奇異譜分析在地鐵沉降預(yù)測中的應(yīng)用

王思捷，黃 騰，周立俊，吳壯壯

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 211100）

近年來，城市地下軌道交通飛速發(fā)展，緩解了地面交通占地大、人流多、易擁堵的狀況。為了保障地鐵安全運(yùn)行，必須長期對地鐵軌道實施變形監(jiān)測工作，及時掌握地鐵的健康狀態(tài)，避免惡性事件的發(fā)生[1]。隨著地鐵線路的不斷增加，傳統(tǒng)的定期監(jiān)測手段已不能滿足要求，自動化、智能化監(jiān)測方法成為地鐵變形監(jiān)測的主要研究方向[2]。時間序列分析[3]、自回歸模型[4]、GM(1,1)模型[5]、卡爾曼濾波[6]、小波分析[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]等現(xiàn)有方法均取得了一定的成果，但奇異譜分析（SSA）方法在地鐵變形監(jiān)測方面的研究與應(yīng)用還較少。

利用沉降監(jiān)測的時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行建模進(jìn)而對未來一段時間內(nèi)的沉降量進(jìn)行預(yù)測是當(dāng)前地鐵沉降預(yù)測的主要方案；而當(dāng)時間序列中含有噪聲時，將大大降低模型的預(yù)測精度。SSA方法具有不受正弦波假定的約束、無需先驗信息的優(yōu)點(diǎn)，可從原序列中提取到盡可能多的可靠信息，從而達(dá)到去噪效果[9]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種自適應(yīng)的預(yù)測模型，能對非線性序列在短期內(nèi)實現(xiàn)很好的預(yù)報[10]。本文提出的SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，首先利用SSA方法的優(yōu)越性對原始序列進(jìn)行分解，提取其中的趨勢項與周期成分，同時削弱噪聲、提高信噪比；然后利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法分別對趨勢項與周期成分進(jìn)行訓(xùn)練，構(gòu)建預(yù)測模型；最后進(jìn)行重構(gòu)預(yù)測，得到的趨勢值與周期值即為最終預(yù)測結(jié)果。

1 SSA方法

對一維時間序列X={xi|i=1,2,...,n}進(jìn)行SSA，可分為構(gòu)建軌跡矩陣、奇異值分解和序列重構(gòu)3個主要步驟[11]。

1）構(gòu)建軌跡矩陣。首先選擇合適的嵌入窗口長度L（2≤L≤n/2），且有K=n-L+1；再構(gòu)建一個L×K的軌跡矩陣XL×K，計算公式為：

2）奇異值分解。由于式（1）不方便直接求解其特征值和特征向量，因此定義矩陣C=XXT，計算其特征值λi和對應(yīng)的特征向量Ui，再按特征值降序排列λ1≥λ2≥…≥λL≥0，其中最大的特征值對應(yīng)的特征向量即為序列的趨勢，一般將較小特征值對應(yīng)的特征向量當(dāng)作噪聲[12]。

設(shè)d=min{L,K}，定義Ui和Vi分別為軌跡矩陣的特征值和左、右特征向量。稱為原序列的奇異譜。令初等矩陣為：

則軌跡矩陣可由d個初等矩陣合成，即

3）序列重構(gòu)。將第k個時間主分量定義為原序列在UK上的正交投影系數(shù)，則有：

根據(jù)UK與VK重構(gòu)Xi的成分記為xiK，則重構(gòu)公式為：

重構(gòu)成分疊加之和與原序列相同，即

2 SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種基于誤差方向傳播算法的前饋網(wǎng)絡(luò)，其建模過程主要包括信息正向傳遞和誤差反向傳播。輸入值在輸入層經(jīng)過帶有權(quán)重的隱含層神經(jīng)元到達(dá)輸出層，即為正向傳遞過程；計算實際輸出值與理論輸出值的誤差，并通過反向傳播算法改變隱含層各神經(jīng)元的權(quán)重，即為反向傳播過程。反復(fù)迭代正向傳遞與反向傳播，直到輸出值誤差達(dá)到期望目標(biāo)，保存各神經(jīng)元的權(quán)重即可完成模型構(gòu)建。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.2 SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

本文建立了地鐵沉降的SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，首先利用SSA方法處理時間序列的優(yōu)越性削弱噪聲，并準(zhǔn)確提取原始序列的趨勢項與周期成分；然后利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測并重構(gòu)，完成模型構(gòu)建。其具體步驟為：

