“算”中需“四重”、“四思”

沈小燕

摘 要：運算能力是數學中的一項基本能力，也是《義務教育數學課程標準》中要求的核心素養之一。運算能力在很大程度上影響著學生的數學成績。盡管教師在提高學生的運算能力上花了不少的心思，但是現狀總是不盡如人意，學生因計算錯誤或未采取有效的簡便計算所造成的失分都令教師非常痛心。那么如何在摒棄題海戰術的條件下促進學生有效學習，如何培養學生的運算能力？本文就筆者自身的教學實踐，結合教學中的幾個片段提出幾點提高學生運算能力的策略。

關鍵詞：運算能力 運算速度

《義務教育數學課程標準》中指出：“運算能力主要指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”。數學運算是數學活動的基本形式，是初中數學的重要內容。一個初中生數學能力的高低，在運算能力上就有著充分的體現。運算不僅是數學課程中“代數與數”的重要內容，“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”也都與運算有著緊密的聯系。因此，提高初中生數學運算能力，也成為當前初中數學教學改革亟待解決的難題。

1 中學生運算能力培養的重要性

數學運算能力是數學學科核心素養中最基本的能力之一，也是學生學好數學知識，形成其他數學能力的基礎。在初中數學中，大部分內容都與運算有著密切聯系，學生運算能力的高低，直接決定了他們學習數學的質量。在各次考試中，考察運算能力的題目占據很大的比重，因為運算能力它是重要的基礎。運算能力有時候是獨立考察的，比如嘉興中考第17題，直接考察實數的運算。但是大多數時候是滲透進各類題型中，成為解題不可或缺的環節。一個小的運算失誤很可能會導致滿盤皆輸。但是，我們在九年級中考復習的時候，總會發現大部分的學生運算能力欠佳，后進生掌握不了運算法則，中等生計算出錯率高，優生缺乏整體思想和簡便運算的能力。而最近幾年的中考，對于學生的運算能力的要求卻在不斷提高。運算能力如此重要，它大大地影響著學生的解題速度從而影響學生的成績。所以，想要學好數學，運算能力是基礎，培養和提升中學生的運算能力至關重要。

2 中學生運算能力出現問題的原因

筆者發現造成學生運算能力不佳的原因有以下幾點：

第一，忽略運算法則的生成過程，過早的機械化解題的步驟而忽略學生的內化過程。運算能力不是獨立存在的，它的生成是有內在邏輯的。

第二，在學生學習新的知識的時候沒有很準確地把握學生的學情，忽略學生已有的知識，達不到學習的有效遷移。

第三，九年級的綜合題目經常考察的整體思想、設而不求等運算技巧，教師平時教學中缺乏方法和思想的滲透，等到碰到題目的時候教師才刻意而為之，學生難以在短時間內掌握這些運算的技巧和方法。

正因為如此，在教學中我們時常用大量的題目訓練學生的運算能力，但總在部分學生身上看到“忘性大”和“粗心”。學生即便通過大量練習掌握了運算方法，也難靈活變通。這就違背了有效學習的初衷。如何用盡可能有效的辦法提高學生的運算能力，筆者經過日常的教學實踐積累，總結了以下幾點策略。

3 中學生運算能力提高策略

3.1 重視法則生成 ，講透算理——算中有思

學生學習運算法則的思維過程，主要分成四個步驟：具體例子、歸納法則、運用法則和推廣法則。若學生不能很好的運用法則，那么一定是給出具體的例子和歸納法則沒有做到位。在教學中，若過早對法則進行程序化機械步驟化的歸納或是簡單推導就歸納出運算法則，缺少學生的自我操作、舉例等過程，這就會使得學生缺乏法則生成的內化和理解。雖然在經過大量的練習，學生也能很好的運用法則，但是卻不能靈活選擇算法進行簡便靈活的應用。

章建躍教授曾說過：“沒有過程的教學是沒有思想的”。運算法則生成并非簡單一個步驟，在具體的問題情境下，運算條件分析、運算方法的選擇，都是學生要經歷的思維過程。在這過程中，要求學生思考并理清運算中的算理，只有透徹算理，才能發展學生的運算能力。

筆者在初入數學教學課堂的時候就曾經犯過這樣的錯誤。

案例1： 浙教版八年級上冊第三章第四節《一元一次不等式組》中的片段

（1）課上給出四個例子：

教師在黑板上演示過程，總結解一元一次不等式組的口訣：大大取大，小小取小。

（2）利用口訣解不等式組：

這個教學片段，教師將一元一次不等式組的解法運算簡單地看做一種技能，讓學生在缺乏對一元一次不等式組的解的概念的時候，就讓學生利用總結得到的口訣解不等式組，過早的程序化了運算，這是非常不利于學生掌握接受的。筆者認為應當給學生充分的時間親自動手借助數軸去找出公共的部分，在這個過程中充分感受這種數形結合的方法，在此之后教師再做總結，會使得學生更好的理解和接受，進而在熟悉算理和口訣的前提下，感悟“運算中有思考”，潛移默化地提高自身的數學運算能力。

3.2 重視錯題探究，吃透錯題——算中能思

《義務教育數學課程標準》中指出：“在數學教學活動中，錯誤往往是教師在教學中和學生在學習過程中，反映在各方面，出現違反教學結論或數學方法的現象”。而認知心理學也認為：“錯誤是學習的必然產物，學生的知識背景、思維方式、情感體驗、表達方式往往和成年人不同，他們在學習過程中出現各種各樣的錯誤是十分正常的”。所有學生都容易犯運算錯誤，這是難以避免的。而我們教師希望學生犯同一個錯誤的次數僅一次就好。但事實卻是我們總會發現部分學生長期犯同一個錯誤。運算能力的提高，需要一定的練習，但更重要的是：學生要通過習題，自我反思、總結、糾錯，知道問題出在哪里？想出改錯的方法，也就是吃透錯題，真正提高運算能力。

