指向數學素養 理解概念本質

周蓉蓉 鄧雙英

【摘? ?要】分數認識教學橫跨兩個學段。《分數再認識》是學生在學習三年級上冊“初步認識分數”的基礎上再次認識分數的意義。教師在教學時應基于學情前測，抓住分數意義學習的生長點與延伸點，幫助學生理解概念本質。具體可從“數形結合，喚醒經驗，再認識‘[34]的特征”“理性思辨，深化內涵，再認識‘一個整體”“從點到面，抽象概括，再認識‘分數意義”“充分體驗，借助推理，再認識‘分數相對性”四個方面實施教學。

【關鍵詞】分數再認識;分數的意義;概念本質;數學素養

【課前思考】

目前，國內各版本教材都將分數安排在兩個階段進行教學。第一階段一般安排在三年級，主要內容為借助直觀模型，引導學生通過直觀操作，經歷分數的產生過程，并從部分與整體的關系初步理解分數的意義。第二階段一般安排在五年級，將學生對分數的感性認識上升到理性認識，概括出分數的意義，從分數與除法的關系等方面加深對分數意義的理解。五年級下冊《分數的意義》一課的主要教學內容是通過實例概括出分數表示整體與部分之間關系的意義，進一步理解分數表示多少的相對性。

從三年級的分數初步認識到本節課的分數再認識，學生對分數意義的理解掌握情況是怎么樣的？知識的銜接點和困難點在哪里？為了更好地了解學情，課前筆者對本校五年級225名學生進行了問卷調查，前測題及結果如下。

結果

統計 1個圖形的[34]：61.9% 4個圖形的[34]：26.2% 8個圖形的[34]：2.4% 錯誤率：9.5% ]

從前測結果看，40%左右的學生用[26]來表示題1中的三個圖，將1個小方格作為一份來理解圖形所表達的分數意義，關注的是物體或圖形的個數，忽略了③號圖形中橢圓的作用，沒有順利地建立2個小方格是一份的概念，也就是關于“子集與集合”的分數含義并沒有真正理解。90%的學生能有效地轉換[34]的符號表征與圖形表征，但61.9%的學生只能用一個物體作為一個整體來表征[34]。訪談后發現部分學生認為只有在一個物體不夠分時才用分數，幾個物體中的一部分不能用分數表示。部分學生認為一個整體中的物體或圖形必須是完整的、同類型的、明確數量的。而且用“多個物體”表示一個整體時，學生都偏好用分母的倍數個物體，一方面是因為這樣的數量容易平均分，另一方面也是教材所呈現的學習資源造成的。

根據前測分析，以下問題值得思考：①如何幫助學生完善對于“一份的概念”的理解？②如何改編教材，呈現學習材料，幫助學生突破對“整體”認識的局限性？③除了從“平均分成幾份，取若干份”份數定義角度認識分數，這節課還需要“再認識”什么？

結合課前思考，筆者從以下幾個方面展開教學。

【教學實踐】

（一）數形結合，喚醒經驗，再認識“[34]的特征”

分數是一個非常抽象的概念，需要有足夠的直觀表象作為支撐。課始教師從兩組圖入手（見圖1），引導學生回憶已學的按單個計數的策略，再借助已有的“表示一個正方形的[34]”的經驗，理解不同圖形的[34]的意思。在這一過程中產生認知沖突，引發思考：“為什么左邊4個圖用4個不同的數表示，右邊4個不同的圖形卻能用同一個數表示？”在從按個計數法轉換到用分數表示圖的過程中，找出分數與之前學習的數的不同點，深刻理解[34]表示部分與整體的關系的本質特征。

（二）理性思辨，深化內涵，再認識“一個整體”

“一個整體”是理解分數的意義的重要組成部分，是學生真正理解分數意義的基石。本節課理解“一個整體”分三步走。

1.結合理解[34]的特征，認識“一個整體”

在“用[34]表示圖”的學習活動中，引導學生體會只要把這4個圖形作為一個整體就可以表示出[34]的意思，特別是表示2個圓的[34]，打破學生“一個整體包括的物體數量必須是分母倍數”的思維局限性。再通過找一個相同的數“1”來表示一個整體，并在左邊圖形上圈一圈，感悟用分數和自然數表征數量的不同之處，實現思維方式的轉變。

