復合材料MMB試件I-II混合型層間裂紋擴展分析

鄧健，盧天健,*，尹喬之

1. 南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016 2. 南京航空航天大學 多功能輕量化材料與結構工業和信息化部重點實驗室，南京 210016 3. 南京航空航天大學 飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室，南京 210016

飛機復合材料結構多為典型的薄壁層合板/夾芯結構，在外部載荷作用下易發生分層損傷。嚴重的分層損傷不僅會很大程度地影響整體結構剛度，還是導致結構最終失效破壞的關鍵因素[1-2]，因此亟需發展有效、可靠的分層損傷預測方法，以最大限度提高復合材料結構設計能力。近年來，基于黏聚區模型(Cohesive Zone Model，CZM)的界面單元法被廣泛用于模擬復合材料結構的層間失效[3-4]。然而，數值模擬中黏聚區長度與界面單元尺寸的確定、計算收斂性與數值穩定性等問題仍一定程度地阻礙了其在更復雜結構中的應用[5]。建立基于黏聚區模型的層間裂紋擴展分析模型，能夠以較低成本討論界面性能參數、本構形式以及外部載荷形式等對裂紋擴展和最終失效載荷的影響，有利于深刻揭示分層損傷萌生及裂紋擴展的力學機理[6]。尤其是針對典型層間斷裂模式的裂紋擴展分析與評估，能夠為有限元分析中的界面參數選擇提供依據，同時為復合材料斷裂韌性試驗的設計和數據處理方法的發展提供理論基礎。

針對具有單一斷裂模式的典型雙懸臂梁(DCB)和端部缺口彎曲(ENF)試件中的裂紋擴展，國內外均開展了廣泛研究。Kanninen[7]首先建立了DCB裂紋擴展的簡單梁模型，其假設開裂部分為彈性固定在裂紋尖端區域的歐拉-伯努利梁，并采用彈簧力模擬了裂紋界面的應力。Williams和Hadavinia[8]將該模型拓展到多角度鋪層的DCB試件，討論了不同黏聚區本構和材料參數對I型裂紋斷裂韌性預測值的影響。Carlsson等[9]基于鐵木辛柯梁理論分析了ENF試件的裂紋擴展，討論了剪切變形對能量釋放率的影響。Williams[10]考慮了裂尖變形和轉角的影響，修正了裂紋長度計算方法，提高了II型裂紋擴展的準確性。通過引入黏聚區軟化過程以考慮層間失效機理，Wang和Qiao[11]給出了更為合理的斷裂韌性的求解方法。陳瑛和喬丕忠[12]將雙線性黏聚區本構引入到4ENF試件中，研究了界面應力分布情況，但并未詳細討論裂紋擴展過程。劉偉先等[13-14]研究了單向復合材料DCB及ENF試件中的裂紋擴展，認為裂紋擴展之后黏聚區長度保持定值，但是，劉偉先等[14]的工作僅涉及了ENF試件的裂紋長度小于試件半長的情況，但未分析II型裂紋長度超過試件半長后的裂紋擴展過程。

在工程實際中，相較于單一型斷裂模式，混合斷裂模式更為常見，混合斷裂模式下的裂紋擴展分析及能量釋放率的計算也更加復雜[2-3]。Reeder和Crews[15]于1990年提出的混合模式彎曲(MMB)試件是目前應用廣泛的混合斷裂試件，通常用于測量混合模式下的臨界能量釋放率及表征混合模式的黏聚區本構[15-16]。基于線彈性力學假設和載荷分配，Reeder和Crews[15]將其等效為DCB與ENF試件的疊加，對于裂紋長度未超過試件半長的情況，獲得了較好的預測結果。在Williams[10]裂紋長度修整方法的基礎上，de Morais和Pereira[17]分析了多角度層合板的混合斷裂。Blanco等[18]給出了MMB試件加載臂長與混合模式比的函數關系，Mi等[19]則給出了裂紋長度超過試件半長時的能量釋放率計算公式，但未討論不同模式混合比對預測結果的影響。Bennati等[20]進一步考慮了MMB試件中I型裂紋分量的微小剛體轉動，以保證其與MMB及ENF分量的邊界條件保持一致，但未考慮黏聚區軟化行為對裂紋擴展的影響。

本文基于經典層合板理論及黏聚區模型，建立含一般分層裂紋層合板的理論模型，對I-II混合型斷裂MMB試件進行裂紋擴展分析。該模型充分考慮了黏聚區的軟化過程，采用合理的裂紋疊加模型，引入I型裂紋分量(DCB試件)的剛體轉動位移，考慮中部載荷對裂紋擴展的閉合效應，分段獲得了位移函數通解。結合疊加模型的邊界條件與連續性條件，求解獲得了載荷-位移曲線，將預測結果與試驗及梁模型預測結果進行對比，以驗證該理論模型的有效性。利用該理論模型，進一步研究了在裂紋擴展過程中斷裂模式混合比、黏聚區長度的變化及閉合效應的影響。本文結果不僅為復雜結構的分層裂紋擴展分析提供理論依據，還為數值仿真提供一個可靠的交叉檢驗工具。

