區間不確定性下的空中作戰行動過程優選方法

鐘赟，萬路軍，張杰勇

1. 中國人民解放軍94040部隊，庫爾勒 841000 2. 空軍工程大學 信息與導航學院，西安 710077 3. 空軍工程大學 空管領航學院，西安 710051 4. 中國電科28所 空中交通管理系統與技術國家重點實驗室，南京 210007

隨著航空平臺技術、信息網絡技術和人工智能技術的飛速發展，空中作戰集群化、網絡化和智能化趨勢日益顯現[1-2]。空中作戰的行動過程(Course of Action, COA)設計，作為空中作戰任務計劃生成的關鍵技術，是空中作戰編隊根據實際作戰環境和敵方可能采取的作戰行動，生成的最優或較優作戰行動方案，其本質是對動態作戰行動、作戰環境和作戰效果三者因果關系的科學定量描述和高效優化求解，其設計效果決定了空中作戰效能發揮[3-4]。

對COA問題建模分析，運用較多的貝葉斯網絡(Bayesian Nets, BNs)和動態貝葉斯網絡(Dynamic Bayesian Nets, DBNs)方法存在其固有缺陷：一是在概率推理過程中，BNs和DBNs高度依賴條件概率表(Conditional Probability Table, CPT)，而CPT的合理構建具有一定困難；二是隨著作戰規模的增大，CPT中節點數量隨之增多，進而降低概率推理的計算效率[5]。因此，研究人員主要通過引入因果強度邏輯(Causal Strength Logic, CAST)參數，采用參數定義較少、推理效率較高的影響網絡(Influence Nets, INs)方法[6]，對COA問題進行研究。

在現有研究中，大多考慮了COA優選中的不確定性，并采用不同方法處理這種不確定性。文獻[7]考慮到作戰過程中的不確定性和對抗性，基于不完全信息博弈方法和INs進行問題建模，但缺乏對參數的不確定性表征。文獻[8]認為不確定性(外部事件出現概率的區間性)主要來源于外部事件，通過蒙特卡洛(Monte Carlo)方法對外部事件的不確定性進行模擬，并根據多次實驗下的概率計算信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)作為目標函數，但沒有考慮基準概率和影響強度值的不確定性。文獻[9]對文獻[8]進行了拓展研究，針對影響強度值時變場景，基于動態影響網絡(Dynamic Influence Nets, DINs)進行建模，并采用學習型遺傳算法對模型進行求解，但缺乏對關鍵參數確定過程中專家知識的一致性檢驗。

綜上所述，當前研究存在著不確定性來源分析不充分、對參數不確定性處理方式相對簡單、關鍵參數獲取過程中專家知識缺少一致性檢驗等問題。

本文采用無需估計變量分布律的區間值度量參數不確定性，引入區間優化思想[10-11]構建基于DINs的COA優選模型；基于改進Kendall協和系數檢驗法得到經過一致性檢驗的關鍵參數，并分析期望效果實現概率和各關鍵參數的相關關系；最后，采用改進快速非支配排序遺傳(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II, NSGA-II)算法對模型進行求解。

1 空中作戰COA建模分析

1.1 基本概念

期望效果(Desired Effects, DE)：是空中作戰編隊所要實現的最終作戰目的。執行的作戰任務不同，期望效果的種類和數量也有所不同，選取高效COA的核心目標，就是使得期望效果的實現概率最大。令空中作戰過程中的期望效果集合為D={d1,d2,…,d|D|}，其中，|D|為期望效果的數量。

中間效果(Intermediate Effects, IE)：是空中作戰編隊為達成最終作戰目的而取得的階段性作戰效果，其是作戰行動、外部事件和期望效果之間的紐帶。空中作戰編隊執行復雜任務時，直接建立數量較多的作戰行動、外部事件和期望效果之間的影響關系難度較大。因此，一般通過中間效果實現對各影響關系的分類關聯，從而有效降低表征作戰過程中所有影響關系的難度。令空中作戰中的中間效果集合為C={c1,c2,…,c|C|}，其中，|C|為中間效果的數量。

1.2 基于INs的COA靜態建模分析

基于INs進行COA問題因果關系建模，是將作戰行動、外部事件、期望效果和中間效果之間的因果關系影響強度用CAST參數來表示，通過從根節點到葉節點的概率傳播，進而計算得到期望效果的實現概率。

圖1 基于INs的COA靜態模型Fig.1 Static model of COA based on INs

圖1為基于INs的COA靜態模型。基于INs的COA靜態模型可表征為四元組IN={V,E,CAST,BP}。V={A,B,C,D}表示影響網絡中作戰行動A、外部事件B、期望效果C和中間效果D等節點集合。E={(A,C),(B,C),(C,D)}表示影響網絡中節點的因果關系，用帶箭頭或圓頭的有向邊描述。

