升降法測試疲勞強度均值和標準偏差產生誤差的原因

李 凱, 蔣橋紅, 王 飛

(上海材料研究所, 上海 200437)

工程領域將材料經1×107循環周次交變載荷作用而不發生破壞對應的應力稱為材料的疲勞強度。測試金屬材料疲勞強度的最佳方法是升降法，又叫臺階法[1-2]。升降法屬于序貫試驗的一種，升降是指在試驗中第n+1次試驗應力水平根據第n次的試驗結果增加或降低一個臺階。升降法最早于1943年由賓夕法尼亞炸藥所應用于炸藥的感度測量。1948年DIXON W J和MOOD A M[3]給出了升降法中一個用于計算疲勞強度均值μ與標準偏差σ的簡化式，并指出升降法可以作為一種估計50%分位數的數理統計方法，在多個領域都有很大的應用前景。

1 試驗方法

1.1 升降法

在一定應力水平下試樣經過1×107循環而不發生破壞，則認為試樣在該應力水平下有無限的壽命，該應力水平稱為試樣的疲勞強度。升降法測試金屬材料疲勞強度的流程如圖1所示。

圖1 升降法測試疲勞強度流程圖Fig.1 Flow sheet of fatigue strength measurement byup-and-down method

以材料預估疲勞強度的5%作為應力臺階d，以材料抗拉強度的70%作為初始應力水平y0。首先在y0下進行試驗，若該應力水平下試樣疲勞壽命低于1×107循環周次，則下一個試樣在應力水平y0-d下進行，反之下一個試樣應力水平為y0+d。后續試樣應力水平都由前一個試樣壽命是否超過1×107循環周次來確定。如果第n個試樣壽命低于1×107循環周次發生破壞，則第n+1個試樣則降低一級應力水平，否則增加一個應力水平，直到試驗結束。升降法以第一次發生在相鄰應力水平試樣出現相反結果開始統計數據，可以避免初始應力水平選取不當對試驗結果產生影響。同時升降法要求升降圖閉合，即假設升降法在第m次試驗結束，若繼續做試驗，則下一個試樣應力水平應當等于升降法計數開始時的應力水平，升降圖閉合能保證整個試驗的應力水平都集中在疲勞強度附近。

試驗結束后，將應力水平S按照從小到大排列，即S0

(1)

1.2 極大似然估計

升降法的統計學依據是極大似然估計。一般情況下給定疲勞壽命N下的疲勞強度y被認為是自由變量，并且按照正態分布表示為

(2)

式中：P(y)為在疲勞強度y下試樣失效的累計概率。

在應力水平Si=S0+i·d下，試樣壽命低于1×107循環周次的概率為pi，超出1×107循環周次的概率為qi，則有

(3)

(4)

式中：x為積分變量。

假設一條升降法的試驗數據是來自總體y～N(μ,σ)的觀察值，第Si級應力水平上有ni個試樣壽命低于1×107循環周次，mi個試樣壽命超過1×107循環周次，則似然函數為

(5)

若

(6)

對式(6)求偏導為

(7)

當偏導數等于0時，函數可能取得極值，因此求極大似然估計等價于求似然函數的極大值點。一般情況下，當式(7)所示的似然方程組解唯一且不在參數取值范圍的邊界上，即可認為其解是待求的極大似然估計值。

式(1)是DIXON W J給出的滿足0.50.3情況下似然方程組的一個近似解。

根據上述推導過程，可以發現升降法測試疲勞強度的均值與標準偏差出現誤差的原因主要有以下3個。

(1) 升降法的母體是{y|N=1×107}，即1×107循環周次下的疲勞強度。升降法的樣本是{y|N>1×107或N<1×107}，升降法中幾乎沒有壽命剛好為1×107循環周次的試樣。因為樣本并非來自于母體，所以不能直接通過樣本的均值與標準偏差來估計母體的。

