考慮同業(yè)拆借需求的現(xiàn)金押運入庫路線優(yōu)化模型

謝天帥，李 園

（重慶郵電大學 經濟管理學院，重慶 400065）

0 引言

盡管電子支付方興未艾，但隨著我國經濟的持續(xù)發(fā)展和在世界經濟中地位的不斷攀升，流通中的現(xiàn)金不斷增長。據(jù)中國人民銀行（以下稱“央行”）公布的數(shù)據(jù)計算，2005 年（我國電子支付元年）流通中的現(xiàn)金月均約22 032億元，到2020年（按前5個月計算）這一數(shù)據(jù)已經持續(xù)增長到85 130 億元。根據(jù)央行的存款準備金政策與制度，商業(yè)銀行等金融機構在每個營業(yè)日終了，均須按統(tǒng)一法人向央行存入存款準備金，存款準備金需達到央行規(guī)定的法定存款準備金。若金融機構的存款準備金沒有達到央行的規(guī)定，則需向其他金融機構調借資金彌補頭寸缺口，產生的利息稱為拆進利息，相反，存款準備金超過央行規(guī)定的部分，稱為超額存款準備金，可拆借給其他金融機構，產生的利息稱為拆出利息，這兩種利息統(tǒng)稱為拆借利息。拆借利息通常以日計，等于日拆借資金量與日拆借利率的乘積。每個營業(yè)日終了，存入央行的準備金越多，需要拆進的資金量就越少或用于拆出的資金量就越多，產生的拆進利息成本越低或拆出利息收益越多，金融機構的贏利能力就越強。

無論是為了減少拆進還是增加拆出資金量，都要求商業(yè)銀行等金融機構在營業(yè)日終了時將網點現(xiàn)金及現(xiàn)金等價物在央行扎賬之前運進央行金庫并存入存款準備金賬戶。因此，現(xiàn)金押運入庫是一個與時間有關的車輛路線問題。但在實踐和研究中，現(xiàn)金押運問題幾乎都沒有考慮到商業(yè)銀行等金融機構的同業(yè)拆借需求及其與現(xiàn)金入庫時間的關系，主要考慮的是現(xiàn)金運輸成本、現(xiàn)金風險、客戶的券別需求和服務時間窗等因素。比如，Yan，等將運鈔安全與運鈔成本結合起來考慮運鈔車輛的路線安排和調度問題[1]，并進一步考慮了隨機因素干擾下的運鈔車輛路線安排和調度問題[2]；Talarico，等也考慮了現(xiàn)金押運在途風險，用運輸距離和現(xiàn)金數(shù)量來量化在途風險，建立增加安全和減少成本的雙目標模型[3]，或者在路徑總風險不超過某一閾值條件下開發(fā)元啟發(fā)式求解算法[4-5]；Radojicic，等同樣以運輸距離和現(xiàn)金數(shù)量來量化在途風險，考慮了風險閾值的模糊性，開發(fā)模糊求解算法[6-7]，以找到更安全的路線。除考慮現(xiàn)金在途風險外，徐國勛，等還考慮了銀行網點庫存現(xiàn)金風險，以最小化在途現(xiàn)金風險成本、庫存現(xiàn)金風險成本和運輸成本為目標規(guī)劃運鈔路線[8]，或考慮新幣配送、舊幣回收等多類型現(xiàn)金押運路線[9]，或考慮客戶券別需求，以運輸成本最小[10]或運輸成本和懲罰成本之和最小為目標規(guī)劃運鈔路線[11]。李明琨，等則從押運成本和工作量均衡角度來研究運鈔車的調度問題[12]。Boonsam，等考慮了現(xiàn)金押運的服務時間窗問題，以總行駛時間最小化來規(guī)劃最優(yōu)路線[13]，但其研究的是將現(xiàn)金從金庫運輸?shù)綘I業(yè)網點和自動柜員機而不是將現(xiàn)金從網點運送回金庫的問題，考慮的是銀行網點的服務時間窗口而不是中央銀行的服務時間窗口。即使在Geismar，等[14]對現(xiàn)金供應鏈運作管理的綜述論文中，也未注意到商業(yè)銀行等金融機構的同業(yè)拆借需求對現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃的影響問題。