CAST表示對?v∈V，影響網絡中的因果關系影響強度集合，對于有向邊(A,C)，影響強度為CAST(A,C)∈{(h,g)|h≥-1,g≤1}。其中，h表示父節點為1對子節點為1的影響程度，g表示父節點為0對子節點為1的影響程度。一般可以根據h和g的取值情況，將因果關系劃分為促進關系和抑制關系兩類，對于有向邊(A,C)，當h>0，g≤0時，表示A對C有促進作用，所對應的有向邊e∈E帶箭頭；當h≤0，g>0時，表示A對C有抑制作用，所對應的有向邊e∈E帶圓頭。而在概率推理過程中，影響強度值取h值或g值，取決于父節點是否發生。若發生則取h值，反之則取g值。

BP表示影響網絡中各相關節點取值的基準概率集合，即在沒有外部因果關系影響下，相應節點取值為1的概率，有BP={bp1,bp2,…,bp|BP|}。

以事件cn受事件ai影響場景下的概率計算為例，令xi為取值0或1的隨機向量，ai的發生與否，直接影響到xi的取值情況。若事件ai發生，則xi=1；反之，則xi=0。為度量xi的取值對事件cn是否發生的影響，采用式(1)，從定性角度定義事件ai對事件cn的影響情況：

(1)

對于給定的ai，事件cn發生的條件概率為P(cn|ai)，則式(2)表示從定量角度定義事件ai對事件cn的影響情況：

(2)

式中：P(cn)為事件cn發生的基準概率。

令s(ai)∈[-1,1]，進而利用線性插值法擴展P(cn|ai)的定義空間，則給定ai，事件cn發生的條件概率P(cn|ai)定義為

P(cn|ai)=

(3)

在實際問題中，存在多個事件對某事件同時產生影響。此時，需要進行影響強度值聚合后進行概率推理，具體見式(14)～式(18)。

1.3 基于INs的COA靜態建模分析

通過式(1)～式(3)，建立了CAST值與條件概率P(cn|ai)的映射關系，從而將作戰行動、外部事件、期望效果和中間效果的因果關系用影響值進行鏈接，生成相應影響網絡。

然而，空中作戰是連續動態的作戰過程，作戰行動和外部事件會隨著戰場態勢的變化而不斷演進，從而導致基于INs的COA靜態模型并不能有效表征參數變量的動態演變過程。

為克服INs在建模過程中時間特性表征不足的缺陷，需基于DINs對空中作戰COA問題進行動態建模，在影響強度計算過程中引入自環(Self Loop, SL)機制。即某作戰階段的期望效果和中間效果實現概率不僅與當前作戰階段的作戰行動過程有關，還會受到上一作戰階段的期望效果和中間效果實現概率的影響，從而有效刻畫了期望效果和中間效果狀態轉移的馬爾科夫特性。

圖2 基于DINs的COA動態模型Fig.2 Dynamic model of COA based on DINs

考慮到空中作戰COA優選的目的是有效完成使命任務，因此主要選取最后作戰階段的期望效果實現概率P{dm(tT+1)}作為評價指標。以編隊作戰資源和規則為約束條件，以特定行動過程下的期望效果實現概率為優化目標，建立基于DINs的COA優選數學模型為

maxF(S)=P{dm(tT+1)|CE(t0),ΨS}

(4)

式中：R(tk)為tk-1～tk階段的作戰資源消耗；R0為作戰資源閾值。

目標函數表示以初始外部作戰環境為起點，在可行行動空間中選取相應行動過程，使得最終期望效果實現概率最大；第1個約束表示任意作戰階段的作戰資源消耗均不能超過作戰資源閾值；第2個約束表示行動過程必須在可行行動空間中選取。

1.4 參數不確定性分析

在空中作戰編隊作戰過程中，不確定性主要體現在相關作戰參數的取值分布上，主要包括以下3類。

1) 外部事件出現概率的不確定性。由于敵方敵對行為的不可預測以及作戰專家知識的局限性，外部事件出現概率很難以準確值給出。

2) 基準概率的不確定性。由于作戰專家知識的局限性，不能給出基準概率的準確值。

3) 影響強度值的不確定性。由于作戰專家知識的局限性，不能給出影響強度的準確值。

在復雜的戰場環境中，難以給出上述參數的準確值，甚至較難估計其分布律。因此，主要采用只需簡單給出上下界的區間數對上述參數的不確定性進行表征。對于區間數U=[uL,uR]和V=[vL,vR]，定義相關運算法則為[12]

U+V=[uL+vL,uR+vR]

