非廣延統計中的雙原子氣體熱容

于海寧 石家榕 李紅玉

（山西能源學院 基礎部，山西 晉中030600）

1 概述

Tsallis 于1988 年提出的非廣延統計理論已廣泛應用于很多物理學領域，非廣延參數q≠1 體現了非廣延效應。例如，自引力系統的非廣延參數q 具有明確的物理意義，與系統的不等溫性直接相關，長程相互作用最終體現為q≠1 的結論已被日震測量所證實。

非廣延性對實際氣體的熱力學過程存在一定的影響。本文研究低溫下的雙原子氣體，利用實驗數據（定壓熱容量與定容熱容量之比γ、聲速v）給出了參數q 的兩個唯象表達式。第2 部分中，我們利用雙原子理想氣體的Tsallis 非廣延統計理論給出只含有一個自變量γ 的q 值表達式，結合N2、O2和CO 氣體的實驗數據進行分析。第3 部分中，研究聲速的非廣延理論，給出了q 的另一個唯象表達式，結合空氣聲速的實驗值進行分析。第4 部分是結論。

2 剛性雙原子非廣延氣體的熱容量

對于經典的理想氣體，通常假設了氣體分子之間是沒有任何相互作用的。然而，實際上任何氣體分子之間都存在引力，但由于這種引力非常小，一般可以完全忽略不計。特別地，當氣體處于低溫狀態時，分子的動能要比常溫時小得多，所以此時分子間的勢能就比常溫狀態時重要得多了。

在此情形下，氣體的性質同標準的理想氣體模型就有了更多的偏離。因此，我們就可以嘗試著用Tsallis 非廣延統計來對它進行修正。

當氣體的溫度為常溫及以下時，分子振動和電子運動都被凍結在基態，對熱容量幾乎沒有貢獻。所以，我們這里考慮的非廣延雙原子理想氣體依舊是5 個自由度，其中含有3 個平動自由度和2 個轉動自由度。

由Tsallis 統計中的q-期待值可以得到雙原子氣體的內能

其中f 是q-分布函數，pi是相應的廣義動量，E 為單個分子的動能，N 為分子個數。

利用定容熱容量的定義式CV=dU/dT，最終得到雙原子氣體的定容熱容量表達式

其中V 是體積，k 為玻爾茲曼常量。

借助于焓的定義式、定壓熱容量公式和非廣延氣體的物態方程

可以求出定壓熱容量和定容熱容量之差為

其中，H 表示焓，P 為壓強，n 為分子數密度。二者之比CP/CV=γ 源于實驗數據，結合上式給出定容熱容量的另一表達式

該式和（2）式相等，由此給出非廣延參數q 的一個唯象表達式

利用教科書中N2，O2和CO 氣體γ 的實驗值，我們計算出相應的q 值，表1 中最后一列列出。

表1 中的倒數第二列為文獻[2]給出的結果。對比發現本文計算得到的q 值與1 偏差更大些，更能體現其非廣延程度。文獻[2]處理的過程中計算定壓熱容量和定容熱容量差值時錯誤地使用了理想氣體物態方程，從而給出CP-CV=Nk 的結果，在此基礎上給出的參數q 的表達式為

表1 γ 的實驗數據及其對應的q 值

表2 不同溫度下空氣的q 值

3 聲速所驗證的氣體的非廣延性

基于非廣延統計理論的聲速公式為

該式已用于天體物理、等離子體物理等領域，其中vs為廣延情形下的聲速。聲波的傳播過程可近似視為絕熱過程，此時

m 為氣體的摩爾質量，R 為摩爾氣體常量。以上兩式結合給出q 的唯象表達式為

下面以不同溫度下空氣聲速的實驗值分析非廣延性的變化。γ 的實驗值在我們分析的溫度范圍內變化甚小，因此q 值主要取決于聲速vq的大小。表2 列出三個溫度情況下的q 值，γ 取近似值1.41。

由此看見，常溫下空氣的非廣延效應可以完全忽略，可視為理想氣體，但隨著溫度的降低，非廣延效應逐漸明顯。

4 結論

本文先后用了兩種途徑給出非廣延參數q 的唯象表達式，（8）和（12）式。前者針對雙原子氣體。結合實驗數據對比不同溫度下的非廣延性，發現常溫下氣體完全可視為廣延的，但低溫下非廣延效應明顯加強。我們處理低溫下氣體的轉動動能仍用了經典理論，未將其進行量子化分析，這是因為本文所討論的N2，O2和CO 氣體的轉動特征溫度θr都很小，都只有2K 多，通常認為的經典理論適用條件θr/T＜＜1 在我們所討論的溫度下仍然成立。空氣的非廣延性主要取決于氮氣，結論發現在92K和-150°C 這兩個比較接近的溫度下氮氣和空氣的非廣延性大致相當。后者q 值略大些，原因是相同溫度下的氧氣（空氣第二大成分）的非廣延性比氮氣小一些（q 值偏大）。