基于馬爾可夫鏈的飛行器任意線束線間串?dāng)_預(yù)測(cè)方法

包貴浩 蔡志勇 黃凌龍 石 磊

（中航通飛華南飛機(jī)工業(yè)有限公司，廣東 珠海519040）

飛行器的實(shí)際電路和布線中，線纜布局會(huì)隨著外形的變化而改變走向，非平行傳輸線的情況是不可避免的。任意布局線束會(huì)導(dǎo)致傳輸線分布參數(shù)的不確定性，從而影響傳輸線線間串?dāng)_和受高強(qiáng)輻射場(chǎng)（HIRF）干擾的預(yù)測(cè)。

1993 年，S. Shiran、B. Reiser 等提出了蒙特卡洛算法[1]，1999年，S. Salio、F. Canavero 等提出隨機(jī)中點(diǎn)位移（Random Midpoint Displacement，RMD）算法[2]。上述兩種算法都可以反映出任意線束中傳輸線徑向位置隨機(jī)分布的特征，但子段節(jié)點(diǎn)模型間會(huì)出現(xiàn)非線性不連續(xù)問(wèn)題，導(dǎo)致兩種算法均不能有效地建立一條連續(xù)逼真的任意線束模型。2007 年，S. Sun、G. Liu、J. Drewniak 等提出了隨機(jī)位移曲線插值（the Random Displacement Spline Interpolation，RDSI）算法[3]，相比較RMD 算法，RDSI 算法使子段節(jié)點(diǎn)模型具有較好的線性連續(xù)性，線束內(nèi)傳輸線沿徑向平滑變化，比較符合非平行傳輸線的徑向位置分布特點(diǎn)。隨后，Diego Bellan、Sergio A. Pignari 等提出了編簾法（Lacing Cords）[4]來(lái)分析任意線束串?dāng)_的統(tǒng)計(jì)特性。Meilin Wu、Daryl G. Beetner 等還提出了合理最壞情況估計(jì)法（Reasonable Worst-Case）[5]，該方法有效地減少統(tǒng)計(jì)分析龐大的計(jì)算量，但會(huì)帶來(lái)串?dāng)_預(yù)測(cè)的過(guò)估計(jì)問(wèn)題。

本文應(yīng)用馬爾可夫鏈的特征，提出一種新的任意布局線束模型，并通過(guò)仿真驗(yàn)證表明馬爾可夫鏈模型應(yīng)用于任意布局線束線間串?dāng)_預(yù)測(cè)的有效性。

1 馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈概率分布最重要的參數(shù)為條件概率P{ξ（n+1）=j|ξ（n）=i}，也稱之為在時(shí)刻n 時(shí)的一步轉(zhuǎn)移概率Pij（n），表示在時(shí)刻n 時(shí)ξ（n）取i 值的條件下，在下一時(shí)刻n+1 時(shí)ξ（n+1）取j 值的概率。一步轉(zhuǎn)移概率Pij（n）具有兩個(gè)性質(zhì)：

若在馬爾可夫鏈中P{ξ（n+1）=j|ξ（n）=i}=Pij，即從i 狀態(tài)轉(zhuǎn)移到j(luò) 狀態(tài)的概率與n 無(wú)關(guān)，則該類馬爾可夫鏈稱為齊次馬爾可夫鏈。

令P 為一步轉(zhuǎn)移概率Pij所組成的轉(zhuǎn)移概率矩陣，狀態(tài)空間為Ω≡{0，1，…，K}，則P 可以表示為

2 任意布局線束模型

任意布局線束中傳輸線的徑向位置分布具有隨機(jī)性，沿線束徑向?qū)㈤L(zhǎng)度為l 的傳輸線分割成N 段等長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)，則該N 段等長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)徑向位置的集合可以看作為一個(gè)離散隨機(jī)過(guò)程。任意布局線束中傳輸線的徑向走線和截面位置，如圖1 所示。傳輸線的截面位置坐標(biāo)用二維變量（xi，yi）來(lái)表示，全部截面位置坐標(biāo){（x1，y1），…，（xi，yi），…，（xM，yM）}即為該離散隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間D。

圖1 任意布局線束的徑向走線和截面位置示意圖

通過(guò)傳輸線徑向走線特征的分析，可以合理假設(shè)傳輸線第n 段節(jié)點(diǎn)的截面位置僅與第n-1 段節(jié)點(diǎn)的截面位置有關(guān)。以圖1 所描述的10 芯線束為例，假設(shè)第n-1 段節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（x1，y1），受上一段節(jié)點(diǎn)影響，第n 段節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)極有可能為其相鄰或相同的坐標(biāo)（x1，y1）、（x2，y2）、（x5，y5）或（x8，y8），且n=2，…，10 均成立。