1）首先對原始序列進(jìn)行平穩(wěn)性分析，再利用SSA濾波法確定SSA方法的嵌入窗口長度L和重構(gòu)階數(shù)P。

2）根據(jù)Kendall非參數(shù)檢驗判斷某個重構(gòu)成分RCK是否屬于趨勢項，計算滿足xi,K＜xj,K的指標(biāo)數(shù)Kr，構(gòu)造統(tǒng)計量，計算公式為：

假設(shè)RCK不是趨勢項，則τ服從均值為0、均方差的正態(tài)分布。置信度α=0.05時，若樣本落在（-1.96S，1.96S）區(qū)間之外，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為RCK是趨勢項。

3）根據(jù)特征值判斷周期成分。若軌跡矩陣的兩個特征值很接近且對應(yīng)的一對左右特征向量分別正交，則這兩個特征值對應(yīng)的重構(gòu)成分之和為原序列的周期成分之一。

4）分別對原序列的趨勢項X1與周期成分X2構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并預(yù)測趨勢值y1與周期值y2。

5）重構(gòu)趨勢值y1與周期值y2得到實際預(yù)測值。

3 實例分析

為了驗證SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的正確性和優(yōu)越性，本文選取某地鐵結(jié)構(gòu)監(jiān)測區(qū)中一個監(jiān)測點(diǎn)連續(xù)44期的實測數(shù)據(jù)作為樣本，計算原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)p，并對其進(jìn)行平穩(wěn)性分析，計算結(jié)果如圖2所示。

式中，u為序列均值；S為序列方差。

圖2 自相關(guān)系數(shù)函數(shù)圖

由Bartlett理論可知，當(dāng)xK～N(0,1/44)時，可判斷該序列為平穩(wěn)序列。pK(K＞1)在顯著水平α=0.05條件下的置信區(qū)間為（-0.118，0.118），由原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)可知，p3、p7、p9等9個數(shù)落在置信區(qū)間之外，因此原始數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)序列，適合采用SSA方法對其進(jìn)行處理。利用SSA濾波法確定構(gòu)建軌跡矩陣的嵌入窗口長度(L=16)和重構(gòu)階數(shù)(P=15)。求出特征值與特征向量后，根據(jù)Kendall檢驗與Hurst指數(shù)，確定最大特征值對應(yīng)的重構(gòu)序列為趨勢項，最小特征值對應(yīng)的重構(gòu)序列為噪聲，其余項之和為周期成分。原始數(shù)據(jù)的趨勢項與周期成分如圖3所示。

將前34期數(shù)據(jù)分為9個訓(xùn)練樣本，每個樣本包含26期數(shù)據(jù)，其中前25期數(shù)據(jù)作為輸入，最后一期作為輸出數(shù)據(jù)的期望值。利用訓(xùn)練樣本分別建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并對35～44期沉降量進(jìn)行預(yù)測。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果具有不穩(wěn)定性，因此采用兩種模型分別進(jìn)行10次預(yù)測取均值作為最終預(yù)測結(jié)果。以實測值與預(yù)測值之差的絕對值為殘差，結(jié)果如表1所示，可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

圖3 SSA方法重構(gòu)序列圖

的預(yù)測值殘差最大值達(dá)到1.28 mm；而SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測值殘差最大值為0.32 mm，且90%的預(yù)測值殘差均優(yōu)于前者，說明其整體預(yù)測精度更高。結(jié)合圖4可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在預(yù)測第41期時殘差急劇增加，表現(xiàn)出模型只能進(jìn)行短期有效預(yù)測的缺點(diǎn)；而SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在全部10期的預(yù)測中表現(xiàn)穩(wěn)定，證明其對于長時間跨度的預(yù)測更加可靠。

表1 兩種模型預(yù)測結(jié)果對比/mm

圖4 預(yù)測結(jié)果殘差對比圖

4 結(jié) 語

SSA方法能有效降低數(shù)據(jù)噪聲對預(yù)測模型的干擾，并準(zhǔn)確提取趨勢項與周期成分，與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合能更好地對非線性數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。本文通過對比分析BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型發(fā)現(xiàn)，SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型充分利用了SSA方法的優(yōu)勢，采用噪聲更少的數(shù)據(jù)建立了更優(yōu)的預(yù)測模型，比單一的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果精度更高，且預(yù)測結(jié)果穩(wěn)定，可應(yīng)用于地鐵沉降的長期預(yù)測。然而，本文的實例分析并不能得出SSA_BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的最大預(yù)測長度，還需對其進(jìn)行進(jìn)一步研究。