(3) 無論是小子樣升降法還是傳統升降法，其統計學基礎都是極大似然估計，極大似然估計在樣本量較少時偏差較大，這種情況下應采用貝葉斯估計[8]。

因此討論升降法測試疲勞強度的均值與標準偏差的誤差，應當重點關注d/σ、試樣數量N及應力臺階數i。

1.3 計算機模擬

即使通過大量試驗，也只能獲得材料疲勞強度的一個統計學結果，而無法獲得真值。采用升降法測試疲勞壽命為1×107循環周次的30個試樣需要一臺工作頻率為50 Hz的疲勞試驗機工作大約2個月，因此，借助計算機模擬研究升降法測試疲勞強度是一個高效、便捷的方法。

Python是一種開源的計算機編程語言，筆者采用Python中的numpy和scipy兩個庫。首先輸入試樣分布的真值(μ,σ)，為不失一般性，令μ=500 MPa,σ=25 MPa,然后由numpy.randint.randn.normal(μ,σ)(從正態分布返回一個或多個樣本)函數生成一個服從正態分布N(μ,σ)的樣本。若該樣本高于其所在的應力水平，則認為試樣在該應力水平下壽命應超過1×107循環周次，否則低于1×107循環周次。程序流程與升降法測試流程保持一致。ISO 12107：2012和GB/T 24176-2009要求可靠性試驗至少需要30個試樣，因此在分析d/σ與誤差之間的關系時選擇試樣數量N=30，d/σ=0.1,0.2,0.3,…,5.0,每個d/σ下進行1 000次模擬試驗。升降圖閉合要求試樣數量為偶數，試樣數量N不大于4時，升降圖無法滿足D大于0.3的要求，因此研究試樣數量N與升降法測試誤差之間的關系時，取N=6,8,10,…,100，每個試樣數量下進行1 000次模擬試驗。

2 試驗結果及討論

升降法中若d/σ選取的過小，將容易導致應力臺階數i過多，在有限試樣數量內升降圖難以閉合。圖2為μ=500 MPa,σ=25 MPa,d/σ=0.1，N=30時的一個模擬升降圖，此時i=6,圖中存在多個試樣壽命連續低于1×107循環周次情況，升降圖沒有閉合造成試驗失敗。升降圖中“Ο”代表試樣壽命超過1×107循環周次，“×”代表試樣壽命低于1×107循環周次。圖3為d/σ過大造成D小于0.3的一個模擬升降圖，其中μ=500 MPa,σ=25 MPa,d/σ=4，N=30。可見i=2,試樣在3個應力水平間波動。

圖2 d/σ過小的升降圖Fig.2 The up-and-down picture with d/σ too small

圖3 d/σ過大的升降圖Fig.3 The up-and-down picture with d/σ too large

圖4 模擬試驗成功率與d/σ的關系圖Fig.4 Diagram of relationship between success rate ofsimulation test and d/σ

圖與d/σ的關系圖Fig.5 Diagram of relationship between and d/σ

圖與d/σ的關系圖Fig.6 Diagram of relationship between and d/σ

圖與試樣數量N的關系圖Fig.7 Diagram of relationship between and thenumber of specimen N

圖的標準偏差與試樣數量N的關系圖Fig.8 Diagram of relationship between the standard deviation of and the number of specimen N

3 試驗驗證

文獻[9]采用升降法與成組法測試了軸承用20CrMoH鋼的疲勞曲線,升降圖如圖10所示,根據Parabola(拋物線)模型擬合的50%失效概率的疲勞曲線如圖11所示。

圖9 不同i時與試樣數量N的關系圖Fig.9 Diagram of relationship between and the number of specimen N at different i

圖10 20CrMoH 鋼的升降圖Fig.10 The up-and-down picture of 20CrMoH steel

圖11 失效概率為50%的20CrMoH鋼疲勞曲線Fig.11 20CrMoH steel fatigue curve at 50%failure probability

4 結論

(1) 升降法測試疲勞強度均值的可靠性高于測試疲勞強度標準偏差的。

表1 20CrMoH鋼1×106循環周次附近的疲勞強度Tab.1 Fatigue strength of 20CrMoH steel around 1×106 cycles

(2) 當應力臺階d與標準偏差σ的比值d/σ大于3時，升降圖難以滿足D大于0.3。

(6) 當有足夠多試樣時，在相同試驗條件下進行多組升降法測量，效果優于全部試樣測量一條升降曲線。