{1,4},則a=b.