2.拓展外延，理解深化“一個整體”

針對前測中部分學生認為“一個整體中的物體或圖形必須是完整的、同類型的、明確數量的”這一狀況，以及學生在后續學習中會經常面對各種各樣的數量作為“一個整體”的現實，筆者增加了關于“一個整體”的學習環節，依托三個典型例子，拓展“整體”概念的外延，深刻理解其內涵。

（1）3名學生和1名老師

師：“3名學生和1名老師”能作為一個整體嗎？

生：可以。

師：它的[34]是什么意思？

生：因為學生和老師一共有4個人，可以看作一個整體，再把3名學生分出去，就是[34]。

生2：“3名學生和1名老師”作為一個整體時，每個人都是4個人的[14]，3名學生就是其中的[34]。

（2）[12]塊巧克力

師：[12]塊巧克力是什么意思？

生：半塊巧克力，就是一塊巧克力的一半。（根據學生的表述，用圖表示出[12]塊巧克力，形成板書）

師：怎么表示出它的[34]？

生：把[12]塊巧克力平均分成4份，然后表示這樣的3份，就是[34]。（根據學生的回答，出示相應的圖，形成板書）

師：這么說來，[12]塊巧克力能不能作為一個整體，并從中找出它的[34]？

生（齊）：能。雖然它只是半塊巧克力，但依然可以作為一個整體。

（3）6米（7米，……，[x]米）

師：我們用一條線段來表示6米，它可以作為一個整體嗎？

生：可以把它看成一個整體，每份1.5米，然后取其中的3份，就是[34]。（根據學生的回答，出示相應的圖，形成板書）

師：把6米換成7米，還行嗎？

生：7米也可以看成1，把7米除以4，取其中的3份就可以表示[34]。（根據學生的回答，出示相應的圖，形成板書）

師：6米、7米可以作為一個整體，還可以是多少米？怎么找到x米的[34]？

生：可以把x平均分成4份，取出其中的3份就行了。

師：這個不確定的數量依然可以作為一個整體。如果把[x]米換成m千克，還可以嗎？（生答）

師：再換。（出示0.8米的繩子、買5本書的總錢數、學校占地面積）

生（齊）：都是可以的。

板書：

3.學生再次舉例，內化一個整體的意義

師：像這些都是可以作為一個整體來表示[34]的，你們能不能再說幾個？

……

這里的學習材料形式多樣，有用圖表示的，也有用語言表述的;有具體的，也有不確定的;有教師提供的材料，也有學生舉的例子，充分體現了“一個整體”的豐富性與全面性。這個學習過程，從圖到文字，從數到字母，從一個到多個的集合，從具體到抽象，學生經歷了“一個整體”概念形成、發展、拓展的過程，有效地改變了原有的認知經驗，再次認識到“一個整體”外延的豐富性、內涵的深刻性。

（三）從點到面、抽象概括，再認識“分數意義”

每一個數學概念的理解都需要經歷從具體到抽象，再回到具體的過程，分數的意義也一樣。雖然前面已經利用圖形充分理解了[34]的特征，但隨著“一個整體”的拓展，[34]也有了新的含義。本節課濃墨重彩地引導學生理解[34]的意義，幫助學生建立[34]豐富多彩的直觀表象，充分經歷直觀形象到抽象概括的過程。力圖通過以點及面，以一個分數的深度理解與概念的建立，完善對分數意義的整體構建。

師：同學們，這就奇怪了，[34]只是一個數啊，為什么可以找到那么多不同的整體來表示它？

生：因為它的意思就是把一個整體平均分為4份，表示這樣的3份。

生：[34]就是把一個物體平均分成4份，取其中的3份。無論是什么東西都可以平均分成4份。

師：[34]可以用不同的整體表示，那換一個分數，[57]能不能也用不同的整體來表示？

生：把一個整體平均分成7份，取其中的5份，就是[57]。

師：[1320]呢？

生：把一個整體平均分成20份，取其中的13份，就是[1320]。

師：同學們，學到這兒，你能用自己的話來說說什么是分數嗎？

生：把一個整體平均分成幾份，取其中的幾份，就是這個數的幾分之幾。

生：把一個整體平均分成n份，取其中的x份，就是分數的幾分之幾。

師：同學們，雖然他們的說法不同，但都抓到了分數的基本特征。數學家也是這么說的，一起來讀一讀。

生（讀）：把一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份，可以用分數表示。

師：這里有一個詞語，若干份，你覺得是什么意思？

生：x份。

生：多少份都可以。

師：是的，不管多少份都可以，這就是分數的意義。

（四）充分體驗，借助推理，再認識“分數相對性”

