單級倒立擺系統的仿真分析

李艷杰 佟福奇

沈陽理工大學 機械工程學院 沈陽 110159

1 分析背景

倒立擺系統是一個非線性、強耦合、多變量自然不穩定系統,需要采用有效的控制策略。基于倒立擺系統,可以檢驗控制理論與方法的合理性、有效性。軍工、航天及一般工業中的很多問題都可以簡化為倒立擺系統,如人型機器人行走過程中的平衡控制問題、航天飛行器飛行中的姿態控制問題等。

單級倒立擺系統可以簡化為小車和擺桿兩部分。小車由電機帶動,沿直線軌道移動。擺桿與小車鉸接,可繞鉸接點旋轉。單級倒立擺系統的控制目標是通過向小車施加控制力,使小車停留在期望的位置,并且擺桿豎直向上。

自20世紀50年代美國麻省理工學院設計出一級倒立擺實驗裝置以來,眾多學者對單級倒立擺系統的控制與仿真進行了大量研究。楊世勇等[1]對單級倒立擺系統進行了比例積分微分控制研究。李秋菊等[2]針對單級倒立擺系統提出一種基于廣義擴展線性化的非線性控制方法,并進行了仿真分析。蒲建波等[3]在Matlab軟件中建立單級倒立擺系統的線性化仿真模型,進行多種控制方法的仿真對比。

筆者針對單級倒立擺系統設計了雙比例積分微分控制、極點配置控制、線性二次型調節器控制三種控制方案[4-10],在單級倒立擺系統數學模型的基礎上,應用Matlab/Simulink軟件Simscape子模塊建立單級倒立擺系統的物理仿真模型,進行控制方案的對比與分析。

2 單級倒立擺系統數學模型

忽略空氣阻力及擺桿與支點之間等各種次要摩擦阻力后,將直線單級倒立擺系統抽象為由小車和勻質剛性擺桿組成的系統,如圖1所示。

圖1 單級倒立擺系統

對小車和擺桿進行受力分析后,運用牛頓第二定律,得到小車和擺桿在水平、豎直方向共四個力的平衡方程,以及擺桿繞質心的力矩平衡運動方程。消去大小相等的小車和擺桿之間的水平、豎直方向相互作用力后,可以得到單級倒立擺系統的運動方程,為:

(1)

(2)

式中:M為小車質量;m為擺桿質量;I為擺桿繞質心的轉動慣量;l為擺桿質心與轉動軸心間的距離;b為小車與導軌之間的黏性摩擦系數;g為重力加速度;θ為擺桿與豎直向下方向之間的夾角;F為施加在小車上的作用力;x為小車水平位移。

可見,單級倒立擺系統具有非線性、強耦合的特點。φ為擺桿與豎直向上方向之間的夾角,為了便于設計控制器,可以在φ為0°時對系統進行線性化處理。

用u代表施加在小車上的作用力F,得到線性化后運動方程為:

(3)

(4)

(5)

(6)

單級倒立擺系統具體參數如下:M為0.2 kg,m為0.5 kg,I為0.006 kg·m2,l為0.3 m,b為0.1 N/(m·s)。將參數代入式(5),可得狀態空間方程中的系統矩陣A為:

輸入矩陣B為:

3 單級倒立擺系統物理仿真模型

Simscape是Matlab/Simulink軟件中的一個子模塊。使用Simscape子模塊中的剛體、關節、約束、力元件、傳感器等模塊,可以建立多體系統物理仿真模型,實現在Matlab/Simulink軟件中對控制器和控制對象同時建模,避免多平臺聯合建模對仿真效率的影響。

建立單級倒立擺系統的物理仿真模型,如圖2所示。環境變量包括重力、維度等,一般不需要設置。基于世界坐標、坐標變換1、坐標變換2,小車和擺桿建立空間位置聯系。設置移動關節和旋轉關節,建立旋轉運動。小車在控制力的作用下移動,設置關節傳感器以觀測小車的位移和速度、擺桿的角位移和角速度等變量。單級倒立擺系統三維模型如圖3所示。

向小車施加單位階躍力,得到響應曲線,如圖4所示。由圖4可以看出,如果不進行反饋控制,擺桿將產生周期振蕩。假設導軌足夠長,小車將持續運動,速度越來越快。由此可見,單級倒立擺系統是自然不穩定系統。