車輛路線問題中對時間因素的考慮，一是設施接受服務的時間約束，即服務時間窗口或服務截止時間；二是影響運輸結果的某些因素具有時變特征，如車輛行駛速度可能隨上下班高峰期的變化而變化等。在現(xiàn)金押運路線規(guī)劃中，現(xiàn)金從金庫運向營業(yè)網點時，營業(yè)網點接受服務的時間窗口對其業(yè)務開展具有重要影響，這時優(yōu)先考慮營業(yè)網點服務時間窗是恰當?shù)模滑F(xiàn)金從營業(yè)網點運回金庫時，央行金庫的扎賬時間對拆借業(yè)務有重要影響，若考慮拆借需求，則央行金庫的扎賬時間應該優(yōu)先考慮。與一般車輛路線中的時間約束不同的是，央行金庫的扎賬時間對可用于拆出或需要拆入的資金量是一個硬約束，但對現(xiàn)金的物理入庫卻不是，即扎賬時間后，現(xiàn)金仍然需要運入金庫以安全存放。由于拆借資金量受央行扎賬時間的影響，運鈔車的行駛速度也應被考慮進來，因為車輛行駛速度越快，越能在央行扎賬時間之前將更多的網點現(xiàn)金運回金庫入賬。

因此，本文擬將商業(yè)銀行等金融機構的同業(yè)拆借需求納入運鈔入庫路線規(guī)劃中，以拆借利息與押運成本之差構成的運鈔凈收益最大化為目標，建立新的現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃模型，提出一個精確與啟發(fā)式相結合的求解算法，借助數(shù)值算例對比分析考慮和不考慮同業(yè)拆借兩種情況下的現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃及其結果，認識同業(yè)拆借對現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃的影響機制，探討其對押運公司和商業(yè)銀行等金融機構的決策與合作的意義。

1 模型構建

1.1 問題描述

某押運公司為某商業(yè)銀行營業(yè)網點提供現(xiàn)金押運服務。營業(yè)日終了時，押運公司需要將各營業(yè)網點的現(xiàn)金運入央行金庫。現(xiàn)有一輛運鈔車固定服務5 個營業(yè)網點，每日按固定時間行走固定路線，并未考慮商業(yè)銀行的同業(yè)拆借需求，如圖1（a）所示。

圖1 現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃示意圖

圖1 中點0 代表央行金庫，點1、2、3、4、5 分別代表商業(yè)銀行的一個營業(yè)網點。不考慮商業(yè)銀行的同業(yè)拆借需求時，押運公司通常會以成本最小化為目標選擇最優(yōu)押運路線，一次性將所服務營業(yè)網點的現(xiàn)金運回金庫，最優(yōu)路線為0-1-2-3-4-5-0（如圖1（a）所示）。但現(xiàn)金運回金庫時，常會超過央行金庫的扎賬時間，導致運回的現(xiàn)金能入庫而不能及時存入央行賬戶計入存款準備金，產生不了同業(yè)拆借利息。若考慮商業(yè)銀行的同業(yè)拆借需求，押運公司需要在央行扎賬時間之前將商業(yè)銀行營業(yè)網點的現(xiàn)金盡可能多地運回金庫入賬，以讓商業(yè)銀行可用于拆出的資金盡可能多、需要拆入的資金盡可能少，比如先將網點1、2、3的現(xiàn)金運回金庫入賬，再將網點4、5的現(xiàn)金運回金庫入賬，即新的押運路線為0-1-2-3-0-4-5-0（如圖1（b）所示）。

在現(xiàn)金押運業(yè)務外包的情況下，現(xiàn)金及時存入央行賬戶所產生的拆借利息為商業(yè)銀行所得，所增加的運輸成本則由押運公司承擔，這顯然不是一個責任、權利對等的結構。因此，商業(yè)銀行與押運公司之間應該安排適當?shù)暮霞s條款協(xié)調雙方的責任和利益，比如共享運鈔凈收益等，以促使押運公司既按照商業(yè)銀行參與同業(yè)拆借的需要安排現(xiàn)金押運入庫路線，又兼顧現(xiàn)金押運入庫運輸成本最小化的要求，即以適當?shù)暮霞s安排實現(xiàn)以拆借利息與運輸成本之差構成的運鈔凈收益最大化為目標的現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃。合約安排屬于另外的研究課題，本文以現(xiàn)存某押運公司的一輛運鈔車固定服務5 個營業(yè)網點的實況為參照，說明同業(yè)拆借對現(xiàn)有押運路線的影響機制，以及考慮同業(yè)拆借需求的押運路線規(guī)劃能帶來的好處，從整個系統(tǒng)角度進行的多車輛押運入庫路線規(guī)劃問題則另行研究。

