譜配置法求解常微分方程初值問題的超收斂性

錢軼昀 查媛媛 蔡康文 劉艷勤 王心怡 易利軍

摘 ?要： 研究了常微分方程初值問題的譜配置方法. 針對一階和二階線性常微分方程初值問題，基于Legendre-Gauss點提出了相應的譜配置方法，并給出了具體的計算格式. 最后，通過一些數值算例探討了所提Legendre-Gauss譜配置方法的超收斂性.

關鍵詞： 譜配置法; 初值問題; 超收斂

中圖分類號： O 241.8 ???文獻標志碼： A ???文章編號： 1000-5137（2021）01-0001-07

Abstract： In this paper，we study the spectral collocation method for the initial value problems of ordinary differential equations.Based on Legendre-Gauss points，we propose the spectral collocation method for the initial value problems of first-order and second-order. We also give the specific computation form for our method. Finally，to explain the superconvergence properties of the Legendre-Gauss spectral collocation method. We discuss several numerical examples.

Key words： spectral collocation method; initial value problem; superconvergence

0 ?引 言

譜方法是求解偏微分方程的一類重要數值方法，它已被廣泛應用于科學及工程計算的眾多領域[1-4].譜方法的最大魅力在于它具有所謂的“譜精度”，即如果原方程的精確解越光滑，那么近似解將以的任意冪次速度收斂于精確解，其中為基函數的個數.由于譜方法具有高精度，它在微分方程時間離散上的應用備受關注.特別地，文獻[5-8]的作者提出了求解非線性常微分方程初值問題的一系列譜配置方法，并討論了其收斂性.

眾所周知，利用有限元方法求解微分方程時會出現所謂的“超收斂”現象，即數值誤差在某些特殊點處的收斂速度遠遠高于整體誤差的收斂速度，這些特殊點則稱之為超收斂點.目前有關有限元方法的超收斂研究已經非常成熟[9-11]，但關于譜方法的超收斂研究并不多見，僅有少量的文獻如[12-14]等報道過.文獻[15-16]詳細地討論了各種高階譜插值的超收斂性質，但沒有討論相應譜配置法的超收斂性.

將針對上述問題，基于Legendre-Gauss點構造相應的譜配置方法，給出具體的計算格式.將數值解按照Legendre多項式序列展開，然后在頻率空間中求解展開式系數.最后將通過一些數值算例探討Legendre-Gauss譜配置法的超收斂現象，并找出相應的超收斂點.

本文第1節將首先介紹Legendre多項式及其相關性質，然后針對問題（1）和（2）分別提出了相應的Legendre-Gauss譜配置方法，并給出了具體的計算形式.在第2節中通過兩個數值算例展示了Legendre-Gauss譜配置法的高精度性，并基于數值結果探討了該方法的超收斂性，找到了數值解的函數值及導數值逼近的超收斂點.最后將對全文進行總結.

1 ?Legendre譜配置方法

1.1 Legendre多項式及其性質

1.2 Legendre譜配置法的數值格式

1.2.1 一階初值問題的Legendre譜配置法

1.2.2 二階初值問題的Legendre譜配置法

設為上不超過次的多項式集合，則問題（2）的Legendre譜配置法的數值格式為，尋找，使得它滿足條件

2 ?基于數值算例的超收斂性探討

2.1 一階初值問題

考慮變系數一階線性常微分方程初值問題

其中，真解利用Legendre譜配置格式（8）求解該問題.分別選取和，然后采用不同的進行求解.將數值解的絕對誤差繪制成曲線，如圖1和圖2所示，可以看到隨著的增大，數值誤差呈指數下降趨勢.

接下來考察導數值逼近的超收斂性.取，分別考慮和（共有個Legendre-Gauss點）的情形，將導數值誤差繪制曲線，如圖3和圖4所示，可以看到，在個Legendre-Gauss點處（恰為格式（8）的譜配置點），導數值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些配置點為導數值逼近的超收斂點.

最后考慮函數值逼近的超收斂性，仍然以，以及和9為例，可以看到在個Legendre-Gauss-Lobatto點處（即的零點，包括個內點和2個端點）函數值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些點為導數值逼近的超收斂點.

2.2 二階初值問題

考慮變系數二階線性常微分方程初值問題其真解為.

利用Legendre譜配置格式（12）求解該問題.分別選取，，然后采用不同的進行求解，將數值解的絕對誤差繪制曲線，如圖7和圖8所示，可以看到，隨著的增大，數值誤差呈指數下降趨勢.

接下來考察導數值逼近的超收斂性，取，分別考慮和（共有個Legendre-Gauss點）的情形，將導數值誤差繪制曲線，如圖9和圖10所示，可以看到在個Legendre-Gauss-Lobatto點處導數值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些點為導數值逼近的超收斂點.

最后考慮函數值逼近的超收斂性，仍然取，分別考慮和的情形.從圖11和圖12可以看到，在權為2的Jacobi-Gauss點（即Jacobi多項式的零點）和兩個端點處，函數值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些點為函數值逼近的超收斂點.

3 ?結 論

本文作者提出了求解一階與二階線性常微分方程初值問題的 Legendre譜配置法，該方法具有以下優點：數值格式簡單、編程容易、計算精度高，且很容易推廣到非線性常微分方程初值問題的計算.通過數值算例發現，Legendre譜配置法在求解上述常微分方程初值問題時具有超收斂性，具體總結如下：

1） 對于一階線性常微分方程初值問題，若采用個Legendre-Gauss配置點，則函數值誤差在個Legendre-Gauss-Lobatto點處具有超收斂性，而導數值誤差恰在個Legendre-Gauss點（即配置點）處具有超收斂性.

2） 對于二階線性常微分方程初值問題，若采用個Legendre-Gauss配置點，則函數值誤差在個點（包括2個端點和Jacobi多項式的零點）處具有超收斂性，而導數值誤差在個Legendre-Gauss-Lobatto 點處具有超收斂性.

應當指出，上述有趣的超收斂現象還缺乏理論證明，這也是今后的研究方向之一.

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（責任編輯：馮珍珍）