1 含一般分層裂紋的層合板模型

考慮含有一般分層裂紋的層合板，長為2L，寬為b，分層后的上下半板分別厚h1、h2，其幾何尺寸及坐標系如圖1所示。設貫穿該層合板寬度方向且與其長度方向平行的裂紋長度為a。同時假設該分層裂紋僅沿已有裂紋方向擴展，潛在裂紋在圖1中以虛線標出。假定沿分層裂紋界面將層合板分為上下兩半板，且其橫截面表現為平面應變狀態。本文所討論的復合材料層合板多為薄壁結構，符合經典層合板理論的應用范圍[21]，則上下兩半板在各自局部坐標系中的位移場可表示為

圖1 含一般分層裂紋層合板微元段的受力分析Fig.1 Free body diagrams of sub-elements in general cracked laminates

(1)

由于微元分析只考慮上下兩半板在xOz平面內的變形[22]，上下兩半層合板中的本構關系可簡化為

(2)

式中：A11i、B11i、D11i分別為拉伸剛度、耦合剛度及彎曲剛度；Ni為軸向力；Mi為彎矩。假設裂紋擴展過程中上下兩半板處于小變形狀態，根據上下兩半板微元段的受力平衡條件，忽略高階項，則含一般分層裂紋的復合材料層合板(上下兩半板)的控制方程為

(3a)

(3b)

式中：Qi表示截面剪力，i=1,2；σ(x)、τ(x)分別為裂尖黏聚區的法向應力和切應力，可根據黏聚區本構關系(Traction-Seperation, T-S)確定；f(x)為面外分布載荷，由于本文討論的DCB、ENF及MMB試件僅受到局部集中載荷，因此f(x)=0。為保持應力方向與相對位移方向一致，定義法向相對位移Δn為上半板相對下半板的張開位移，切向位移Δs為上半板相對下半板的滑開位移：

(4)

根據雙線性黏聚區模型(圖2)，可將黏聚區應力τ與相對位移Δ的本構關系表示為

τ=

(5)

式中：Kinitial、Ksoften分別為線彈性及軟化階段的切線剛度，且Kinitial>0、Ksoften<0；Δonset為黏聚區損傷起始時的相對位移，Δultimate為最終有效相對位移，此時分層裂紋發生擴展；τc為界面應力強度。曲線包圍面積為界面斷裂韌性GC。

由此，含一般分層裂紋的層合板理論分析模型已基本建立，包括：由式(1)給出的變形協調條件，式(2)給出的層合板本構關系，式(3)給出的受力平衡關系，以及式(5)給出的黏聚區本構關系。聯立以上微分方程，并結合具體層合板結構及加載工況所確定的邊界條件和連續性條件，便可進行求解。針對本文中I-II混合型層間裂紋擴展的MMB試件(圖3)，其邊界條件可表示為

(6)

特別地，在PII加載點處，引起了剪力突變，其突變的絕對值為載荷P的大小，即為

圖2 雙線性黏聚區本構模型Fig.2 Bilinear T-S law for cohesive zone

圖3 MMB試件幾何尺寸及加載情況Fig.3 Geometric dimensions and loading conditions of MMB specimen

PII+Q1(L-)=Q2(L+)

(7)

2 MMB試件裂紋擴展分析

如圖3所示，MMB試件兩端受簡支約束，外載P通過剛性加載杠桿施加，加載點位于離試件中部距離為C的位置。由受力平衡可知，外載荷P可等效為試件端部張開載荷PI=PC/L及試件中部的壓彎載荷PII=P(C+L)/L，進而將MMB試件等效為DCB試件與ENF試件的疊加。同時，根據加載點位置(C/L)可進一步確定裂紋擴展時I型和II型裂紋形式的混合比，m=GII/(GI+GII),0≤m≤1，即II型裂紋擴展的能量釋放率(GII)與總體能量釋放率(GI+GII)的比值[16, 20]。

與單一斷裂模式相同，在混合模式加載的情況下，當總體能量釋放率達到混合模式下的斷裂韌性時，即G=GI+GII=GC，裂紋開始擴展。但混合模式的斷裂韌性(GC)對裂紋混合比m的變化較為敏感，因此無法將其用作普適的裂紋擴展準則[17]。常用的替代方案為基于純I型與純II型的斷裂韌性(GIC和GIIC)及合理的擬合參數而建立的混合模式裂紋擴展準則[23]，如雙參數冪準則及B-K準則[23]。因此，針對MMB試件開展裂紋擴展分析的關鍵在于合理地將其等效為DCB試件與ENF試件的疊加，以分別求出GI和GII。