案例2 浙教版七年級下冊第三章第四節《乘法公式（1）》

學生犯的運算錯誤中，完全平方公式應該是頑疾。相信只要是數學老師都有體會，學生會將（a+b）2等于a2+b2，或者是將（a-b）2寫作a2-b2，遺落中間項。這個錯誤從七年級一直到九年級，嚴重影響到學生后續對因式分解、一元二次方程、二次函數、分式方程求解等知識的掌握和應用。

筆者發現，如果九年級的學生還犯這個錯誤，教師只是做簡單的更正，沒有予以重視，基礎薄弱的學生不清楚錯誤緣由，那么學生還會繼續重復這個錯誤。鑒于此，教師有必要對學生及時輔導，引導學生先用舉特殊值的方法否定這種算法，如（1+2）2 =32=9≠12+22，再讓學生用具體的數據回憶冪的定義，如：23如何計算？那么學生自然能夠得出（a+b）2 =（a+b）·（a+b），再接下來的推導中學生就得到了正確的公式。那么經歷了這個過程，學生能夠很好的認識的這個錯誤，在今后的學習中會有意識的規避這個錯誤。

學生是學習的主體，學生習得技能與知識，要建立在學生自我探索和思考的基礎上。所以學生對待錯誤也是一樣，教師不能流于表面的糾正學生的錯誤，而應該引導學生去研究這個錯誤，讓學生從錯誤中有所思考，做到算中能思，從而達到改正錯誤提高計算率的目的。

3.3 重視知識遷移，看透聯系——算中會思

初中的運算并不一塊獨立的知識，更不僅僅是一道實數的計算題，在做題過程中，不難發現，題目中存在很多知識間的聯系。但是，很多學生往往因為觀察能力不夠、分析能力不夠，不能看透知識點之間的聯系，準確思考，教師若能給學生搭建起橋梁，就能夠實現知識遷移，讓學生在計算中學會思考，達到提高運算速度的功效。

案例3以三角形相似和勾股定理運算為例。

學完相似三角形后，學生就能明白相似的一些三角形，它的三邊比例關系是不變的。借助這一點，可以幫助學生簡化勾股定理的運算。我們知道中考題中，常出現的直角三角形的三邊比有，等。

例如：如圖這樣的直角三角形，已知直角三角形的兩直角邊分別為和14，求斜邊。

求斜邊的時候，學生若老老實實的用勾股定理計算，計算量是比較大的，也非常費時。但是若教師平時有意識地向學生灌輸常見的比例關系，學生容易發現，而，那么根據三邊的關系，第三邊就該是。這樣的例子還有很多。當學生熟悉了這種技巧，就無形中加快的解題的速度。

讓學生通過觀察、思考、探究、歸納，主動進行學習，勤思考，會思考，學會看透題目中知識點之間的內在聯系，從而提高運算速度，提升運算能力。

3.4 重視整體思想，滲透方法——算中巧思

數學思想是數學的靈魂，也是解題的法寶。整體思想是數學解題的重要思想方法之一。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。整體思想是初中解題中常常會涉及到的數學思想方法。筆者從往年的各地市的中考題中發現，在一些壓軸題中命題人非常喜歡設計整體代入的計算陷阱。認真研究不難發現，這么命題是可以將不同層次的學生區分開來的，由此達到壓軸題的功效。因此，在解題時，學會靈巧地思考，直觀重要。

案例4 溫州2018年中考題第10題：

我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（? ?）

A.20 B. 24

B. D.

這個題雖然有很多解法，但學生用的最多的還是以下這種解法：

設小正方形的邊長為x，那么矩形的兩邊分別表示為3+x和4+x，由題容易知道圖中矩形的對角線長為7。

由勾股定理，得（3+x）2+（4+x）2=72。

化簡后得到x2+7x=12。

所以矩形的面積。

在筆者給班級里成績不錯的學生做這個題的時候，發現做對的還是挺多，但是做題的速度卻大有不同。因為很多學生在由勾股得到這個結果的時候，是畫時間解這個一元二次方程的，而這個方程的解是比較復雜的。然后在將解代入求矩形的面積的時候就花了大量的時間。殊不知，可以設而不求。這種“設而不求”其實就是一種代數中的整體代入的方法。設而不求在這個題目里面可以為學生節省下來非常多的時間，大大減小解題運算量。

其實，設未知數然后求出來是學生的思維定勢，筆者認為若因為九年級學生遇到了這樣的一些題目，教師這時候才刻意和學生灌輸整體思想是來不及的。整體思想方法應在從七年級開始就不斷的滲透在日常的教學中，幫助學生搭建知識結構和思維框架，學會思考，并學會“巧思”，才能切實提高學生的運算能力?？傊岣邔W生運算能力是一個長期的過程。學生運算能力的培養不僅僅是實現技能熟練，也伴隨學生數學思維的提高。筆者認為需要從養成習慣入手，讓學生在運算中有思考、能思考、會思考、巧思考。通過技能固化，實現運算相關知識融會貫通，應用自如，從而潛移默化式提高初中生的運算能力。

參考文獻：

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海寧市許村中學 （浙江省海寧市 314409）