Maple在中學物理教學中的應用

孟勇

(合肥北辰教育培訓學校有限公司 安徽 合肥 230041)

1 引言

在日常的物理教學過程中，部分教師可能會遇見一些不利于達成教學目標的問題出現，具體表現為：對于有限時長的課堂中，教師在進行復雜公式的推導和大量數據的計算時會耗費大量的精力與時間，以至于對重點知識內容的深入講解會出現時間不夠的現象發生，從而影響了上課的效果與進度.同時,部分學生的邏輯思維能力不強，導致對抽象化的概念難以理解，久而久之可能會失去學習興趣.此外對于一些物理實驗的演示會受到客觀實際條件的制約而效果不佳，乃至難以實現，因此,導致了部分學生對實驗原理難以理解或是對實驗現象無法留下深刻的印象.

Maple作為全球范圍內廣泛使用且享有盛名的數學軟件[1,2]，素有“數學家的軟件”之稱.它具有強大的數學計算功能以及能夠滿足各種科研與教學需求的豐富的程序包.本文以Maple軟件為平臺，分別將其四大主要功能應用到中學物理的各個知識板塊之中，進而說明通過Maple軟件的使用來達到提升教學質量的目的.

2 符號演算功能在力學中的應用

Maple作為數學軟件有著非常強大的符號計算能力，能夠快速解決如微積分求解、矩陣運算、矢量計算等問題.并且其輸入方式與輸出方式跟筆紙計算時無異，所以能像教科書似的顯示數字與文字.因此，可以將Maple應用到物理公式的推導與方程的求解之中.

針對近年來高考或者競賽中的部分應用題，教師在根據相關定理以及位置關系列出若干表達式之后，對于這些表達式的求解若通過紙筆計算的方式進行求解，將需要花費大量時間且可能會有少許錯誤出現.因此，可以通過Maple軟件的符號計算功能來簡化求解過程或者驗證所得結果的正確性.下面以一道競賽題為例演示Maple的題目求解過程.

【例題】如圖1所示，質量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動，并且其傾角為α.同時質量為m1的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力.

圖1 運動員在斜面上的運動

首先建立坐標系并對m1和m2進行受力分析，如圖2所示.

圖2 受力分析

可得以下方程

-FN1sinα=m1ax1

(1)

FN1cosα-m1g=m1ay1

(2)

FN1sinα=m2ax2

(3)

FN2-m2g-FN1cosα=0

(4)

并且由于運動員在斜面上運動，必然受到斜面的制約.所以運動員和斜面的加速度滿足下列關系

(5)

然后再列出運動員相對斜面的加速度公式為

(6)

最后通過Maple軟件聯立式(1)～(6)求解出本題答案，其代碼如下所示.

eq1:=-F[N1]*sin (alpha)=m[1]*a[x1]:#對m1在x方向列牛頓運動方程

eq2:=F[N1]*cos(alpha)-m[1]*g=m[1]*a[y1]:#對m1在y方向列牛頓運動方程

eq3:=F[N1]*sin (alpha)=m[2]*a[x2]:#對m2在x方向列牛頓運動方程

eq4:=F[N2]-m[2]*g-F[N1]*cos(alpha)=0:#對m2在y方向列牛頓運動方程

eq5:=tan(alpha)=a[y1]/(a[x1]-a[x2]):#m1在m2斜面上運動時加速度所滿足的關系

Solution1:=solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5},{F[N1],F[N2],a[x1],a[x2],a[y1]});#求解出各個作用力與兩者相對于地面的加速度

solution2:=subs(Solution1,eq6):#將上式帶入eq6得到運動員相對于斜面的加速度大小

將上述代碼運行后可得到最終答案為：

Solution1:

(7)

(8)

從式(7)～(8)的表達式可知：比起通過紙筆進行復雜又費時費力且有一定出錯率的人工計算來說,Maple確實能快速得到求解方程，得到正確的運算結果，這非常適合于在課上進行演示.因此,這說明Maple軟件在求解應用題目時所發揮的重要的輔助作用.

3 程序設計在熱學中的應用

Maple軟件不僅像C語言一樣具有完善的編程語言，同時有別于傳統的編程語言，它自身就蘊含著非常豐富的命令集，所以,可以非常方便地供編程所用.下面就主要利用Maple的隨機數產生函數rand進行編程設計，制作出擴散現象的動畫來展現熵增過程.

擴散現象是指物質分子從濃度高的區域向低濃度區域轉移直至均勻分布的現象，例如花香飄散、炊煙裊裊等等.其本質是因為組成物質的粒子都在永不停息地做著無規則熱運動,進而導致質量遷移的現象.并且隨著溫度的升高，粒子的無規則運動也越來越劇烈，進而加快擴散過程的進行.同時從熵變的角度來說，該變化導致體系混亂度的增加，所以是典型的熵增過程.并且注意到熵作為一個非常抽象難懂的概念，如何能夠真實而又形象地描述熵變的過程，這考驗著中學教師的教學水平與能力.因此，教師可以通過Maple軟件進行編程制作出擴散現象的動畫，進而以具象化的方式展示擴散現象中熵的變化.

