一個靜力學競賽問題的另兩種求解方法

茅云飛

(江蘇省揚州市邗江區實驗學校,江蘇 揚州 225009)

許多中學物理競賽資料中有下面這道靜力學競賽問題,文獻[1]從牛頓力學角度給出的兩種解法自認為較繁,因此又從分析力學角度應用虛功原理給出了另一巧妙的第3種解法．為了拓展學生的解題思路,本文對這道靜力學問題進行再探究,給出有別于資料和文獻[1]的另兩種更加通俗易懂、便于學生理解的求解方法,供參考．

圖1 原題圖

圖2 微元分析

題目.質量為m,長度為l的均勻柔軟細繩,繞過半徑為R的滑輪,繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上,兩釘間距為2R,滑輪上掛一重物,重物與滑輪總質量為M,且相互間無摩擦,如圖1所示,求繩上最低點C處的張力．

1 應用圓弧重心位置的計算公式求解

1.1 質量均勻分布的圓弧形細繩重心位置的計算公式

由對稱性或懸掛法易知,質量均勻分布的一段圓弧,它的重心位置在圓弧中點與圓心的連線上．設圓弧重心位置c到圓心的距離為L,圓弧半徑為R,圓弧所對的圓心角為2α(弧度),圓弧質量線密度為λ．在圓弧上任取一小段,該小段對應的圓心角為dθ,則其長度為Rdθ,如圖2所示,則圓弧重心位置c到圓心的距離

1.2 圓弧形細繩重心位置的計算公式的應用

用質量均勻分布的圓弧形細繩重心位置的計算公式,對上述靜力學競賽問題解析如下．

以滑輪、重物以及與滑輪接觸的半圈繩子為研究對象,其受力分析如圖3所示,由平衡條件得

(1)

圖3 受力分析

圖4 受力分析

對滑輪左側的BC段繩(研究對象),根據力矩平衡條件有

(2)

(3)

由(1)～(3)式易得

(4)

顯然,(4)式與文獻[1]所得結果相同,殊途同歸．

2 應用功和能的關系求解

仔細研究后發現,該題也可以通過巧妙的設想物理過程,恰當的選擇研究對象,然后根據功和能的關系,不用高等數學知識而僅用初等數學,簡潔求解．

圖5 巧妙設想物理過程

巧妙設想物理過程: 設想把懸掛點A提升一個極小位移Δx到A′位置,同時讓懸掛點O下降同樣的極小位移Δx到O′位置,這樣使得滑輪和重物位置沒有發生移動,如圖5所示．

(5)

對重物、滑輪和全部細繩整體,由平衡條件易得

(6)

由(5)、(6)式得

(7)

(7)式與(4)式相同,殊途同歸．

3 結束語