閾值調控的可變服務率流體模型的均衡策略分析

王 碩, 徐秀麗

(燕山大學理學院，秦皇島 066004)

1 引言

排隊在現實生活中隨處可見，它們應用于制造業、服務業、金融、財政、保險等各行各業，然而無論哪行哪業建模的初衷就是在提供便利服務的同時獲得一定的收益，這引起了各位學者對排隊模型展開經濟學分析.

Naor[1]最先在排隊模型中引入博弈論的觀點，提出了顧客在到達系統時會根據一個簡單的線性“收益-損失”函數判斷是否進入系統.Edelson 和Hilderbrand[2]進一步研究了不可視狀態下顧客的止步策略.Wang 等[3]研究了具有N 策略持續重試系統的均衡策略問題.Guo 和Hassin[4]對N 策略排隊中的均衡策略及最佳社會策略進行了研究.Dimitrakopoulos 和Burnetas[5]研究了動態服務控制下M/M/1 排隊系統中的顧客均衡策略問題.Guo 和Li[6]分析了系統隊長不可視情況下的均衡策略.

隨著社會科技的快速發展，網絡、信息、機械加工制造業以及服務業都面臨著大量“顧客”，顧客到達間隔越來越小，到達速率越來越大，離散的顧客越來越接近連續的流體，例如：生產制造業的流水線、網關節的信息傳輸以及電子信息的流傳遞等.因而，對流體排隊模型進行相關研究就顯得尤為重要.Xu 等[7]對M/M/c 工作休假驅動的流體模型展開了穩態分析.Vijayashree 和Anjuka[8]對M/M/1 驅動的工作休假流體排隊模型展開了相應研究.徐秀麗等[9]研究了PH/M/1 排隊系統驅動的流模型并給出穩態性能指標.當然，也有學者對流體排隊模型展開經濟學分析.例如：Economou 和Manou[10]對可視情況下具有不同服務狀態的流體排隊模型中的行為策略進行了分析.

在實際問題中，決策者為了最大限度的利用、維護緩沖器，并不會使其始終以一定速率進行服務，而是根據緩沖器內流體水平的多少適當調整其服務率，使緩沖器的服務率在高低兩個狀態中來回切換.例如，為防止低流出率下水庫水位過高，工作人員會在水位達到某一特定值時開閘放水.這就引出了對具有可變服務率流體模型的研究.進一步，若緩沖器在低速工作狀態與高速工作狀態的切換遵循某一特定概率，那么當低速工作期緩沖器內的流體水平達到相對多時，如果緩沖器的流出率仍保持在一個較低的速率，這必然會引起緩沖器內的擁擠甚至引發顧客的不滿.在此基礎上，本文把閾值調控與可變服務率相結合，構建出新的流體模型并給出經濟學研究.

2 模型描述

對任意外界隨機環境下的流體模型，假設時刻t 流體以速率λ 流入緩沖器，其過程可以看作新顧客的到達.流體流入緩沖器的前提是其凈收益為正且其是否流入緩沖器的決定具有不可逆性，即：流入的流體不可中途流出，止步的流體不可臨時流入.設X(t)表示時刻t 時緩沖器內的流體水平，I(t)表示時刻t 時的系統狀態，用I(t) = 0,1 分別表示低速工作期和高速工作期.閾值調控是指當緩沖器內的流體水平變為0 時，緩沖器進入空閑期，在此期間一旦有流體流入緩沖器，系統立即進入低速工作期，此時系統存在一個較低的流出率μ0, μ0＞0，當緩沖器內的流體水平達到事先確定的閾值水平N 時，緩沖器進入高速工作期，此時系統存在一個相對高于μ0的流出率μ1，即μ0＜μ1.

此外，需要保證μ0＜λ ＜μ1，否則緩沖器不會滿足發生狀態轉變的條件.例如：當μ0＞λ 時，低速工作期間流體水平在0 處達到穩態，即流體一旦流入就會立即通過緩沖器流出，不會存在排隊等待的情況，故流體水平不可能達到N；λ ＞μ1時，若緩沖器處于高速工作期，此時系統的凈流入率始終為正，也就是說緩沖器內的流體水平始終以λ-μ1的速率增加，直到達到相應的閾值后保持穩定，所以這種情況下的流體水平不可能下降為0.

綜上所述，具有閾值調控的可變服務率流體模型的凈輸入率可表示為

3 完全可視情況下的止步策略分析

假設時刻t 流體到達系統時觀察到此時緩沖器的工作狀態為I(t) = i, i = 0,1.在此狀態下，緩沖器內的流體水平為X(t) = x, x ≥0.用(X(t),I(t)) = (x,i)表示流體到達系統時所觀察到的狀態.假設流體流出系統時，即流體被服務完時可獲得的收益為R.另一方面，流體在緩沖器內的逗留期間，單位時間內又存在著C 個單位的損失.用Gi(x)=R-CSi(x)表示該流體在系統狀態為(x,i)時流入緩沖器所獲得的凈收益，其中Si(x)表示該流體在系統狀態為(x,i)條件下流入系統后在緩沖器內的逗留時間，且只有當Gi(x)＞0 時流體才選擇進入緩沖器排隊.