分數的相對性包括：整體不同，相同分數所對應的具體數量不同;整體相同，不同分數所對應的具體數量不同;整體不同，不同分數所表示的數量卻可能相同。這與整數表示數的多少有很大的區別，需要教師在教學中引導學生經歷、體會、感受、領悟、總結，讓學生學會有根有據地進行表達，充分認識分數的相對性，培養推理能力。

活動一：做一做

教師出示問題：“每人都從信封里拿出筆的[12]，拿出的筆的數量會一樣多嗎？”

（1）學生猜測，引發思考

學生猜測可能一樣多，也可能不一樣多，由此引發思考：真的是這樣嗎？

（2）合作學習，經歷過程

猜想：每人從信封里拿出筆的數量? ?? ? ? ? 。

驗證：①拿：信封里筆的[12]。

②猜：信封里放的筆的總數。

③討論：大家的猜想對嗎？理由是什么？

結論：我們組認為每人從信封里拿出筆的數量? ? ? ?，因為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（3）小組匯報，補充質疑（略）

（4）集體討論，歸納總結

①都是拿出信封里的筆的[12]，為什么有些時候一樣多，有些時候不一樣多呢？

②信封里的筆的總數是整體量，拿出的筆的數量是部分量。整體量不一樣多，相同的分數表示的部分量也不一樣多。相反，如果部分量一樣多，這個分數對應的整體量也一樣。

本環節采用小組合作學習的方式，可操作性強。學生經歷了完整的研究數學問題的過程，利用不完全歸納法得出結論，深刻體會分數的相對性，積累數學活動經驗。

活動二：選一選

教師出示問題：“有一個整體，露出它的[25]是[]，這個整體是什么樣子的？”

這是由部分量推斷整體量，本題需要學生充分理解[25]的意思，深入分析部分量與整體量之間的關系，找出正確的答案。下面是學生的作品，充分展示了學生不同的思維過程。

生：第①幅圖把原來的長方形平均分成5份，其中的2份和上面的長方形是一樣的，是[25]。第③幅圖和第①幅圖一樣，畫的方法不同。

生：第②幅圖是錯的，因為它表示出5份，是題目中長方形的全部，這個全部并不表示一個整體，只表示[25]。

生：第④幅圖也是對的，題目告訴我們露出它的[25]，是個長方形，它的整體應該是[55]，所以在它旁邊再加個[25]，是[45]，[45]再加上[15]，那也就等于1，原來的一個整體。

生：第⑤幅圖也是對的，因為它這里有5個小正方形，有3份沒有涂顏色，有2份涂了顏色，也表示[25]。

本環節的學習活動有效地訓練了學生的辨析能力和推理能力。同時也讓學生充分體會到如果部分量確定了，整體量也確定了，形狀可以不同。

活動三：辯一辯

教師出示問題：“在為抗擊新冠肺炎舉行的捐款活動中，奇思捐獻了零花錢的[15]，妙想捐獻了零花錢的[35]。妙想捐的錢一定比奇思多嗎？”

脫離具象，從抽象概括的角度去理解分數的相對性是學生是否真正理解分數的意義的表現。在這里，整體量不確定，分數也不相同，部分量也無法確定。這對學生來說是一個挑戰，就此引發他們的質疑、討論，學生通過不斷地探究，拓展了思考問題的角度，深刻體會到關鍵是看與[15]、[35]相對應的整體量，培養了數學思維的深刻性、靈活性。

數學概念的學習，需要學生經歷概念的形成過程，通過外顯性行為及語言，促進學生對概念的準確把握，進而理解概念的本質。這個過程，也是數學素養形成的過程。

參考文獻：

[1]范文貴，郝翡翠.五年級學生對分數意義的理解[J].數學教育學報，2017（1）.

[2]何葉飄.深入概念本質? ?深化學生理解：“分數的再認識”磨課歷程與思考[J].小學教學參考，2020（9）.

（浙江省衢州市衢江區教師進修學校? ?324022）浙江省衢州市衢江區第一小學 324022）