(5)

kU=[kuL,kuR]k>0

(6)

2 DINs的概率傳播機制

與INs一樣，DINs的概率傳播也是子節點與多個獨立父節點之間的近似概率推理，概率推理的核心要素CAST參數由作戰專家根據作戰知識給出。與INs不同的是，DINs具有動態特性，若父節點的實現概率隨著時間發生動態變化，則子節點的實現概率也會發生相應變化。

DINs的概率傳播機制主要包括2個方面，分別是關鍵參數確定和概率傳播算法，其中，關鍵參數主要包括CAST參數和外部事件出現概率。

2.1 關鍵參數確定

對于DINs中的關鍵參數，一般采用多專家知識融合方法進行確定。在具體表征方式上，用橫坐標為專家權威度Q、縱坐標為關鍵參數的二維坐標系，即信念圖進行表示[6]。圖3為關鍵參數是影響強度值時，基于信念圖的影響強度值。

圖3 基于信念圖的影響強度值Fig.3 Influence strength value based on belief graph

其中，專家權威度Q和關鍵參數的分類采用模糊語言型分類，并建立評語到定量表達的映射，專家權威度Q的評判劃分為5個等級，分別為高、較高、一般、較低、低，對應量化值為1.0、 0.75、0.5、0.25、0；關鍵參數的評判劃分為7個等級，分別為絕對強、很強、較強、一般、較弱、很弱、無，對應量化值為1.0、0.9、0.7、0.5、0.3、0.1、0。圖3中點位h2(0.8,[0.75,0.85])和g2(0.8,[0.25,0.30])分別表示，在不考慮取值正負性情況下，權威度為0.8的專家給出h值的取值范圍為[0.75, 0.85]，g值的取值范圍為[0.25,0.30]。

一般直接采用相應方法進行關鍵參數的融合生成，然而，當前研究缺乏對專家知識的一致性檢驗，從而造成某些與其他專家知識不一致的專家知識對最終融合值生成產生影響。因此，首先采用改進Kendall協和系數檢驗法對專家知識進行一致性檢驗，隨后將通過一致性檢驗的專家知識融合生成最終結果。

1) 基于改進Kendall協和系數檢驗法的一致性檢驗

同樣以影響強度值為例，記所有作戰專家集合為Z={z1,z2,…,z|Z|}，|Z|為專家數量，則對集合Z中專家知識進行一致性檢驗步驟如下。

Ro=[ro,1,ro,2,…,ro,|V|]

(7)

式中：ro,v(1≤v≤|V|)為Cho,v在Ho中按升序排序的排序號，區間數的排序方法見式(21)。

步驟2建立假設J0：集合Z中作戰專家關于影響強度賦值意見不一致；備擇假設J1：集合Z中作戰專家關于影響強度賦值意見一致。令顯著性水平α=0.05。

步驟3根據式(8)，計算專家集合Z中集合所有專家知識的Kendall協和系數檢驗量Kendall(Z)。

Kendall(Z)=

(8)

步驟4判斷Kendall(Z)與顯著性水平α下Kendall協和系數檢驗閾值Kα的大小關系，若Kendall(Z)

2) 基于綜合加權的一致性專家知識集結

通過對專家知識的一致性檢驗，可以得到集合Z的專家知識一致度ηZ：

(9)

則對于一致性專家知識集結，需要找到一組這樣的專家組Z′，使得Z′中專家知識一致并且具有最高專家組權威度，即有

maxμZ′

(10)

式中：第1個約束表示Z′中專家知識必須一致。μZ′為Z′的專家組權威度，計算公式為

(11)

為求解式(11)，并利用綜合加權方法集結專家知識得到融合后影響強度值，采用具體步驟如下。

步驟1初始化專家集合Y=?，令計數標志count=1。

步驟2判斷專家集合Z的知識一致度ηZ是否等于1，若否，則將Z中知識相似度最小專家移至集合Y，循環執行步驟2直至ηZ=1或Z中只剩1名專家。專家知識相似度計算方法如式(12)所示：

(12)

步驟3令集合Zcount=Z且count=count+1，并先后執行Z=Y，Y=?，循環執行步驟2和3直至ηZ=1或Z中只剩1名專家。

步驟4比較Z1，Z2，…的專家組權威度，并令Z′=argmax{μZ1,μZ2,…}。

步驟5通過步驟1～步驟4，確定了符合一致性原則并使得權威度最大的專家組，采用式(13) 計算得到融合多專家知識的影響強度h值結果。

(13)