2.1 混合型斷裂疊加模型

當裂紋長度未超過試件半長時，基于線彈性及小變形假設，可將MMB試件分解為典型DCB與ENF試件，其載荷分配形式如圖4所示。

由于DCB分量與ENF分量的邊界條件不同，簡單的疊加兩者位移場所獲得的MMB試件位移場不夠準確。為保持DCB及ENF分量的約束與疊加后的MMB試件一致，Bennati等[20]引入DCB試件繞試件右端簡支約束點的剛體轉動，提出了增強梁模型(Enhanced Beam Theory，EBT)，其載荷分解如圖5所示，其中DCB試件的剛體轉動轉角θ為

圖5 考慮約束變形一致性的MMB試驗載荷分解Fig.5 Load decomposition for MMB test considering consistency of constraints and displacement

(8)

(9)

(10)

式中：A11、B11分別為上半板的拉伸剛度與耦合剛度。

此外，Bennati等[20]忽略了DCB試件中PII/2分量的閉合效應對MMB試件的影響，即當裂紋長度超過試件半長時(a>L)，由于PII/2分量的存在，DCB試件的I型裂紋可能會發生閉合。此時，根據DCB試件的上半板力矩平衡，MMB試件中的I型裂紋不再擴展的條件為

(11)

式中：ac為MMB試件中的I型裂紋不再擴展的臨界裂紋長度。

2.2 求解

根據式(9)和式(10)給出的位移函數疊加模型，可分別對未考慮剛體轉動的DCB試件及ENF試件進行求解，DCB及ENF試件的載荷及約束條件如圖5所示。在裂紋擴展過程中，DCB試件及ENF試件的裂紋尖端位置應始終保持一致，且當滿足裂紋擴展準則時，I型及II型裂紋同時擴展。此外，當裂紋長度超過試件半長時，由于試件中部載荷的作用，可能會出現I型裂紋完全閉合的情況，此時MMB試件中僅存在純II型分層裂紋，本文通過判定裂紋尖端的法向相對位移是否為負值來確定I型裂紋是否閉合。

鑒于文獻[13]詳細分析了DCB試件的裂紋擴展過程，本文不再贅述對MMB混合斷裂中I型裂紋分量的求解過程；另一方面，現有文獻對ENF試件II型裂紋擴展分析僅考慮了裂紋長度小于試件半長的情況[14]。因此，本文著重對MMB試件中II型裂紋分量(ENF試件)的裂紋擴展過程進行分段求解。

3 ENF試件裂紋擴展分析

ENF試件兩端受簡支約束，并在其中間部位施加垂直試件表面的下壓載荷。結合式(1)～式(4)， ENF試件II型裂紋擴展的控制方程可簡化為

(12)

式中：Δu為ENF試件上下半板的軸向相對位移；D11為上半板的彎曲剛度。

根據黏聚區本構關系，將其力學響應分為3個階段：線彈性、黏聚區軟化及裂紋擴展階段，進而分段求解撓度函數w(x)及軸向位移函數u(x)的表達式。

(13)

(14)

式中：

φ1=

(15)

可得位移函數通解為

(16)

(17)

其位移函數的通解為

(18)

根據圖3中ENF分量的載荷和約束情況，其邊界條件可表示為

(19)

式中：Mreslt=M1+M2+h(N1-N2)/2為ENF試件中關于中面(斷裂面)的合力矩。

初始裂紋長度。在xE=2L-a-lCZ、xS=2L-a，ENF試件的位移函數w(x)、u(x)均應滿足位移連續、轉角連續、合力矩連續、剪力及軸力連續條件：

(20)

(21)

式中：Qreslt為上下半板的合剪力。因此，由邊界條件式(19)及連續性條件式(20)、式(21)即可確定位移函數w(x)、u(x)中的24個待定系數ai(i=1,2,…,24)。

黏聚區尖端xE=2L-a-lCZ處的位移應始終保持為Δs(xE)=Δonset，由該約束條件即可求得載荷P的值。進一步地，在數值計算過程中，設定黏聚區長度lCZ為增量疊加的過程：

(22)

特別地，在加載點處，存在集中載荷P，引起剪力突變，其突變的絕對值為載荷P的大小，即為

P+Qreslt(L-)=Qreslt(L+)

(23)

