基于灰色線性回歸組合模型的集成電路封裝設備故障趨勢預測

張燕龍，陳亮希，陳興玉，郭 磊，張紅旗，黃 魁

(1.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088；2.東南大學機械工程學院，江蘇 南京 211189)

0 引言

故障預測技術以設備當前的健康狀態為出發點，結合對象功能參數、結構特性和監測數據，運用合適的預測方法和模型，以快速有效指導故障發生前的維修決策[1-2]。Qian等[3-4]運用AR模型預測軸承的性能退化過程。Song等[5]采用卡爾曼濾波模型優化電池退化模型參數，通過支持向量機模型進行迭代更新預測，提高航天器電池故障趨勢預測的精度。Tian等[6]利用故障數據和狀態監測數據，建立一種基于人工神經網絡模型的滾動軸承剩余壽命預測模型。趙建忠等[7]運用改進新陳代謝灰色模型進行導彈裝備的故障預測。為提高裝備故障預測的準確性和可靠性，黃魁等[8]采用多方法融合灰色模型和神經網絡模型，完成雷達裝備的故障趨勢預測。針對集成電路封裝設備打孔機數據樣本少的特點，本文采用組合預測思想，運用灰色關聯度方法集成灰色模型和線性回歸模型，構建灰色線性回歸組合模型開展故障趨勢預測。

1 灰色線性回歸組合模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

目前，常用的灰色預測模型主要包括GM(1,1)模型、GM(0,N)模型和灰色Verhulst模型等，其中，GM(1,1)模型是灰色預測技術的基本模型，應用最為廣泛。GM(1,1)模型是通過1個變量的一階微分方程來揭示數列的內在規律，其基本思想是：首先要原始數據進行累加生成規律性較強的灰色數列；其次通過建立微分方程型的模型，運用最小二乘法來估計模型的各個參數；最后由模型求解的數據通過累減還原數列，再運用此數列進行預測。

GM(1,1)模型的建模原理如下所述。

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(1)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(2)

(3)

則GM(1,1)模型基本形式的白化微分方程為

(4)

那么，求得白化微分方程的解，即時間響應函數為

(5)

進一步求出累減還原式為

(6)

通過上述推導過程發現，GM(1,1)模型是由單個序列生成的模型，只需采用系統內部行為的數據，而且它不需要大量的樣本數據，往往只需4個及以上數據即可，非常適合短期預測。另外，GM(1,1)模型中的發展系數a使得序列整體變化規律更加明顯，通過累加生成呈現指數上升特性；GM(1,1)模型中的灰作用量b體現了數據變化的內在趨勢，是區別灰色建模和傳統建模的標志。正因為此，GM(1,1)模型可以廣泛應用于不確定性系統，去解決“小樣本、貧信息”的不確定性問題。

1.2 線性回歸模型

線性回歸模型是通過1個或者多個自變量解釋因變量之間關系的一種統計模型，主要包括一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。其中，若只包括1個自變量和1個因變量，且二者可以近似用直線表示，則稱為一元線性回歸模型，其方程可以表示為

y=ax+b

(7)

a為一元參數；b為常數項。參數a、b運用最小二乘法估計確定，算式為：

(8)

(9)

1.3 灰色線性回歸組合模型

單一的故障預測模型具有一定的局限性。為提高預測精度，本文提出基于權重分配的灰色線性回歸組合模型，該組合模型按照一定的規則，將灰色模型預測的結果與線性回歸模型預測的結果加權求和，得到最終的預測結果。借鑒灰色關聯度的概念確定組合加權系數，該方法應用流程如下所述。

設原始數據序列記為X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))，灰色GM(1,1)模型和線性回歸模型預測數據序列分別為X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))，X2=(x2(1),x2(2),…,x2(n))，則每個預測數據序列的關聯度為

(10)

那么，r1和r2分別為灰色GM(1,1)模型、線性回歸模型的灰色關聯度，對r1和r2歸一化處理得組合權重系數λ1、λ2，即：

(11)

