(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程的怪波解及其局域性質

譚曉漫, 扎其勞

(內蒙古師范大學 數學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010022)

2014年,Latha等推導出一個新的(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程[1]

(1)

其中,q是一個關于空間變量x,y和時間變量t的函數,a,b,c,d是磁耦合系數。該方程用來描述海森堡鐵磁自旋鏈系統中非線性波傳播,它也是非線性Schr?dinger方程在(2+1)維的推廣。通過特殊選擇磁耦合系數a,b,c,d的值,方程(1)可表示為可積模型,擁有Lax對[2-3]和無窮多守恒律[3]。也可以通過Darboux變換方法[2-3]、Hirota雙線性方法[4]、李群方法[5]以及符號計方算法[6-7]求解方程(1),并獲得怪波解[2]、孤子解[3-4]、群不變解[5]、奇異解和周期波解等[5-6]。而目前關于方程(1)怪波解的局域分析和呼吸子解尚未被報道。因此,本文的重點是分析方程(1)怪波解的局域性質和求解呼吸子解。首先,利用符號計算方法構造(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程(1)的怪波解；其次,通過分析怪波解的等高線[8],獲得其局域化特征；最后,求得(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程(1)的呼吸子解。

1 怪波解及其局域化特征

1.1 符號計算與怪波解

取方程(1)的種子解為q=e-idx,令其怪波解為

(2)

(3)

將(3)式代入(2)式,得方程(1)的有理函數解

(4)

當b=c=-d=1時,(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程的解(4)在不同維度上的波形如圖1所示。當限制維度為x=1,y=1和t=1時,圖1中的(a),(b)和(c)分別為怪波和孤子。

圖1 x=1時的怪波(a)、y=1時的怪波(b)和t=1時的孤子(c),參數b=c=-d=1Fig.1 By selecting b=c=-d=1,(a) rogue wave with x=1; (b) rogue wave with y=1; (c) soliton with t=1

1.2 怪波解的局域化特征

情形1當x=1時,怪波解(4)可寫成

(5)

128b2+64bc2d+8c4d2+64bc2d3+16c4d4-16b2H+64c3d3y+

64bcd2Hy+16c3d3Hy-32c3d5Hy+256bdy2-8bc2dH+

16bc2d3H-c4d2H+4c4d4H-4c4d6H+512b2d2t2+256bc2d3t2+

32c4d4t2-128b2d2Ht2-64bc2d3Ht2-8c4d4Ht2+64bc2d5Ht2+

16c4d6Ht2-256b2d4Ht4-128bc2d5Ht4-16c4d6Ht4+256bcd2y+

256bcd4Hyt2+64c3d5Hyt2+64c2d2y2+64bdHy2+16c2d2Hy2+

256bd3Hy2t2-96c2d4Hy2+64c2d4Hy2t2-128cd3Hy3-64d2Hy4=0。

(6)

(1) 當H=0時,等高線方程(6)化為雙曲線

(7)

它的兩條漸近線分別為

(8)

圖2 密度圖、雙曲線(長虛線)、漸近線(短虛線)的組合(a)和雙曲線(長虛線)、漸近線(短虛線)的組合(b),參數x=b=c=-d=1Fig.2 By selecting x=b=c=-d=1,(a) the combination of density plots,heyperbola (long dash line) and asymptotes (short dash line); (b) the combination of heyperbola (long dash line) and symptotes (short dash line)

(2) 當H=1時,等高線方程(6)化為凹的閉曲線

(9)

(10)

Θ=8bd3(H+6cdH+9c2(4+(-1+d2)H)),

其中

其中

Θ=8bd3(H+6cdH+9c2(4+(-1+d2)H)),

圖3 等高線方程(6)在 圖4 等高線方程(6)在 H=1時的凹的閉曲線 H=5時的凸的閉曲線 Fig.3 The concave curve of the contour plot (6) Fig.4 The convex curve of the contour plot (6)

圖5 面積S(實線),長度L(長虛線)和寬度W(短虛線)Fig.5 The area S (solid line),the length L (long dot line) and width W (short dot line)

(11)

(12)

故

(13)

其中

Θ=8bd3(H+6cdH+9c2(4+(-1+d2)H)),

(14)

(15)

其中

ω4=4bd(4+H+4d2t2H),σ=c2d2(4+H+4d2t2H)。

圖6 等高線方程(6)的凸的閉曲線Fig.6 The convex curve of the contour plot (6)

P12P11平行于P22P21,y軸上的其他四個端點分別為

其中

并且有三個中心,分別為

圖1(b) (y=1) 的情形類似情形1，故此處省略。

情形2當t=1 時,怪波解(4)可寫成

(16)

128b2+64bc2d+512b2d2+8c4d2+256bc2d3+32c4d4-16b2H-

8bc2dH-128b2d2H-c4d2H-64bc2d3H-256b2d4H-8c4d4H-

128bc2d5H-16c4d6H+64bc2d3x2+16c4d4x2+16bc2d3Hx2+

64bc2d5Hx2+16c4d6Hx2-4c4d6Hx4+256bcd2xy+64c3d3xy+

64bcd2Hxy+16c3d3Hxy+256bcd4Hxy+64c3d5Hxy-32c3d5Hx3y+

256bdy2+64c2d2y2+64bdHy2+16c2d2Hy2+256bd3Hy2-

96c2d4Hx2y2-128cd3Hxy3-64d2Hy4+4c4d4Hx2+64c2d4Hy2=0。

(17)

(1) 當H=0時,等高線方程(17)化為

128b2+64bc2d+512b2d2+8c4d2+256bc2d3+32c4d4+16c4d4x2+

256bcd2xy+64c3d3xy+256bdy2+64c2d2y2+64bc2d3x2=0。

(18)

(2) 當H=1時,等高線方程(17)可化為如下

(19)

(20)

圖7 等高線方程(17)在時的直線Fig.7 The lines of the contour plot (17) with

(21)

其中

ξ=16bcd2+4c3d3+4bcd2H+c3d3H+

16bcd4H+4c3d5H。

其中

ξ=16bcd2+4c3d3+4bcd2H+c3d3H+16bcd4H+4c3d5H。

2 呼吸子解

設方程(1)的呼吸子解的形式為

(22)

其中μ=gx+kt+ny,θ=hx+mt+ly。將方程(22)代入方程(1),令coshwμcossθsinhzμsinrθ同次冪系數為零,且ad=-1時,可得一個代數方程組,求解該代數方程組得到如下兩組解:

(23)

(24)

其中b,c,d是任意參數。

將(23)式代入(22)式,得到Ma呼吸子

(25)

將(24)式代入(22)式,得到Akhmediev呼吸子

(26)

圖8 x=1時的Ma呼吸子(a), y=1時的Ma呼吸子(b), t=1時的孤子(c),參數Fig.8 By selecting c=d=q=1, p=2, (a) Ma breather with x=1, (b) Ma breather with y=1, (c) soliton with t=1

3 結論

(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程是著名非線性Schr?dinger方程在(2+1)維的推廣,本文首先研究了該方程的怪波解,并通過討論怪波的等高線,分析了它的局域性質,揭示了怪波在不同的等高處的特性。其次研究了(2+1)維海森堡鐵磁自旋鏈方程的兩種呼吸子解,即Ma呼吸子與Akhmediev呼吸子。本文采取的計算機符號計算求解方法具有一定的普適性,可以應用到高維非線性方程中,有望獲得更有意義的結果。