自主建構，主動探究，感悟數學本質

戚璐

自主建構、主動探究是學生數學學習的主要方式。自主建構是自我導向、自我激勵、自我嘗試、自我監控的學習。在數學教學中，我們要給予學生充分的探究空間，賦予學生自主的探究權力，而實際教學中，筆者發現所謂的“自主建構”總是教師過度預設下的建構，這樣的設計往往窄化了學生的思維，導致學生“知其然，而不知其所以然”。真正的自主建構應當是教師引導學生重復數學創造的關鍵步子，自然地生發問題、分析問題并解決問題的過程。在這個過程中，教師要適度介入，助推學生感悟其中的數學思維。下面，筆者以蘇教版小學數學教材五年級上冊“釘子板上的多邊形”教學為例，研討我們該如何引導學生自主建構、主動探究，感悟數學的本質。

一、課前慎思

1.現象描述：“釘子板上的多邊形”這一部分是綜合與實踐活動領域的內容，屬于探索規律類的課型，這一課型是培育學生創新精神和實踐能力的優質載體。在這一部分的教學中，教師應有意識地讓學生進行自主建構、主動探究、積極創造。但現如今許多的課堂教學設計，幾乎都是千篇一律的。很多教師在引導學生進行探究時，總是提前介入，左右學生的思維，從而導致學生學習了這部分內容之后，對“釘子板上的多邊形”（皮克定理）仍然十分陌生。具體表現為學生或記不清該用哪個公式解決具體問題，或對公式概念、探究的過程認識不到位等。那么，究竟是什么原因導致學生對所建構的知識認識不充分、理解不深刻呢？為此，我們在課前教學時必須做到慎思，要經過縝密的思考和精心的教學設計才能進行下一步的教學。

2.問題溯源：“多邊形的面積”這一部分內容的探究是采用實驗探究的方式展開的，而且還是采用對比實驗的方式展開的。相比較于其他的數學教學內容，這部分內容涉及兩個變量：其一是多邊形邊上的釘子數;其二是多邊形內部的釘子數。通常情況下，教師運用的主要方法是“控制變量法”，首先是控制多邊形邊上的釘子數，然后控制多邊形內部的釘子數。比如，一般會從多邊形內部的釘子數為1開始探究，通過變化多邊形邊上的釘子數，讓學生認識到“多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數÷2”;在研究了多邊形內部的釘子數為1的情況之后，教師再控制多邊形內部的釘子數，即讓多邊形內部的釘子數從1個到2個再到3個等，從而歸納出“多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數÷2-多邊形內部的釘子數+1”。這個歸納過程從數學的角度看是沒有任何問題的，比較連貫且邏輯性強。但從學生的立場看，問題就比較多。比如，為什么要先研究多邊形邊上的釘子數？為什么要從多邊形內部釘子數為1開始研究，從0開始研究不行嗎？在公式S=n÷2+（a-1）中，n÷2表示什么？（a-1）又表示什么？基于對這些問題的思考，筆者對這部分的內容進行了教學重構。經過“解構——重構”，通過自己的教學設計解開了學生學習中的種種疑問、種種謎團，進而揭秘了皮克定理的真實內蘊。

二、教學實踐

對于“多邊形的面積”這部分內容的重構，教師需要除去各種遮蔽，比如教材的遮蔽、傳統認識的遮蔽、一般教學法的遮蔽等。我們要從問題的本源出發，將學生的數學知識通過自主建構、主動探究、積極創造帶領他們走進學習的澄明之境。在這個過程中，教師要“面向知識本身”，引發學生深度思考和探究，從而掌握數學知識的本質內涵。

1.引導學生提出問題

早期有建構主義學者認為，兒童是通過自主建構來學習新知識的，即兒童的學習是以原來的認知水平為基礎，通過自己的智力以及活動發現、探究和解決問題，建構對新知識的理解，并對原有的認知結構做出調整，促進自身學習與發展的過程。實踐證明，自主建構可以提高學生學習的靈活性，并能促進學生對知識的長時間記憶。