式(13)的計算涉及到區間數和區間數的加法運算規則，以及區間數和實數的乘法運算規則，采用式(5)和式(6)進行計算。

類似地，融合多專家知識的其他關鍵參數均可以通過上述步驟計算得到。

2.2 概率傳播算法

在任意作戰階段，子節點的實現概率取決于父節點的實現概率。因此，隨著作戰進程的不斷推進，需要根據父節點的實現概率變化情況，從上至下依次進行子節點實現概率的更新。具體概率傳播算法如下。

步驟1對于特定作戰階段，根據當前影響網絡中所有節點出度和入度情況，將節點劃分為不同層次。其中，根節點層次最高，中間節點層次居中，葉節點層次最低。

步驟2判斷是否進入下一作戰階段，若是，則更新所有節點所在層次和根節點先驗概率。

步驟3根據影響強度值計算子節點條件概率，以父節點集合A、子節點cn，求cn的條件概率P(cn|a1,a2,…,a|A|)為例，ai的影響強度取值為s(ai)。相應條件概率具體計算過程如下。

1) 進行正影響強度聚合，生成PI值。

(14)

2) 進行負影響強度聚合，生成NI值。

(15)

3) 將PI值和NI值聚合，生成整體影響強度OI值。

(16)

4) 計算得到條件概率P(cn|a1,a2,…,a|A|)。

P(cn|a1,a2,…,a|A|)=

(17)

步驟4根據全概率公式，計算子節點的實現概率。同樣以步驟3中父節點事件發生情況為例，并考慮到父節點的獨立性，P(cn)的計算公式為

P(cn)=

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×P(a1)×

P(a2)×…×P(a|A|)+

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×

P(a1)×P(a2)×…×P(a|A|)+

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×P(a1)×

P(a2)×…×P(a|A|)+…+

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×

P(a1)×P(a2)×…×P(a|A|)

(18)

步驟5按照上述步驟，將所有層次節點進行概率更新。

由于外部事件出現概率、基準概率和影響強度值的區間不確定性，期望效果和中間效果的實現概率必然也為區間值。而期望效果和中間效果實現概率區間值的上下界取決于其與上述各關鍵參數的相關關系。因此，需要根據式(14)～式(18)， 分析子節點實現概率與各關鍵參數的相關關系，有定理1～定理4成立，詳見附錄A。由此可知，目標節點實現概率與外部事件出現概率成反比，與基準概率成正比，與影響強度h值、g值成正比。

考慮到空中作戰具有隨時間演化的動態特性，在目標節點，即期望效果和中間效果實現概率計算過程中，需要逐階段進行，步驟如下。

步驟1對目標節點狀態進行初始化，輸入經過一致性檢驗專家知識集結的各關鍵參數。

步驟2根據作戰專家知識，選取tk-1～tk階段的可行行動策略。

步驟3根據式(14)～式(18)進行概率傳播，生成本作戰階段期望和中間效果實現概率。

步驟4向下一作戰階段傳播期望效果和中間效果實現概率，并同樣根據式(14)～式(18)，計算下一階段目標節點實現概率。

步驟5當作戰使命結束時，計算目標函數值P{dm(tT+1)}。

3 行動過程優選模型求解

空中作戰行動過程生成是一個典型的組合優化問題，本質是優選出使得期望效果實現概率最大的行動組合，其主要包括3個關鍵部分：一是根據Kendall協和系數檢驗法集結專家知識生成影響強度值；二是根據DINs計算生成期望效果實現概率；三是采用改進區間優化算法優選最佳行動過程。如圖4所示，為行動過程優選方法框架。

圖4 行動過程優選方法框架Fig.4 Framework of COA optimized selection method

從式(4)可知，需要進行優化的目標不止一個，空中作戰行動過程優選問題是一個典型的多目標優化問題，可采用多目標優化算法進行求解，而NSGA-II算法是一種有效求解方法[13]。

該算法根據快速非支配排序、個體擁擠距離計算以及基于外部檔案的精英保留等策略，對包括選擇、交叉和變異等算子的遺傳算法[14]進行拓展，使之能夠高效、穩定求解多目標優化問題。

因此，需要根據區間優化的特點，對NSGA-II算法進行適應性改造，主要包括實數型編解碼方式、基于可能度的區間數個體排序、基于期望值和寬度值的區間數個體擁擠距離計算，從而有效求解式(4)描述的數學模型。

1) 實數型編解碼方式

考慮到NSGA-Ⅱ算法的迭代特性，采用長度為|A|的實數型編碼方式。對于不同位置的個體元素，取值范圍各有不同，如對第i個個體元素，取值范圍為(1,|ai|+1)，其中，|ai|為作戰行動ai中基本策略的個數。

2) 基于可能度的區間數個體排序

若存在區間數U=[uL,uR]和V=[vL,vR]，則可以構建區間可能度模型為[15]

(19)

