旋轉球體下落問題的研究
——2020 年北京高考物理第14 題釋疑

江俊勤 姜付錦

(1. 廣東第二師范學院物理與信息工程系, 廣東 廣州 510303; 2. 湖北省武漢市黃陂區第一中學,湖北 武漢 430300)

1 高考原題簡述

在無風的環境里,某人在高處釋放靜止的籃球,籃球豎直下落;如果先讓籃球以一定的角速度繞過球心的水平軸轉動(如圖1所示)再釋放,則籃球在向下掉落過程中偏離豎直方向做曲線運動. 其原因是,轉動的籃球在運動過程中除受重力外,還受到空氣施加的阻力f1和偏轉力f2. 這兩個力與籃球速度v的關系大致為:f1=k1v2,方向與籃球運動方向相反;f2=k2v,方向與籃球運動方向垂直.下列說法正確的是

圖1 下落前的旋轉籃球

(A)k1、k2是與籃球轉動角速度無關的常數.

(B) 籃球可回到原高度且角速度與釋放時的角速度相同.

(C) 人站得足夠高,落地前籃球有可能向上運動.

(D) 釋放條件合適,籃球有可能在空中持續一段水平直線運動.

這是北京市2020年高考(普通高中學業水平等級性考試)物理第14題,考查的知識點包括牛頓第二定律、運動的分解與合成、機械能守恒和流體壓強(馬格努斯力)等.選項(A)和(B)容易排除,在了解f1和f2的特點后也不難排除選項(D);從考試答題角度講,答案無疑就是選項(C)了.然而,人們對于選項(C)仍然存在疑惑:難道落地前籃球能否向上運動取決于人所站的高度?而不是籃球的轉速?為了解答這種疑惑,本文利用通用軟件Mathematica研究不同轉速對籃球下落運動規律的影響.

2 馬格努斯力與旋轉球體的運動方程

球旋轉時會帶著與它接觸的那部分空氣一起旋轉,形成一個跟球一起旋轉的附著空氣層.這樣,球一側的附著層中空氣的運動方向與相對于球體的氣流方向相同,而另一側則相反,從而球的一側氣流運動速度比另一側的大.根據流體力學原理,氣流運動速度較大的一側壓力較小,氣流運動速度較小的一側壓力較大.球兩側壓力不同,使球的運動方向發生偏轉.這種效應是德國物理學家馬格努斯(H.Magnus)發現的,故稱之為“馬格努斯效應”.馬格努斯效應在足球、乒乓球、網球和棒球等運動中也得到廣泛應用.相應的作用力稱為馬格努斯力.

籃球受重力、空氣阻力和馬格努斯力的共同作用.空氣阻力為

(1)

式中,k為比例系數,由籃球的半徑r、空氣密度ρ和阻力系數c共同決定:k=(1/2)cπρr2.

馬格努斯力的大小和方向由下式給出

(2)

由牛頓第二定律得球心(x,y,z)的運動方程

λ(ωxy′-ωyx′)-mg.

(3)

式中,m為球的質量,λ=(8/3)πρr3.

物理常數分別為ρ=1.29kg/m3,c=0.5,g=9.8m/s2;籃球的質量m和半徑r取國際標準值m=0.60kg,r=0.123m.所以只要給定籃球初始位置(初始速度為0)和轉動角速度ω,式(3)就是一個定解問題,使用通用軟件Mathematica容易得到籃球在向下掉落過程中偏離豎直方向的運動軌跡.

3 數字化研究

設t時刻籃球的角速度為ω,取y軸在轉動軸上(如圖1所示),z軸豎直向上,x軸垂直于紙面向外,則ω=-ωj,即ωy=-ω,ωx=ωz=0;為了讓籃球有足夠的下落空間,取z的初值(即人所站高度)為100 m.

設籃球繞中心軸的轉動慣量為I,初始角速度為ω0,所受空氣阻力矩M正比于轉動角速度,比例常數為η,則t時刻籃球的轉動角速度滿足

令μ=η/I,得籃球角速度隨時間t的變化規律

ω=ω0e-μt.

(4)

給定ω0和μ的值,把ω=-ωj和(4)式代入(3)式,就可求球心的運動規律.

3.1 忽略空氣阻力矩的情形(μ=0)

記ω0=2πn,n為籃球初始轉速,當n=8r/s時,20s內籃球速度各分量的變化規律如圖2所示.vy=0說明籃球始終在xoz平面內運動,圖3給出了20s內籃球的運動軌跡,圖2和圖3都表明:當n=8r/s時落球很快就出現向上運動的情況(vz>0)而且后面還會出現兩次,具體的數據是下落高度只需6.9566m就出現第一次向上運動,歷時2.03461s;n越大出現向上運動所需落差越小、次數越多.

當轉速較低時,不論人站多高(不論落差多大),都不可能出現向上運動的情況,當n=3.5r/s時就是這種情況,籃球從釋放到著地的運動軌跡如圖4所示;落球能否出現向上運動主要取決于轉速n,n存在分界值(臨界點),當μ=0時臨界值在n=5.1r/s附近,當n=5.1r/s時20s內籃球速度各分量變化規律如圖5所示,運動軌跡如圖6所示,在4.4s附近vz取最大值、最大值約等于0.

