無轉換參數下參考框架間Helmert直轉模型及精度分析

姜英明，紀曉雨，侯曉偉，馮彥同

(1.千尋位置網絡有限公司，上海 200438；2.濰坊職業學院農林科技學院，山東濰坊 262737)

0 引言

坐標參考框架是坐標系統的具體實現，通常通過一組核心站點的測站坐標和速度表示.坐標參考框架是測繪活動的參考基準[1]，同時，高精度的坐標參考框架也是進行空間大地測量學研究所必須的前提[2].各個坐標參考框架之間往往通過Helmert轉換參數來聯系.隨著我國北斗衛星導航系統（BDS）的建成和BDS坐標系的啟用，使用BDS進行精密定位定軌等研究和生產，都需要關注坐標框架的概念[3].為了準確使用各種參考框架，需要分析其轉換的性質.

對于瞬時坐標系或精度要求不高的坐標轉換，一般采用Helmert七參數進行.而對于高精度的坐標參考框架如國際地球參考框架(ITRF)，固定的Helmert七參數不能描述其框架的時變特性，因此Helmert七參數被視為是時變的，此時Helmert七參數被擴展成為Helmert十四參數[4].坐標參考框架在建立時，一般都會公布其到其他主流參考框架如ITRF之間的轉換參數，以方便用戶使用.

但在實際使用時，某些參考框架之間可能沒有直接的轉換參數，尤其對于某些區域性的坐標參考框架，此情形并不罕見.此時可通過某些“中間框架”如ITRF進行過渡，即首先將坐標或速度轉換到具有直接轉換參數的某個ITRF框架，再通過ITRF到目標框架的轉換參數，將坐標或速度轉換到目標框架.這造成了實際應用的復雜和不便.基于此類問題，本文推導了由間接的過渡參數計算直接轉換參數的公式，以簡化轉換過程，提高計算效率.

1 坐標框架轉換原理

1.1 Helm ert七參數情形

在不考慮框架轉換參數變率的情況下，一般采用Helmert七參數進行坐標轉換.假設從框架1到框架3之間沒有直接的轉換參數，但可以使用框架2進行過渡.記框架1到框架2的轉換參數為T1、D1、R1；框架2到框架3的轉換參數為T2、D2、R2.一般情況下，平移參數T的單位為mm，尺度縮放參數D的單位為10?9（ppb），旋轉矩陣R的單位為千分之一秒（mas）.若坐標或角度分別以m或rad為單位，則T、D、R的量級分別為10?3、10?9、10?9.

依據布爾莎模型，將框架1下的某點P的坐標X1先轉換到框架2再轉換到框架3下的計算公式[5]為：

式中：X2為點P在框架2下的坐標；X3為點P在框架3下的坐標.將式(1)代入式(2)，可得

整理式(3)，可得式(4)：

式(4)中，D2(T1+D1X1+R1X1)和R2(T1+D1X1+R1X1)兩項的量級皆為10?12m，在目前的測量精度下都可以忽略，因此在實際計算中，式(4)可以簡化為

對比布爾莎模型的轉換公式，可知框架1到框架3的直接轉換參數T3、D3、R3可用式(6)計算：

1.2 Helmert十四參數情形

ITRF給出的各ITRF參考框架之間的轉換參數也是時變的，因此其轉換參數一般有14個，包括給定歷元t0下的七參數以及其各自的變化率分別為：T、D、R、T˙、D˙、R˙.變化率的單位分別為mm/a、ppb/a和mas/a，其數量級分別為：10?3、10?9、10?9、10?3、10?9、10?9.

整理式(11)，可得

后兩項的量級皆為10?12m/a，在計算時可忽略不計，因此速度的轉換公式(12)可簡化寫為

同理，將式(7)、(8)代入式(9)，可得坐標的轉換公式：

整理式（14）并忽略微小量，可得

作為對照，式(7)亦可寫成

2 算例驗證

2.1 數據準備

歐洲參考框架網絡（EUREF）由多個持續觀測的永久性全球衛生導航系統（GNSS）站點構成，用于歐洲地區的參考框架維持.EUREF的數據由法國國家地理學院（IGN）或德國波茲坦地學中心（GFZ）統一處理，并基于其坐標和速度實現ETRS89坐標系.ETRS89是一種地心地固坐標系，其坐標系實現包括ETRF2000、ETRF2005和ETRF2014等[6].EUREF的站點分布由圖1所示。

圖1 EUREF站點分布圖

EUREF公布了其 714個站點分別位于ITRF2014、ETRF2014和ETRF2000框架下的坐標和速度，同時公布了ETRF到各ITRF框架的轉換參數.但是，其公布的成果中并未包含ETRF2014到ETRF2000的轉換參數.本文以將EUREF站點坐標從ETRF2014轉換到ETRF2000為例，驗證由式(17)計算直接轉換參數的可行性.此時坐標轉換有兩種方案：

1）首先將坐標和速度從ETRF2014轉到ITRF2014，然后再從ITRF2014轉換到ETRF2000，記為方法A；

2）使用式(17)計算ETRF2014到ETRF2000的直接轉換參數，然后對ETRF2014框架下的坐標和速度進行轉換，記為方法B.