經驗是學生建構知識的要素之一，同時也是學生學習的基石，數學教學離不開學生已有的學習經驗，教師在教學中要努力引導學生提出問題，讓學生在問題解決的過程中提升自己的各項能力。在教學“多邊形的面積”這部分內容時，筆者先用多媒體給學生呈現出由眾多釘子組成的釘子板，引導學生根據自己的學習經驗去猜想：多邊形的面積與什么有關？在猜想中，有學生認為“多邊形的面積與邊的長度有關”。也有學生認為“多邊形的面積與邊上的釘子數有關”。還有學生認為“多邊形的面積與多邊形內部釘子數有關”。此時，教師要充分尊重學生的這些猜想，然后讓學生逐步去探究這些猜想，這樣做他們既研究了多邊形的面積與多邊形邊上、內部釘子數的關系，同時也為其在自主建構對多邊形實施數方格計算之后，否定了其中的偽因素。

2.引導學生自主建構

建構主義學習理論認為，學生的學習依賴于學生的自主建構。作為教師，我們要在學生的“最近發展區域內”進行設計，這樣可以有效激發學生的自探自悟。

同樣是教學“多邊形的面積”，在確定了研究目標之后，有學生對研究內容提出了這樣的設想：先從簡單的內容開始，即“以小見大找規律”。實際上，這樣的研究思路正是學生對已有的研究經驗進行概括、提煉、總結的結果。還有學生提出，最簡單的就是兩個釘子連成一條線段，而這不能構成封閉的多邊形，它沒有面積（屬于無效面積），也就不需要展開研究了。因此，起碼要有三個釘子才能構成一個封閉的三角形。有學生認為，應該從邊上的釘子數為3的三角形開始研究。這個時候，多邊形的內部釘子數為0。但由于一個內部為0的多邊形不能展開研究，于是學生自然就想到了用眾多的釘子來進行比較研究。據此，學生自主畫圖、自主用橡皮筋圍成多邊形，這些多邊形有一個共同的特性，即多邊形的內部釘子數為0。通過比較，學生自主列舉了下列表格（注：釘子板的方格面積為1）：

學生通過對多邊形邊上釘子數與多邊形面積的函變關系的探究之后發現，多邊形的面積=（多邊形邊上的釘子數-2）÷2。那么，如何對這樣的公式進行合理而科學的解釋呢？有學生認為，多邊形邊上的釘子數減去2，這正是研究初期所提出的無效面積的釘子數。在這一發現中，學生自主建構了內部釘子數為0的多邊形的面積的基本規律。

3.引導學生自主總結

在上述基礎上，學生對多邊形內部的釘子數為1、2、3、4……的情況進行分類研究。經過分析后發現，多邊形的內部每增加一個釘子，相應的面積就在內部釘子數為0的多邊形面積的基礎上增加1。發現這一規律后，學生會嘗試用符號（字母）去概括：一般情況下，當多邊形邊上的釘子數為n，多邊形內部的釘子數為a時，多邊形的面積就是“（n-2）÷2+a”。

這個公式的研究、提煉過程，相比較于教師的教學設計更為自然，前后也更為契合。在此基礎上，筆者引導學生對這個公式進行變形，即“S=n÷2+（a-1）”，由此可以自然地揭示出皮克定理。總體而言，這樣的研究過程深化了學生對研究結果的認知，同時也讓學生對皮克定理從心理層面更加認同。

三、教學反思

在數學教學中，學生不是被動的信息接收者，而是對信息的主動選擇者與加工者。因此，數學知識是學生自主建構和創造出來的。我們在教學中，只有順應學生的學習心理，把握學生的認知規律，基于學生的經驗去引導他們進行自主建構，才能使他們對知識形成長效、持久的掌握。在這個過程中，教師要激發學生增強研究意識，掌握相應的研究方法。在教學設計中，教師不能只關注自己如何教，而更應該關注學生如何學。教師要主動跟進學生的學，對學生的學要進行適當啟發和點撥。通過上面“釘子板上的多邊形”的教學實踐，筆者深深感受到教學應從數學知識的本身出發，從學生的學習經驗出發，唯有這樣我們才能真正開啟學生的研究之旅。在對應的研究過程中，教師要有意識地引導學生進行自主探究、積極創造，通過自主建構學生不僅能有效建模，而且還能積累研究經驗，感悟數學基本學習方法，提升自身的綜合學習能力，進而發展數學核心素養。

作者單位 ? ?江蘇省徐州淮海國際港務區柳新實驗小學