令Δs(xE)=Δonset，可求得加載時線彈性階段的最大載荷P0。

當黏聚區滿足裂紋擴展條件時，即Δs(xS)=Δultimate，裂紋發生擴展，此時裂紋長度a>a0。在數值計算過程中，設定裂紋長度a為增量疊加的過程：

aj=aj-1+δa

(24)

式中：δa為裂紋長度增量，本文取為0.001 mm。此外，在裂紋擴展過程中，裂尖點xS=2L-a處及黏聚區尖端xE=2L-a-lCZ處的位移應滿足以下約束條件：

(25)

4 分析與討論

(26)

此外，考慮AS4/PEEK為熱塑性復合材料，本文采用B-K準則作為裂紋擴展準則。

由于假設加載杠桿為剛性，在試驗過程中不發生變形，則MMB試件加載點的位移ΔP可由端部位移Δend及試件中部位移Δcenter的約束關系得到[24-25]：

(27)

為驗證本文MMB試件裂紋擴展分析模型的合理性及有效性，將不同混合比下載荷-位移曲線的預測結果與文獻[24]中的試驗結果進行對比，如圖7所示。可見，本文提出的基于CZM裂紋擴展分析模型能較好地模擬I-II混合型裂紋擴展過程，所得的載荷-位移曲線與試驗結果吻合較好。

表1 MMB試件材料力學性能參數[24-25]Table 1 Material properties of MMB test specimens[24-25]

表2 不同混合比下MMB試件的幾何尺寸[24-25]

圖7 MMB試驗分層裂紋擴展載荷-位移曲線Fig.7 Crack propagation in MMB tests: load vs displacement curves

圖8給出了不同初始混合比下的MMB試件失效載荷預測值與試驗值對比結果，圖中Pc為最終破壞載荷。由于考慮了黏聚區的軟化過程，本文模型的載荷-位移曲線在初始彈性加載段之后引入非線性，使得最終的失效載荷預測小于增強梁模型的結果，更為接近試驗值。此外，隨著II型裂紋比重的增加，在達到失效載荷之后，持續加載，II型裂紋主導的分層破壞使得MMB試件的結構剛度降低更快。

圖8 MMB試件失效載荷預測值與試驗值對比Fig.8 Comparison between model prediction and test results of failure loads in MMB tests

不同初始混合比下，圖9給出了MMB試件端部(x=2L)相對位移及中部(x=L)變形隨載荷變化的響應結果。對比3種初始混合比下的試件中部變形Δcenter隨載荷增加的變化情況，可以發現II型裂紋比重較低時，Δcenter在裂紋開始擴展之后出現一定程度的負值(假定結構向下變形為正)，如圖9(a)、圖9(b)所示。由式(10)可知，DCB分量張開的向上位移大于ENF分量產生的向下壓彎變形，表明此時I型裂紋是主要的分層損傷形式。初始混合比值GII/GT較大、懸臂長C較小時，如圖9(c)所示，試件的端部相對位移Δend也隨之減小，其對Δcenter的約束作用降低，使得Δcenter在整個裂紋擴展過程中始終保持為正值，表明試件更多地產生II型裂紋。

圖9 不同初始混合比下的MMB試件中部及端部位移響應結果Fig.9 Center and end displacement responses of MMB specimens at different initial mode mixity ratios

圖10 MMB試驗中混合比隨裂紋擴展的變化趨勢Fig.10 Variation trends of mode mixity ratio with crack propagation in MMB tests

5 結 論

基于經典層合板理論及雙線性黏聚區本構形式，針對對稱鋪層MMB試件的裂紋擴展過程，建立了I-II混合型斷裂的裂紋擴展理論模型，引入黏聚區的軟化行為，同時在裂紋疊加模型中考慮了I型裂紋分量的剛體轉動位移及中部載荷的閉合效應，得到了以下結論：

1) 與梁模型預測及試驗結果進行了對比，驗證了其有效性和準確性。

2) 針對II型裂紋分量，給出了裂紋大于試件半長后ENF試件位移函數的分段通解。

3) II型裂紋的初始混合比較大時，閉合效應更為明顯，可能出現I型裂紋完全閉合的情況。

4) 裂紋擴展過程中，當裂紋長度小于試件半長時，斷裂混合比基本為常數，隨著裂紋擴展超過試件半長，由于中部載荷的閉合效應，裂紋形式逐漸向初始比重較大的單一型斷裂退化。

本文研究了I-II型混合斷裂對稱鋪層MMB試件的裂紋擴展，后續工作應進一步分析多種混合型斷裂韌性試件的裂紋擴展，同時考慮鋪層方式與不同黏聚區本構形式對裂紋擴展的影響，提高預測的準確性及模型的適用性。

[21] REDDY J N. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis[M]. Boca Raton: CRC Press, 2004.