根據式(19)，區間可能度的主要特性如下：① 0≤P(U≤V)≤1成立；② 若P(U≤V)=P(V≤U)，則同時有uL=vL，uR=vR成立；③P(U≤V)+P(V≤U)=1成立。

在此基礎上，定義區間數個體排序方法。對區間數U=[uL,uR]和V=[vL,vR]，若P(U≤V)≥0.5，則稱U不大于V；若P(U≤V)≤0.5， 則稱U不小于V；若P(U≤V)>0.5，則稱U小于V；若P(U≤V)<0.5，則稱U大于V。

因此，若染色體Y1對應的期望效果實現概率分別為P1{d1(tT+1)}和P1{d2(tT+1)}，染色體Y2對應的期望效果實現概率分別為P2{d1(tT+1)}和P2{d2(tT+1)}。

1) 若滿足P1{d1(tT+1)}≥P2{d1(tT+1)}且P1{d2(tT+1)}≥于P2{d2(tT+1)}，與此同時，若滿足P1{d1(tT+1)}>P2{d1(tT+1)}或P1{d2(tT+1)}>P2{d2(tT+1)}，稱Y1優于Y2，即有Y1?Y2。

2) 若滿足P1{d1(tT+1)}≤P2{d1(tT+1)}且P1{d2(tT+1)}≤P2{d2(tT+1)}，與此同時，若滿足P1{d1(tT+1)}

3) 當Y1既不優于，也不劣于Y2時，稱Y1等價于Y2，即有Y1～Y2。

改進NSGA-II算法搜索目的，是通過多次迭代尋優，搜索到優于其他所有個體的個體集合。

4) 基于期望值和寬度值的區間數個體擁擠距離計算

在改進NSGA-II算法中，由于規模限制，某一等級的染色體無法全部進入外部檔案，需要根據個體間擁擠距離計算結果，排除擁擠距離較小的個體。因此，對區間數距離計算主要采用基于期望值和寬度值的廣義EW距離計算方法[16]。

dEW(U,V)=

p≥1

(20)

式中：一般取p=2；E(U)=(uL+uR)/2和W(U)=(uR-uL)/2分別為區間數U的期望值和寬度值；E(V)和W(V)的計算方法類似。

4 仿真實驗分析

4.1 仿真案例設計

空中作戰任務類型眾多，以離岸島嶼攻擊任務為例。假定敵方在某離岸島嶼構建完整作戰防御體系，敵方重要目標主要包括作戰指揮中心、雷達陣地、彈藥庫、機場以及港口等。我方作戰行動預期是集中各類作戰力量，摧毀敵方關鍵作戰目標，便于下一步奪取島嶼控制權。

在作戰行動方面，令空中作戰編隊可采取行動集如下。a1：對敵方空中作戰編隊實施空對空攻擊；a2：對敵方水面艦艇實施空對海攻擊；a3：對敵方固定預定目標實施空對地攻擊；a4：對影響固定預定目標攻擊的前序固定非預定目標，實施空對地攻擊；a5：對敵方移動預定目標實施空對地攻擊；a6：對影響移動預定目標攻擊的前序移動非預定目標，實施空對地攻擊；a7：作戰信息支援；a8：空中截擊作戰；a9：對敵電子干擾；a10：空中加油。

在外部事件方面，由作戰專家根據作戰知識或作戰歷史數據給出事件類型和出現概率，可能的外部事件如下。b1：敵方空中作戰編隊進行空中攔截；b2：敵方水面艦艇編隊進行對空攔截；b3：敵方地面防空系統進行防空作戰；b4：敵方對我進行電子干擾；b5：島外增援空中作戰編隊參與作戰。

在期望效果方面，主要包括兩類。d1：空中作戰編隊成功完成離岸島嶼攻擊任務；d2：空中作戰編隊任務執行中戰損程度。

在中間效果方面，由我方作戰行動和外部事件共同作用生成，包括如下。c1：空對空攻擊任務執行效果；c2：空對海攻擊任務執行效果；c3：對影響預定目標攻擊的前序非預定目標攻擊任務執行效果；c4：空中作戰編隊攻擊預定目標前空中集結；c5：對預定目標攻擊任務執行效果；c6：空中作戰編隊返航空中集結。

根據作戰專家分析，空中作戰編隊執行離岸島嶼攻擊任務，可以分為6個作戰階段：①t0～t1階段，對敵方空中攔截作戰編隊進行截擊；②t1～t2階段，對敵方海面艦艇進行壓制； ③t2～t3階段，對敵方前序固定或移動非預定目標進行攻擊；④t3～t4階段，經過空中加油后，進行預定目標攻擊前的空中集結；⑤t4～t5階段，對敵方固定或移動預定目標進行攻擊；⑥t5～t6階段，對敵方島外增援空中作戰編隊進行截擊后，編隊返航。