首先利用Maple的隨機數產生函數rand，并通過循環結構的設置使得粒子的位置不僅會隨時間無規則改變，并且其移動速度越來越快，其關鍵性的命令如下所示：

Random:=rand(0..180)#設計隨機數名為Random，并且讓其隨機數產生的范圍在0到180之間

Seq(Random(i),i=0..100);#驗證隨機數是否產生成功

X||n[i]:=X||n[i-1]+(i/100)*evalf(2*

cos(Random(X||n[i-1])*Pi/180));#在第i次循環中對于第n粒子設置它的X[i]坐標，使之比X[i-1]變化了(i/100)*evalf(2*cos(Random(X||n[i-1])*Pi/180))

Y||n[i]:=Y||n[i-1]+(i/100)*evalf(2*

cos(Random(Y||n[i-1])*Pi/180));#在第i次循環中對于第n粒子設置它的Y[i]坐標，使之比Y[i-1]變化了(i/100)*evalf(2*cos(Random(X||n[i-1])*Pi/180))

利用上述關鍵性的命令再配合其它循環，就可以得到擴散運動動畫，如圖3所示.

(a)t=0 (b)t=34

(c)t=98 (d)t=189

從圖3可以看出當包圍小球的擋板撤掉之后，16個小球就會沿著任意方向以不同的速度移動.于是16個小球就會四散開來，并且從每個小球的運動軌跡中可以看出小球確實是在做無規則的熱運動，從而幾乎遍尋了整個空間,所以熵在逐漸變大.此外，當外界調節使系統增加溫度時，代表溫度的背景顏色變深，小球無規則的運動速率也逐漸變大，這些特點基本與擴散現象相符合.

4 圖形動畫在電學中的應用

Maple的圖形動畫制作功能非常強大，不僅能繪制出如隱函數圖、密度圖、等高線圖等各種復雜而又高精準的函數圖像，并且還能制作出生動形象的科技動畫[3].此外其“所想即所得”的交互式的圖形操作命令更是能直接用于物理教學之中.

電場作為一種抽象而又真實存在的特殊物質，是學生學習高中物理的一個重難點內容.同時，對于教師來說，能否在有限的課堂時間里讓學生從不認識到認識再到熟悉并記住該知識點，這考查著一個教師的教學能力與學科素養.但在以往課堂教學中，無論是教師在黑板上繪制出的幾類典型電場的電場線與等勢線，以及在課本上出現的幾幅電場圖都無法攬括各種形形色色的電場，從而影響學生對電場理解的廣度與深度.因此,可以用Maple制作出更有針對性的電場圖來描述出現的特殊電場.

首先進行理論分析：對于電場來說最重要的兩個概念就是電場強度E和電勢φ.它們分別給電場中的電荷賦以力和能的性質，而力和能量是決定物體運動狀態的兩個重要物理量.因此,對于空間中兩個帶電荷量分別為Q1和Q2的點電荷，在空間中某點形成的電勢為[4]

(9)

其中k是庫侖常數，r1和r2分別為該點到兩個點電荷的距離.然后再對電勢φ求負梯度就能得到電場強度E的表達式

(10)

然后通過在Maple中運行如下代碼：

restart;with(plots);with(plottools);with(VectorCalculus);#清零并導入做圖于矢量運算程序包

E:=Gradient(-V,[x,y]);#通過對電勢求出負梯度得到平面各點電場強度的表達式

NE:=Normalize(E,2);#對電場強度的表達式進行歸一化處理

Explore(display([disk([x[1],y[1]],0.3,color=blue),disk([x[2],y[2]],0.3,color=red)],fieldplot(NE,x=-4..4,y=-4..4,thickness=2,arrows=SLIM),implicitplot({seq(V=1/10*b,b=-28..28)},x=-4..4,y=-4..4,numpoints=5000,color=green,thickness=2,linestyle=1)),parameters=[[x[1]=-3..3,placement=left],[y[1]=-3..3,placement=left],[x[2]=-3..3,placement=left],[y[2]=-3..3,placement=left],[Q[1]=-3..3,controller=volumegauge,placement=right],[Q[2]=-3..3,controller=volumegauge,placement=right]]);#制作出兩個點電荷的電場線與等勢線就可得到用來描述兩個點電荷產生的電場的電場線與等勢線圖像.如圖4所示.

