2020年全國卷Ⅰ第33題中波程差變化情況推導

盧輝洲 何崇榮

(1. 黃石市有色第一中學,湖北 黃石 435005; 2. 武漢市黃陂區第一中學,湖北 武漢 430300)

2020年全國卷Ⅰ第33題考查了兩波源發生干涉時,空間振動最強點位置判斷問題,有一定新意．過去的高考題和模擬題基本都是兩種考向:要么給出具體的波程差,判斷是否為振動最強(弱)點；要么考查振動最強(弱)點個數的判斷,而判斷振動最強(弱)點個數只需判斷出波程差的最值即可,不需要判斷波程差具體如何變化．

1 題目

圖1

(1) 波的波長;

(2) 波的傳播速度．

2 波程差變化情況推導

方法1:極值法.

設a、c連線上任一點p到兩波源的波程差為Δ=pb-pa,根據三角形兩邊之差小于第三邊可知,0≤pb-pa≤ab，所以,在c點時波程差為0,在a點時波程差最大,于是p點由c到a的過程中波程差一直增大,離c點最近的最強點滿足Δ=pb-pa=λ．

方法2:導數法.

將波程差對位置x求導得

圖2

方法3:三角函數法.

θ越大,波程差越小,即由p由c到d過程中,波程差一直增大．而p一旦過了ac邊中點d,則非常直觀地看出波程差也在增加．

圖3 兩列波發生干涉時，振動最強(弱)點滿足的曲線

方法4:根據振動最強(弱)點滿足曲線推理.

振動最強(弱)點到兩波源a、b的距離之差為一定值,于是振動最強(弱)點在一系列雙曲線上,如圖3所示．由雙曲線性質可知,a、c連線上任一點p對應的波程差Δ=pb-pa=be-ae,p點由c到a的過程中,be增大,ae減小,于是波程差不斷增大．

根據方法4可以很直觀地判斷兩波源連線、以兩波源連線為直徑的圓周、以兩波源為焦點的橢圓周等特殊路徑上某點到兩波源的波程差變化情況．