下面考慮兩種情況：

的唯一解，即

4 單位時間內社會收益

在閾值調控的可變服務率流體模型中，由于緩沖器在狀態0 與狀態1 之間的轉換沒有一個固定的概率參數，而是依賴于緩沖器內流體水平的變化情況，所以緩沖器內平均流體水平E(X)的表達較為復雜.因此，本文用Z(x)=μe(G0(x)P0(x)+G1(x)P1(x))表示單位時間內社會收益的效用函數，其中μe表示有效服務率，Pi(X)表示在緩沖器內流體水平為X 的條件下，緩沖器處于狀態i 的概率，則有如下定理.

定理2 在完全可視的閾值調控的可變服務率流體模型中，假設某流體到達系統時觀察到緩沖器的狀態為(x,i)，則該流體模型的穩態概率為

其中

證明 運用文獻[11]電子通信網絡中有關流體模型的研究方法，把連續時間的流體模型分解為近似的離散排隊模型.例如，把一些信息壓縮打包使其以數據包或鏈接的形式進行傳輸.由此畫出該模型在完全可視情況下的狀態轉移圖，如圖1 所示.

圖1 狀態轉移圖

根據狀態轉移圖可以寫出其平衡方程

λP(0,0)=μ1P(1,1)+μ0P(1,0),

(λ+μ0)P(x,0)=λP(x-1,0)+μ0P(x+1,0), x=1,2,··· ,N -2,

(λ+μ0)P(N -1,0)=λP(N -2,0),

λ+μ1)P(1,1)=μ1P(2,1),

1）冬春季清園。冬季清園噴5波美度石硫合劑或1∶1∶200波爾多液；春季萌芽前噴5波美度石硫合劑或1∶0.5∶250波爾多液清園。

(λ+μ1)P(x,1)=λP(x-1,1)+μ1P(x+1,1), x=2,3,··· ,N -1,

(λ+μ1)P(N,1)=λP(N -1,1)+μ1P(N +1,1)+λP(N -1,0),

(λ+μ1)P(N +x,1)=λP(N +x-1,1)+μ1P(N +x+1,1), x=1,2,··· ,xe-N,

由于

即

因此，定理2 得證.

定理3 在完全可視情況下的閾值調控的可變服務率流體模型中，假設某流體到達系統時觀察到緩沖器的狀態為(x,i)，則該流體模型單位時間內社會收益的效用函數為

其中

由(2)式可知S0(x).

證明 由定理2 可知

經代數運算可得

因為μ0＜λ ＜μ1，所以當緩沖器處于狀態0 時系統的有效服務率為μ0，即μe=μ0；當緩沖器處于狀態1 時，系統的有效服務率為λ，即μe=λ.所以有

其中

由(2)式可知S0(x).

經代數運算可得到Z(x).因此，定理3 得證.

由于單位時間內社會收益函數的形式復雜性，下面進行直觀的數值分析，令μ0=1.2, λ=1.5, μ1=2, R=10, C =1, N =3,4,5，得到圖2.

從圖2 可以看出，對于固定的參數μ0, λ, μ1, R, C, N，單位時間內社會收益函數因N 的不同而呈現出不同變化；但在x ≥N 部分的函數圖像是完全一致的，因為當x ≥N 時單位時間內社會收益函數與N 無關且除了給定的參數只與x 有關.當x = N 時，單位時間內的社會收益達到最大.此外，對于固定參數μ0, λ, μ1, R, C, x，單位時間內社會收益函數隨著N 的增大而減小.

圖2 單位時間內社會收益隨x, N 的變化

5 入場費均衡策略

1) 當緩沖器處于低速工作期時，為了保證緩沖器狀態的改變，需保證對任意x, x ∈[0,1,··· ,N)都有G0(x)=R-CS0(x)-p ≥0，即

2) 當緩沖器處于高速工作期時，入場費p 需滿足

綜合上述兩種情況，可以得到對決策者而言，最優入場費p*應該滿足

因為μ0＜μ1，所以

所以得到

即

定理4 假設決策者決定向進入緩沖器排隊的流體征收一個入場費p，當流體到達系統時觀察到緩沖器的狀態為(x,i)，則對入場費的征收者而言，其單位時間內的最大總收入可表示為

其中

證明 當i=0 時，流體的凈收益為

G0(x)=R-CS0(x)-p, x ＜N-,

當x=N-時

當i=1 時，流體的凈收益為

根據定理4 中單位時間內入場費征收者的最大收益，由于其表達式的復雜性，下面給出直觀的數值分析，令R=10, C =1, μ0=1, λ=2, μ1=5, N =3，得到圖3.

從圖3 可直觀的看出，單位時間內入場費征收者的最大收益先增大再減小，在x*e=5 處取得最大值.綜上所述，如果以社會收益最大化為目標，那么征收一定的入場費是有益的.但是，若入場費的征收者只是為了最大化自己的收益，則他就會向流體征收過高的入場費，從而達不到社會收益最優.

圖3 單位時間內入場費征收者的最大收益隨的變化