(a)等量同性小電荷 (b)等量異性電荷

(c)等量同性大電荷 (d)不對稱異性電荷

在圖4(a)與圖4(b)中分別顯示出等量同性正電荷與等量異性電荷產生的電場線與等勢線，它們比書本上的電場圖更加細致地反映出平面上各處的電場強度與電勢.同時將圖4(a)與圖4(c)進行對比可知，當通過改變圖中左邊電荷量的按鈕來同時增大等量同性電荷時，其電荷附近的扁圓形等勢線漸漸變成了共同包圍兩個電荷的橢圓形狀.而在圖4(d)中通過不對稱的改變異性電荷的電荷量和其所在位置，則可觀察到代表零電勢的虛線更靠近小電荷.

因此，通過上述分析說明了在圖4中利用Maple軟件制作出的電場圖更具有較強的針對性與精準性，從而能更加全面和深入地了解電場的性質.此外，該軟件具有趣味性的交互式圖形命令可以供學生進行自主研究，進而調動學生學習的積極性.

5 數值計算在光學中的應用

Maple除了有著強大的符號運算系統之外，還有著高性能無限精度的數值計算引擎，并且它蘊含著5 000多個計算命令可供各個領域進行使用.下面將利用Maple軟件的數值計算功能來計算雙縫干涉中的光強分布.

托馬斯·楊的雙縫干涉實驗作為物理學中最美的實驗之一，是光具有“波動性”的直接證據.同時它也是高中物理光學模塊中重要的組成部分.并且在該實驗中，如何分析接收屏上條紋的明暗位置與寬度變化都是學生所要掌握的內容.其示意圖如圖5所示.

圖5 雙縫干涉示意圖

根據文獻[5]可得接收屏上條紋間距與各點光強公式為

(11)

(12)

其中Δφ是從S1和S2發出的兩束光到達接收屏上P點的相位差.其值可由以下3式求出

(13)

(14)

(15)

然后再通過Maple軟件輸入以下代碼：

Restart;with(plots):with(plottools):#清零并導入做圖程序包

interference:=proc(d,l,lambda,Color)#編寫雙縫干涉點狀圖程序

local x,i,r1,r2,Δφ,N,intensity;#變量聲明

x[0]:=0:#設定初始參數

N:=200:#設定循環次數

for i from 1 to N do:#進行循環編程

x[i]:=x[i-1]+2/N:#對坐標進行遞增賦值

Δφ:=2*Pi*(r2[i]-r1[1])/lambda:#求出相位差

end do:#完成循環

pointplot({seq([x[i],intensity[i]],i=1..N)},color=Color,font=[TIMES,ROMAN,20],labels=[“x”,“I/I0”],labelfont=[TIMES,ROMAN,20]):#制作雙縫干涉相對光強的點狀圖

end proc:#完成程序編寫

interference(1,1000,7e-4,red);#設置相關參數產生干涉圖

interference(2,1000,7e-4,red);#設置相關參數產生干涉圖

interference(1,2000,7e-4,red);#設置相關參數產生干涉圖

interference(1,1000,4e-4,COLOR(RGB,128/255,0,1));#設置相關參數產生干涉圖

得到其相對光強的分布圖，如圖6所示.

d=1 mm l=1 m λ=700 nm

d=2 mm l=1 m λ=7 00 nm

d=1 mm l=2 m λ=700 nm

d=1 mm =1 m λ=400 nm

通過觀察圖6(a)能夠很方便地知道光在接收屏上不同位置的相對光強的具體數值，其相對光強的大小會隨屏幕上觀察點位置改變而進行周期性變化.并且通過圖6(a)與圖6(b)的對比可知當增加狹縫寬度，條紋將變密變窄.同時再將圖6(a)與圖6(c)進行對比可以看出：當擋板與屏幕間距離變大時，條紋間寬度也將變大.此外由圖6(a)與圖6(d)對比可知：當將光的波長變短時，其條紋寬度會變窄.這些現象皆與式(11)相符合.

6 結束語

本文通過在力、熱、電、光四大模塊中展現出Maple軟件的主要功能，從而說明Maple軟件在輔助中學物理教學中的重要作用.具體來說，通過Maple軟件的符號運算與數值計算功能可以使教師從重復性的簡單勞動中解放出來，將自己的聰明才智與創新能力用于更有意義的教學活動中.同時，對于中學物理為什么難教難學，究其原因除了需要強大的邏輯思維能力與較高的數學水平之外，就是缺少作為靈魂的“核心素材”，即真正反映出真實世界的物理過程的圖形與動畫.而在程序設計與圖形動畫功能相互配合下的Maple軟件可以實現數據的可視化，從而以生動、形象、逼真的圖形動畫來向學生闡述物理圖景，讓其認清物理本質，使物理過程深深印入學生腦海中.此外其交互式圖形演示教學可以充分調動起學生的好奇心與積極性，進而提高教學質量.

隨著教育改革的深入開展，對教學手段現代化提出了許多新的要求，Maple在物理教學中的應用只是一個側面，而且伴隨教學軟件的開發應用，還有許多具體技術問題有待研究解決，通過廣大教師和教學軟件研發人員的共同努力，將會有更多更好的軟件用于物理教學.

致謝：感謝焦艷女士的支持與幫助.