圖2 不計空氣阻力矩,當轉速n=8r/s時20s內籃球各速度分量的變化規律

圖3 不計空氣阻力矩,當轉速n=8r/s時20s內籃球的運動軌跡

圖4 不計空氣阻力矩,當轉速n=3.5r/s時籃球從釋放到著地(歷時18.2898s)的運動軌跡

圖5 不計空氣阻力矩,當轉速n=5.1r/s時20s內籃球各速度分量的變化規律

圖6 不計空氣阻力矩,當轉速n=5.1r/s時20s內籃球的運動軌跡

3.2 空氣阻力矩對籃球軌跡的影響(μ≠0)

更切合實際的情形是旋轉籃球下落過程受空氣阻力矩作用,轉速慢慢減小,本文取μ=0.05,20s內籃球角速度從ω0減小為ω0/e.當n=8r/s和μ=0.05時,20s內籃球速度各分量變化規律如圖7所示,運動軌跡如圖8所示,出現向上運動的落差和時間都略有增加,落差為7.7698m、歷時2.25466s,而且只出現一次向上運動的情況.這就是說,由于受空氣阻力矩作用,要使籃球下落過程出現向上運動的情況,需要在釋放前給予籃球更大的轉速,當n=6.3r/s和m=0.05時,20s內籃球速度各分量變化規律如圖9所示,運動軌跡如圖10所示,出現向上運動情況的轉速臨界點在n=6.3r/s附近.

圖7 考慮空氣阻力矩,當轉速n=8r/s時20s內籃球各速度分量的變化規律

圖8 考慮空氣阻力矩,當轉速n=8r/s時20s內籃球的運動軌跡

圖9 考慮空氣阻力矩,當轉速n=6.3r/s時20s內籃球各速度分量的變化規律

圖10 考慮空氣阻力矩,當轉速n=6.3r/s時20s內籃球的運動軌跡

此外,圖7顯示在20s末vx仍然處于增長狀態,這是由于vz持續長而ω還比較大決定的,隨著籃球繼續下落,ω繼續減小,vx在24.2204s處開始減小;對于較小的轉速n=6.3r/s,vx則是在19.4159s處就開始減小的,如圖9所示.

4 結論和討論

北京市2020年高考(普通高中學業水平等級性考試)物理第14題,以從高處釋放旋轉籃球的生活場景為素材,通過給定新知識,考查考生結合已有知識,并學習和應用新知識解釋客觀世界物理現象、探究物理問題的能力,集應用性、綜合性和創新性為一身,是難得的好題目.但是題目關于“正確”答案的選項(C)的表述存在欠妥之處,會產生誤導,誤以為落地前籃球能否向上運動取決于人所站的高度,而不是取決于籃球的轉速.為了消除誤解,我們利用通用軟件Mathematica研究不同轉速對籃球下落運動規律的影響.由于籃球的質量m和半徑r取實際數據并考慮了空氣阻力矩的作用,本文的數字結果能描述旋轉落球的實際情況,并對該高考題的表述所產生的疑惑做出解釋.主要結論如下.

(1) 如果籃球轉速足夠大,則落差較小就可以實現向上運動的情況而且會多次出現,轉速n越大、出現向上運動所需的落差就越小.當n=8r/s和μ=0(即不計空氣阻力矩的影響)時,下落高度只需6.9566m就出現第一次向上運動,歷時2.03461s(后面還會有第二次甚至第三次向上運動);更多的模擬表明,如果轉速提高到n=15r/s,則下落高度只需1.9652m就出現第一次向上運動,歷時1.01675s,接著會在該高度附近反復多次出現向上運動的情形,類似于減幅振動.

(2) 如果籃球轉速n不夠大,則不論落差多大(即不論人站得多么高)都不能實現向上運動的情況;能否向上運動主要取決于籃球轉速n,它存在一個分界值(臨界點),當不計空氣阻力矩的影響時,籃球轉速分界值在n=5.1r/s附近.當n<5.1r/s時,不會出現向上運動的情況.

(3) 空氣阻力矩對實際的旋轉落球運動軌跡也有明顯的影響,以μ=0.05為例,20s內籃球角速度從ω0減小為ω0/e,為了使籃球出現向上運動的情況,需要在釋放前給予籃球更大的轉速,臨界轉速從n=5.1r/s附近提高到n=6.3r/s附近;當n=8r/s和μ=0.05時,落球出現向上運動狀態的落差從6.9566m增加7.7698m,而且全程只能出現一次向上運動的情況.

綜上所述,決定落球能否向上運動的主要條件是籃球的轉速夠不夠高,而非人所站的高度夠不夠;如果籃球的轉速足夠大則落差很小就出現向上運動情況,如果籃球的轉速不夠大(低于臨界轉速)則人站得再高也無法實現向上運動.該考題答案(C)的表述宜去掉“人站得足夠高”,直接改為“(C) 落地前籃球有可能向上運動”;或者改為“(C) 若轉速足夠高,落地前籃球會向上運動”.