圖5 離岸島嶼攻擊任務DINs模型Fig.5 DINs model of offshore island attack mission

表1為經過一致性檢驗的外部事件出現概率。表2為根據專家知識，考慮作戰資源和規則約束，給出的各作戰階段行動可選策略[11]。

表1 外部事件(EE)出現概率Table 1 Occurrence probabilities of EE

表2 各作戰階段的可選策略Table 2 Alternative strategies for all phases

4.2 仿真結果分析

為驗證模型正確性和算法有效性、優越性，在CPU配置為Intel(R) Core(TM) i3 2.27 GHz的計算機上，基于MATLAB R2010a進行多組仿真實驗。其中，實驗1驗證改進Kendall協和系數檢驗法的有效性；實驗2驗證目標節點實現概率與各關鍵參數相關關系理論分析的正確性；實驗3和4分別驗證改進NSGA-II算法的有效性和優越性。

表3為根據專家知識給出的基準概率(bp)，表4為根據專家知識，給出的h值和g值取值情況。

采用Kendall協和系數檢驗法對h值進行一致性檢驗，具有最高權威度專家組集合為{z1,z2,z3,z6}，生成的最終h值分別為[0.36,0.44]、[0.65, 0.72]、[-0.89,-0.78]、[-0.82,-0.77]、 [0.52,0.67]、[0.58,0.67]、[-0.69,-0.59]、[-0.65,-0.57]、[0.41,0.51]、[0.25,0.38]、[-0.84,-0.69]、[0.26,0.35]、[0.52,0.59]、 [0.51,0.62]、[0.66,0.78]、[0.20,0.31]、 [0.51,0.63]、[0.36,0.46]、[0.70,0.82]、 [0.37,0.44]、[-0.49,-0.39]、[0.37,0.47]、[0.28,0.40]、[-0.72,-0.58]、[0.23, 0.30]。

當對g值進行一致性檢驗生成時，具有最高權威度專家組集合為{z1,z2,z3,z5}，生成的最終g值分別為[-0.55,-0.49]、[-0.68,-0.55]、 [0.23,0.31]、[0.44,0.57]、[-0.40,-0.31]、[-0.66,-0.59]、[0.61,0.71]、[0.42,0.50]、[-0.82,-0.70]、[-0.72,-0.64]、[0.38, 0.48]、[-0.36,-0.23]、[-0.58,-0.49]、 [-0.45,-0.35]、[-0.28,-0.19]、[-0.43,-0.37]、[-0.56,-0.48]、[-0.54,-0.47]、 [-0.56,-0.44]、[-0.33,-0.19]、[0.30, 0.37]、[-0.74,-0.63]、[-0.75,-0.68]、 [0.61,0.71]、[-0.67,-0.56]。

當對bp值進行一致性檢驗生成時，具有最高權威度專家組集合為{z1,z2,z3,z5}，生成的最終bp值分別為[0.21,0.30]、[0.55,0.65]、[0.31,0.42]、[0.56,0.63]、[0.41,0.54]、[0.53,0.64]、[0.36,0.47]、[0.67,0.75]。

表3 各專家給出的基準概率(bp)取值情況Table 3 Values of bp given by all experts

表4 各專家給出的h值和g值取值情況Table 4 h and g values given by all experts

圖6為期望效果實現概率隨外部事件出現概率、基準概率和影響強度值的變化情況。從圖6可以看出，d1和d2的實現概率與外部事件出現概率成反比，與基準概率和影響強度值成正比，驗證了理論分析的正確性。

仿真實驗3為驗證改進NSGA-II算法的有效性，利用相應算例參數，進行仿真實驗。其中，本文算法的最大迭代次數gen=100，種群規模sizepop=30，交叉概率pc=0.9，變異概率pm=0.1。

仿真實驗4為驗證本文算法的優越性，將其與多目標離散人工蜂群(Multi-Objective Discrete Artificial Bee Colony, MODABC)算法[17]和多目標離散粒子群(Multi-Objective Discrete Particle

圖6 期望效果(DEs)實現概率隨各關鍵參數變化情況Fig.6 Change in DEs realization probabilities with each key parameter

圖7 典型Pareto最優解Fig.7 Typical Pareto optimal solution

Swarm Optimization, MODPSO)算法[18]進行對比。對比指標采用衡量多目標優化算法的覆蓋性指標、均勻性指標和寬廣性指標[19]，其中，覆蓋性指標和寬廣性指標為效益型指標，越大越好；均勻性指標為成本型指標，越小越好。對目標函數進行歸一后計算指標值，各算法均運行20次，取20次運行結果平均值進行對比。

