多區間泰勒配置法求解一類線性Volterra積分-微分

方程 馬淑芳 萊蒙 鐘霖

摘 ?要： 考慮了一類線性Volterra積分-微分方程（VIDEs）的多區間泰勒配置解法，其主要技術是將求解線性VIDEs轉化為求解線性代數方程組. 該方法的優點是易于實現，適用于長時間的計算.采用基于殘差函數的誤差分析法分析了方法的誤差，通過算例驗證了所提出方法的適用性和有效性.

關鍵詞： 線性Volterra積分-微分方程（VIDEs）; 泰勒配置方法; 多區間; 近似解

中圖分類號： O 241 ???文獻標志碼： A ???文章編號： 1000-5137（2021）01-0008-06

Abstract： In this paper，we consider a multiple interval Taylor collocation method for a class of linear Volterra integro-differential equations （VIDEs）. The main technique is to reduce the linear Volterra integro-differential equations （VIDEs） to a linear algebraic system. The advantage of this method is that it is easy to implement and suitable for long-time calculation. And we analyze the error of the method based on residual function. Finally，the applicability and effectiveness of the method are verified by an example.

Key words： linear Volterra integro-differential equations（VIDEs）; Taylor collocation method; multiple interval; approximation solution

0 ?引 言

積分-微分方程在物理和工程問題中都有許多應用，例如一維黏彈性問題、建立電子束器件場理論模型等 [1].此外，一些涉及具有記憶的材料的現象可用Volterra積分-微分方程的邊值問題來描述[2].

通常方程（1）的精確解是不易獲得的，因此，研究方程（1）的近似解十分必要.近幾十年來，各種數值方法被用來分析一階Volterra積分-微分方程.例如：BRUNNER[3]研究了Volterra積分-微分方程數值解的高階方法，且采用多項式樣條配置法分析了具有無界延遲的Volterra積分-微分方程和非線性Volterra積分-微分方程[4].YI[5-7]采用了連續Petrov-Galerkin方法研究了具有光滑和非光滑核的一階Volterra積分-微分方程.此外，研究Volterra積分-微分方程的數值方法還有Euler法[8]、Runge-Kutta法[9]、線性多步法[10-11]和Galerkin法[12-13]等.

在近似計算中，泰勒配置法是一種簡單又十分有效的方法，被廣泛應用于求解各類微分、積分方程.例如：GOKMEN等[14]采用泰勒配置法研究了延遲捕食-被捕食系統的數值解.WANG等[15]采用泰勒配置法分析了Volterra-Fredhdm積分-方程的數值解，并分析了該方法的收斂性.

基于上述討論，本研究的主要目的是用多區間泰勒配置法求解一類線性Volterra積分-微分方程的近似解.多區間泰勒配置法的優點是易于實現，適用于長時間計算.

1 ?算子矩陣

5 ?結論

本文作者提出了一種求解一類線性Volterra積分-微分方程（VIDEs）的多區間泰勒配置法，該法運用殘差修正技術對近似解的精度進行檢驗.數值實驗結果表明：多區間泰勒配置法是一種十分有效的計算方法，且算法簡單.同時該法可以有效地應用于各種類似問題，例如高階微積分方程和Volterra積分方程等.

參考文獻：

[1] BURTON T A.Volterra Integral and Differential Equations [M].New York：Academic Press，1983.

[2] AGARWAL R P，OREGAN D.Integral and Integro-Differential Equations：Theory，Methods and Applications [M].Amsterdam：Gordon and Breach，2000，2.

[3] BRUNNER H.High-order methods for the numerical solution of Volterra integro-differential equations [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，1986，15（3）：301-309.

[4] BRUNNER H.Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations [M].Cambridge：Cambridge University Press，2004.

[5] YI L J.An h-p version of the continuous Petrov-Galerkin finite element method for nonlinear Volterra integro-differential equations [J].Journal of Scientific Computing，2015，65：715-734.