EUREF公布的2010.0歷元下，ETRF2014轉換到ITRF2014的轉換參數如表1所示：

2010.0歷元下，ITRF2014到ETRF2000的轉換參數如表2所示：

表1 ETRF2014到ITRF2014的轉換參數

表2 ITRF2014到ETRF2000的轉換參數

由式(17)計算得，方法B所使用的2 010.0歷元下ETRF2014到ETRF2000的直接轉換參數如表3所示：

表3 ETRF2014到ETRF2000的轉換參數

2.2 結果分析

作為驗證，首先使用方法A將714個站點在ETRF2014下的坐標和速度轉換到ETRF2000，并將轉換成果與EUREF官方公布的數據進行對比.統計方法A與EUREF官方公布的ETRF2000框架下坐標和速度的差異，統計結果如表4所示：

表4 方法A計算結果與官方數據對比統計

其坐標和速度的差異分布分別如圖2、圖3所示：

圖2 方法A與ETRF2000公布的坐標的差異分布

圖3 方法A與ETRF2000公布的速度的差異分布

從統計可以看出，方法A與EUREF官方公布的站點在ETRF2000框架下的成果，坐標差異均優于1mm，速度差異均優于0.1mm/a，且差異有正有負均勻地分布在0兩側，這說明方法A所進行的轉換是正確的，其轉換差異主要受到偶然誤差的影響.

然后通過方法B使用表3中的轉換參數進行坐標轉換，并將其轉換成果與方法A作為對比.差異分布統計如表5所示：

差異分布如圖4、圖5所示：

表5 方法A與方法B計算結果對比統計

圖4 方法A與方法B坐標差異分布圖

圖5 方法A與方法B速度差異分布圖

由以上統計可以看出，基于方法A和方法B得到的坐標差異均為10?8m量級，速度差異為10?9m/a量級.并且，其差異均大于0，說明二者之間存在系統差.結合方法B的推導過程，易知這是因為方法B的計算過程中忽略了一些微小量所造成的.但由于二者差異足夠小，因此可認為方法A和方法B在一般使用中是等價的.

為驗證式（18），使用參考框架ETRF2014到ITRF2014的轉換參數，將ETRF2014下的基站速度轉換到ITRF2014.作為對比：

1）方法C使用站點在ETRF2014下的坐標；

2）方法D假定站點在ETRF2014下的坐標未知，使用其在ITRF2014下的坐標近似.

兩種方法的差異統計如表6所示。

表6 使用精確和近似坐標進行速度轉換對比

其差異分布如圖6所示。

圖6 使用精確坐標與概略坐標轉換速度的差異分布圖

由以上統計可發現，由方法C和方法D所計算的基站速度差異在10?9m/a量級.二者雖然存在一定的系統差，但在實際使用時完全可以忽略.

3 結論

利用Helmert轉換公式進行坐標轉換時，對于沒有直接轉換參數的坐標框架，使用多步“過渡”的方式進行轉換時公式復雜低效.本文對傳統的間接坐標轉換方法進行改進，推導了坐標框架間的直接轉換公式，并使用714個EUREF站點在ETRF2014和ETRF2000的坐標和速度進行驗證，得出以下結論：

1）對于Helmert七參數坐標轉換，兩個框架的直接轉換參數可由作為過渡的框架轉換參數求和計算，計算方法如式(6)；

2）對于Helmert十四參數坐標轉換，兩個框架的直接轉換參數，其Helmert七參數的變率可由作為過渡的框架轉換參數的變率求和計算，Helmert七參數可將作為過渡的轉換參數歸算到某一相同歷元后求和計算，計算方法如式(17)；

3）在對速度進行框架轉換時，若與原框架下速度對應的坐標未知，可使用其他框架下相差不大的坐標代替.

總體而言，坐標轉換的直接參數法和間接參數法差異較小，但本文的轉換方法可簡化計算步驟，各參考框架之間的轉換參數可提前計算后保存，方便程序實現，也可以節約計算資源.