圖8為本文算法與MODABC算法對比情況。圖9為本文算法與MODPSO算法對比情況。

從圖8可以看出，與MODABC算法相比，本文算法在覆蓋性指標和均勻性指標上都要更優，在寬廣性指標上，在大多數迭代次數下，均更優。從圖9可以看出，與MODPSO算法相比，本文算法在覆蓋性指標和均勻性指標上都要更優，在寬廣性指標上，劣于MODPSO算法。因此，相比于其他2種對比算法，本文算法總體上較優。

圖8 改進NSGA-II算法與MODABC算法的對比Fig.8 Comparison between improved NSGA-II algorithm and MODABC algorithm

圖9 改進NSGA-II算法與MODPSO算法的對比Fig.9 Comparison between improved NSGA-II algorithm and MODPSO algorithm

5 結 論

空中作戰COA設計過程中，存在大量不確定性，為了提高COA設計的高效性和魯棒性，需要充分考慮這種不確定性。本文針對其中的參數不確定性，基于區間優化思想構建問題模型，在關鍵參數確定過程中引入改進Kendell協和系數檢驗法進行專家知識的一致性檢驗，定量分析目標節點實現概率與各關鍵參數的相關關系，進而采用改進NSGA-II算法對模型進行求解。仿真實驗結果表明，所提出方法是有效的，且相比其他算法，具有優越性。本文研究對于考慮參數區間性的空中作戰COA設計問題具有一定參考價值，下一步，可以將事件隨機性、決策模糊性等不確定性[20-21]引入空中作戰COA優選。

附錄A:

定理1若父節點A、C對子節點D有促進作用，父節點B對子節點D有抑制作用，則子節點D與父節點A、C呈正相關關系。

證明取簡單情形，假定父節點集合為{a1,b1,c1}，對于子節點d1，共有8種組合場景，包括{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}。

以父節點a1為例，定義只有a1狀態不同，b1和c1狀態相同的兩個場景，為一對場景對。例如，{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}即為一對場景對；同理，{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}也為一對場景對。

對于場景對{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}，在場景{d1|a1,b1,c1}下，影響強度值取為h(a1)>0、h(b1)≤0和h(c1)>0，分別進行正、負影響強度聚合，有PI(a1,b1,c1)=1-[(1-h(a1))×(1-h(c1))]，NI(a1,b1,c1)=1-(1+h(b1))成立。類似地，在場景{d1|a1,b1,c1}下，影響強度值取為g(a1)≤0、h(b1)≤0和h(c1)>0，分別進行正、負影響強度聚合，則同樣地，有PI(a1,b1,c1)=1-(1-h(c1))，NI(a1,b1,c1)=1-[(1+h(b1))×(1+g(a1))]成立。

當P(a1)=x,0≤x≤1時，有P(a1)=1-x。根據式(18)，P(d1)在上述場景對下的部分項P(d1|b1,c1)可以表示為

P(d1|b1,c1)=P(a1)×P(b1)×P(c1)×

P(d1|a1,b1,c1)+P(a1)×P(b1)×

P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)

(A1)

式中：P(d1|a1,b1,c1)和P(d1|a1,b1,c1)的計算主要根據式(14)～式(17)。

由于影響強度值取值范圍為[-1,1]，因此，必定有PI(a1,b1,c1)≥PI(a1,b1,c1)，NI(a1,b1,c1)≤NI(a1,b1,c1)成立。根據式(16)可知，OI與PI呈正相關關系，OI與NI呈負相關關系，則有P(d1|a1,b1,c1)≥P(d1|a1,b1,c1)成立。若記S1=P(b1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，S2=P(b1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，則S1≥S2，式(A1)可簡化為P(d1|b1,c1)=P(a1)×S1+P(a1)×S2。

當P(a1)=x+Δx,Δx≥0時，有P(a1)=1-x-Δx成立，P(d1)在相應場景對下的部分項變化量為:ΔP(d1|b1,c1)=(x+Δx)×S1+(1-x-Δx)×S2-x×S1-(1-x)×S2=Δx×(S1-S2)≥0。對于其他場景對，均可采用以上證明過程進行證明，且可以拓展到更復雜情形。因此，子節點D與父節點A呈正相關關系；同樣地，可以證明，子節點D與父節點C呈正相關關系。

定理2若父節點A、C對子節點D有促進作用，父節點B對子節點D有抑制作用，則子節點D與父節點B呈負相關關系。

證明同樣以定理1證明過程中的簡單情形為例，對于場景對{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}，在場景{d1|a1,b1,c1}下，影響強度、PI和OI取值情況與定理1中相同。在場景{d1|a1,b1,c1}下，影響強度值取為h(a1)>0、g(b1)>0和h(c1)>0，分別進行正、負影響強度聚合，同樣地，有PI(a1,b1,c1)=1-[(1-h(a1))×(1-g(b1))×(1-h(c1))]，NI(a1,b1,c1)=0。