圖2 單級倒立擺系統物理仿真模型

圖3 單級倒立擺系統三維模型

4 控制方案分析

4.1 雙比例積分微分控制

比例積分微分控制具有結構簡單、易于調節的特點,不需要精確數學模型,就可以達到較好的控制效果。為了對擺桿和小車都進行控制,可以采用雙閉環比例積分微分控制,實現小車在指定位置時擺桿豎直向上的控制目標。由于擺桿和小車之間存在變量耦合,雙比例積分微分控制的參數調整過程比較耗時,一般采用經驗法進行調整。雙比例積分微分控制單級倒立擺系統仿真模型如圖5所示。

圖4 單級倒立擺系統階躍響應曲線

通過反復試驗,小車位置比例、積分、微分參數依次整定為50、50、8,擺桿比例、積分、微分參數依次整定為80、100、8。雙比例積分微分控制單級倒立擺系統響應曲線如圖6所示,可以看出小車平衡在設定的位置,擺桿維持豎直向上方向。

圖5 雙比例積分微分控制單級倒立擺系統仿真模型

圖6 雙比例積分微分控制單級倒立擺系統響應曲線

4.2 極點配置控制分析

狀態空間極點配置控制可以通過設計狀態反饋控制器,將多變量系統的閉環系統極點配置在期望的位置,從而使系統滿足性能指標的要求。極點配置控制原理如圖7所示。

根據單級倒立擺系統性能指標的要求,設定好期望的閉環極點,利用Matlab軟件中的PLACE函數可以方便獲得狀態反饋增益矩陣[k1k2k3k4],此時系統的控制律為:

(7)

圖7 極點配置控制原理

利用Matlab軟件中的PLACE函數,可以直接獲得極點配置控制的增益,語句格式為K=PLACE(A,B,P),其中,P為配置極點,K為反饋增益矩陣。取期望配置極點P為(-10,-10,-0.6+1.171j),運行PLACE函數,得到k1為105.537 7,k2為17.948 2,k3為-77.717 7,k4為-27.920 7。

極點配置控制單級倒立擺系統仿真模型如圖8所示,在模型中引入對擺桿的階躍干擾信號,幅值為0.5,作用時長為0～1 s。極點配置控制單級倒立擺系統響應曲線如圖9所示。

圖8 極點配置控制單級倒立擺系統仿真模型

仿真結果表明,單級倒立擺系統在擾動信號消失大約3 s后,以較小的超調量穩定在平衡位置,控制方案有效。

4.3 線性二次型調節器控制分析

線性二次型調節器控制是一種應用廣泛的最優控制方法,其控制原理如圖10所示。

系統二次型調節器控制性能指標函數J為:

(8)

Q、R為加權矩陣變量,用于平衡輸入向量和狀態向量之間的權重。Q為半正定矩陣,R為正定矩陣。理論上Q的元素可在0到無窮大之間取值。Q的元素越大,系統的調整時間越短,響應越快。但受計算限制,實際上Q的元素不可能取無窮大。一般通過調整Q的元素,以獲得良好的響應特性。R的元素可不調整。

控制律同式(7),使J最小的K即為最優反饋增益,可用MATLAB軟件LQR函數求取,語句格式為K=LQR(A,B,Q,R)。

Q為:

(9)

圖9 極點配置控制單級倒立擺系統響應曲線

圖10 線性二次型調節器控制原理

Q11為小車位移權重,Q33為擺桿角度權重。修改Q11、Q33可以得到不同的反饋增益矩陣K,從而實現不同的控制效果。當Q11為1,Q33為1,R為1時,最優反饋增益矩陣為[-1.000 0 -1.656 7 18.685 2 3.459 4]。當Q11為1 000,Q33為200,R為1時,最優反饋增益矩陣為[-31.622 8 -19.537 9 65.404 4 12.593 2]。

線性二次型調節器控制單級倒立擺系統仿真模型如圖11所示,線性二次型調節器控制單級倒立擺系統響應曲線如圖12所示。仿真時在模型中仍然引入幅值為0.5、作用時長為1 s的階躍干擾信號。由圖12可以看出,增大權重可以加快單級倒立擺系統的響應速度,減小超調量。

圖11 線性二次型調節器控制單級倒立擺系統仿真模型

圖12 線性二次型調節器控制單級倒立擺系統響應曲線

5 結束語

單級倒立擺系統是一個多變量、強耦合、不穩定非線性系統,針對這一系統,筆者設計雙比例積分微分控制、極點配置控制、線性二次型調節器控制三種控制方案,進行了仿真分析和對比。分析結果表明,在一定的干擾范圍內,單級倒立擺系統具有良好的抗干擾能力,可以通過調整控制律參數達到理想的控制效果。在實際應用中,可根據系統的具體指標要求選擇適合的控制方案。