任意布局線束傳輸線的徑向走線特征具有齊次馬爾可夫鏈的性質(zhì)，N 段等長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)截面位置的集合可以抽象為齊次馬爾可夫鏈{T（n），n = 1，2，…，N}，其狀態(tài)空間為D≡{（x1，y1），（x2，y2），…，（xM，yM）}，M 為線束個(gè)數(shù)。線束內(nèi)節(jié)點(diǎn)截面位置的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P 可以表示為

其中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pij表示上段節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（xi，yi）時(shí)，本段節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（xj，yj）的概率，Pij的大小與兩個(gè)位置坐標(biāo)（xi，yi）和（xj，yj）的相對(duì)距離Δij有關(guān)，可以用冪級(jí)數(shù)表示為

其中，相對(duì)距離Δij的計(jì)算公式為

線束的傳輸線個(gè)數(shù)決定了冪級(jí)數(shù)表達(dá)式的階數(shù)。以10 芯線束為例，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pij與相對(duì)距離Δij的關(guān)系可以近似表示為

其中，k0、k1、k2、k3為冪級(jí)數(shù)系數(shù)，采用下式計(jì)算求解

在線束初始節(jié)點(diǎn)位置已知的情況下，通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P可以逐級(jí)地求解得到后續(xù)各節(jié)點(diǎn)可能的位置坐標(biāo)，進(jìn)而建立起任意布局線束模型。

本文利用Matlab 仿真實(shí)現(xiàn)基于RDSI 算法和齊次馬爾可夫鏈算法的任意線纜束模型，如圖2 所示。相比較RDSI 模型可以看出，齊次馬爾可夫鏈模型同樣可以很好地優(yōu)化線束節(jié)點(diǎn)間的連續(xù)性，較真實(shí)地逼近非平行傳輸線。

圖2 任意線纜束模型

3 線間串?dāng)_的仿真驗(yàn)證

以10 芯線束作為仿真實(shí)例，分別以RDSI 算法和齊次馬爾可夫鏈算法仿真計(jì)算發(fā)射導(dǎo)線和接收導(dǎo)線間的串?dāng)_。仿真設(shè)置如下：假設(shè)10 芯線束的長(zhǎng)度為l=0.6m，線束軸心距離地平面的高度為h=2×10-2m，導(dǎo)線的實(shí)芯半徑為r=1×10-3m，絕緣層半徑為R=2×10-3m，導(dǎo)線間的間距為d=2R，如圖3 所示。令導(dǎo)線#1為發(fā)射導(dǎo)體，其電壓源VS的電壓幅值為1V，內(nèi)阻為RS，發(fā)射導(dǎo)體的負(fù)載為RL，導(dǎo)線#2 為接收導(dǎo)體，端接電阻分別為RNE和RFE，如圖4 所示。

圖3 10 芯線束的截面位置關(guān)系圖

圖4 發(fā)射和接收導(dǎo)線的電路圖

仿真頻率范圍為1kHz～100MHz，針對(duì)RS=RL=RNE=RFE=50Ω，進(jìn)行50 次仿真，仿真結(jié)果如圖5 所示，紅實(shí)線為齊次馬爾可夫鏈模型的任意線束近端串?dāng)_仿真曲線，藍(lán)虛線為RDSI 模型的仿真曲線。

圖5 RS=RL=RNE=RFE=50Ω 時(shí)接收導(dǎo)線的近端串?dāng)_

兩種模型的仿真曲線基本吻合，齊次馬爾可夫鏈模型可用于任意線束線間串?dāng)_的統(tǒng)計(jì)特性分析，其近端串?dāng)_仿真結(jié)果與RDSI 模型的仿真結(jié)果相比高3 ～4dB，對(duì)飛行器布線電磁兼容性設(shè)計(jì)要求更為嚴(yán)格，對(duì)實(shí)現(xiàn)飛行器的電磁兼容性設(shè)計(jì)更為有利。

4 結(jié)論

本文利用馬爾可夫鏈描述任意線束內(nèi)非平行傳輸線徑向分布的隨機(jī)性，將線束分割為N 段，建立任意線束的齊次馬爾可夫鏈模型，并與成熟的RDSI 模型比較具有較高的一致性。通過(guò)線束建模仿真驗(yàn)證，齊次馬爾可夫鏈模型的線間串?dāng)_仿真收斂性較好，仿真結(jié)果與RDSI 模型的仿真結(jié)果基本吻合，可用于任意線束線間串?dāng)_的統(tǒng)計(jì)特性分析。