當P(b1)=y,0≤y≤1時，有P(b1)=1-y。根據式(18)，P(d1)在上述場景對下的部分項P(d1|a1,c1)可以表示為

P(d1|a1,c1)=P(b1)×P(a1)×P(c1)×

P(d1|a1,b1,c1)+P(b1)×P(a1)×

P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)

(A2)

由于影響強度值取值范圍為[-1,1]，因此，必有PI(a1,b1,c1)≤PI(a1,b1,c1)，NI(a1,b1,c1)≥NI(a1,b1,c1)成立。根據OI與PI、NI的相關關系，則有P(d1|a1,b1,c1)≤P(d1|a1,b1,c1)成立。若記S3=P(a1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，S4=P(a1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，則S3≤S4，式(A2)可簡化為P(d1|a1,c1)=P(b1)×S3+P(b1)×S4。

當P(b1)=y+Δy,Δy≥0時，有P(b1)=1-y-Δy成立，P(d1)在相應場景對下的部分項變化量ΔP(d1|a1,c1)=(y+Δy)×S3+(1-y-Δy)×S4-y×S3-(1-y)×S4=Δy×(S3-S4)≤0。對于其他場景對，均可采用以上證明過程進行證明，且可以拓展到更復雜情形。因此，子節點D與父節點B呈負相關關系。

定理3若父節點A、C對子節點D有促進作用，父節點B對子節點D有抑制作用，則子節點D與父節點的影響強度h值呈正相關關系。

證明同樣以定理1證明過程中的簡單情形為例，對于場景對{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}，影響強度、PI以及OI的取值情況與定理1中相同。

首先，分析起促進作用父節點的影響強度h值對子節點D實現概率的影響。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當h(c1)增大時，則PI(a1,b1,c1)也增大，進而導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當h(c1)增大時，則PI(a1,b1,c1)也增大，同樣進而導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。因此，在該場景對下，根據式(18)，P(d1)隨之增大。對于其他場景對，均可采用以上證明過程進行證明，且可以拓展到更復雜情形。

然后，分析起抑制作用父節點的影響強度h值對子節點D實現概率的影響。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當h(b1)增大時，則NI(a1,b1,c1)減小，進而導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。類似地，在場景{d1|a1,b1,c1}下，當h(b1)增大時，則NI(a1,b1,c1)減小，進而使OI和P(d1|a1,b1,c1)增大。因此，在該場景對下，根據式(18)，P(d1)隨之增大。對于其他場景對，均可采用以上證明過程進行證明，且可以拓展到更復雜情形。

綜上，子節點與所有父節點的影響強度h值呈正相關關系。

定理4若父節點A、C對子節點D有促進作用，父節點B對子節點D有抑制作用，則子節點D與父節點的影響強度g值呈正相關關系。

證明同樣以定理1證明過程中的簡單情形為例，以場景對{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}為例。在場景{d1|a1,b1,c1}下，影響強度值取為g(a1)≤0、g(b1)>0和h(c1)>0，分別進行正、負影響強度聚合，則有PI(a1,b1,c1)=1-[(1-g(b1))×(1-h(c1))]，NI(a1,b1,c1)=1-(1+g(a1))成立。在場景{d1|a1,b1,c1}下，影響強度值取為g(a1)≤0、g(b1)>0和g(c1)≤0，進行正、負影響強度聚合，有PI(a1,b1,c1)=1-(1-g(b1))，NI(a1,b1,c1)=1-[(1+g(a1))×(1+g(c1))]

首先，分析起促進作用父節點的影響強度g值對子節點D實現概率的影響。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當g(a1)增大時，NI(a1,b1,c1)減小，進而導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當g(a1)增大時，NI(a1,b1,c1)減小，同樣進一步導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。因此，在該場景對下，根據式(18)，P(d1)隨之增大。對于其他場景對，均可采用以上證明過程進行證明，且可以拓展到更復雜情形。

然后，分析起抑制作用父節點的影響強度g值對子節點D實現概率的影響。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當g(a1)增大時，PI(a1,b1,c1)也增大，進而導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。在場景{d1|a1,b1,c1}下，當g(a1)增大時，則PI(a1,b1,c1)隨之增大，進而導致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。因此，在該場景對下，根據式(18)，P(d1)隨之增大。對于其他場景對，均可采用以上證明過程進行證明，且可以拓展到更復雜情形。

綜上，子節點與所有父節點的影響強度g值呈正相關關系。