(12)

則灰色線性回歸組合模型的預測公式為

Cq=λ1q1+λ2q2

(13)

Cq為灰色線性回歸組合模型預測值；q1、q2分別為灰色模型和線性回歸模型預測值。

2 集成電路封裝設備故障趨勢預測

集成電路封裝設備打孔機的關鍵部件為沖針，隨著使用次數的增加其直徑會逐漸縮小。當沖針直徑低于179 μm時就需要更換。本文隨機選取某研究所測試的1組沖針全壽命周期數據，如表1所示。以前7組數據作為樣本數據，建立故障趨勢預測模型；以后4組數據作為檢驗數據，以評估模型的預測精度。

表1 打孔機沖針直徑監測數據

2.1 灰色GM(1,1)模型

按照灰色GM(1，1)模型的建模步驟構建打孔機沖針的故障趨勢預測模型，計算模型參數a=0.007 8，b=193.388 6，求解灰色GM(1，1)模型的累減還原式為

(14)

計算灰色GM(1，1)模型擬合數據的平均絕對誤差為34.41×10-2μm，擬合效果良好。因此，可以運用該灰色模型進行沖孔直徑的預測，預測結果如表2所示。

表2 灰色GM(1，1)模型預測結果

根據表2預測結果，可以計算灰色GM(1，1)模型預測的平均絕對誤差為4.00×10-1μm，最小絕對誤差為0.04 μm，最大絕對誤差為0.75 μm。

2.2 線性回歸模型

以沖針直徑y為因變量，以時間序列x=(1,2,3,4,5,6,7)為自變量，利用打孔機沖針數據構建線性回歸模型，可以得到一元線性回歸方程為

y=-1.285 7x+193.14

(15)

計算線性回歸模型擬合數據的平均絕對誤差為40.86×10-2μm，擬合效果良好。因此，可以運用該線性回歸模型進行沖孔直徑的預測，預測結果如表3所示。

表3 線性回歸模型預測結果

根據表3預測結果，可以計算線性回歸模型預測的平均絕對誤差為4.25×10-1μm，最小絕對誤差為0，最大絕對誤差為0.85 μm。

2.3 灰色線性回歸組合模型

按照灰色關聯度的計算式(10)，可以得到灰色GM(1，1)模型和線性回歸模型的灰色關聯度分別為：r1=0.926 3，r2=0.892 2。由式(11)～式(13)可以進一步計算灰色GM(1，1)模型和線性回歸模型的權重為：λ1=0.509 4，λ2=0.490 6。因此，灰色線性回歸組合模型的預測結果如表4所示。

表4 灰色線性回歸組合模型的預測結果

根據表4預測結果，可以計算線性回歸模型預測的平均絕對誤差為3.45×10-1μm，最小絕對誤差為0.05 μm，最大絕對誤差為0.65 μm。

綜上所述，單一預測模型和灰色線性回歸組合模型的預測結果比較如表5所示。可以發現灰色線性回歸組合模型平均絕對誤差和最大絕對誤差均優于單一預測模型，最小絕對誤差差異性較小。結果表明灰色線性回歸組合模型結合了灰色模型和線性回歸模型的優點，預測效果良好，可以利用組合模型開展打孔機沖針故障趨勢預測。

表5 多種模型預測結果比較 μm

3 結束語

集成電路封裝設備打孔機的關鍵部件為沖針，而沖針直徑直接決定了打孔機的運行狀態和工作精度。為了更好地開展預測性維修，基于打孔機沖針監測數據，本文建立了灰色GM(1,1)模型、線性回歸模型和灰色線性回歸組合模型。通過對比單一預測模型和組合預測模型的預測結果，驗證了灰色線性回歸組合模型能結合單一模型的優點，弱化單一模型的缺點，在提高預測精度方面具有一定的合理性和有效性。