1.2 符號定義

可將本問題定義在一個完備圖G(V,A) 上，V表示商業(yè)銀行營業(yè)網點與央行金庫0 點的集合；A表示有向弧的集合，A={(i,j):i,j ∈ V,i ≠j} 。此外，還需定義以下符號。

（1）集合與參數(shù)

N：一輛運鈔車所服務的商業(yè)銀行網點的集合，一個正自然數(shù)代表一個網點；

vij：點i到j的平均行車速度；

dij：點i到j的距離；

mi：營業(yè)網點i的現(xiàn)金余額，m0=0；

c：可變運輸成本，以每公里燃油費計；

f：固定運輸成本，以服務所有網點的押運人員工資、車輛維保費和折舊費等計；

k：運鈔車從金庫出發(fā)并返回次數(shù)的序數(shù)；

K：運鈔車前k次從金庫出發(fā)并返回次數(shù)的序數(shù)組成的集合，K={1,2,...,k} ；

t：運鈔車前k次離返金庫所用的總時間；

t0：從運鈔車首次離開金庫執(zhí)行任務時開始到央行存款準備金賬戶扎賬時終止的時間；

r：同業(yè)拆借市場利率，以日計。

（2）決策變量

n：運鈔車完成運鈔入庫任務需要返回金庫的次數(shù)，n ∈N ，n ≥k；

（3）輔助變量

輔助變量用于構造子回路消除約束，本文采用文獻[11,15-16]中的構造，增加以下兩個輔助變量。

：運鈔車第k次離返金庫訪問i點時的取值，本文按訪問順序，連續(xù)取非負整數(shù)；

p：運鈔車一次離返金庫所訪問的最大網點數(shù)量，np ≥ |N|，本文中取p=|N|。

1.3 數(shù)學模型

假定一輛運鈔車在服務 |N|個營業(yè)網點的過程中始終滿足容量約束；押運公司進行路線規(guī)劃時以運鈔凈收益最大化為目標。此時數(shù)學模型如下：

模型中，目標函數(shù)式（1）是最大化運鈔入庫的凈收益，其中前半部分表示在央行金庫扎賬時間之前運回并存入存款準備金賬戶的現(xiàn)金所產生的拆借利息，后半部分表示將所有服務網點的現(xiàn)金全部運回金庫保存時所產生的總運輸成本（可變運輸成本與固定運輸成本之和）。約束式（2）表示每個營業(yè)網點只能被運鈔車服務一次。約束式（3）表示運鈔車服務完一個營業(yè)網點后必須離開。約束式（4）表示運鈔車完成所有營業(yè)網點的運鈔入庫任務時需要返回金庫的次數(shù)，極端的情況有兩種：一種是n=1，這時如果運鈔車離返金庫所耗費的時間超過了央行金庫扎賬時間的要求，則模型退化為傳統(tǒng)的運輸成本最小化模型，即不考慮同業(yè)拆借需求的模型；另一種是n=|N|，這時運鈔車服務幾個營業(yè)網點就要返回金庫幾次，這種情況理論上存在，實際上幾乎不可能。約束式（5）為決策條件的具體化，表達出了運鈔車前k次離返金庫所耗費的總時間的計算方式；約束式（6）為子回路消除約束，用以排除不構成解的押運路線[11,15-16]；約束式（7）為0-1變量約束。

2 算例分析

本節(jié)通過算例說明上述模型的正確性，同時說明同業(yè)拆借對現(xiàn)金押運入庫路線優(yōu)化的影響及其對銀行經營的管理意義。

2.1 算例數(shù)據(jù)

參考一個實例，某押運公司為商業(yè)銀行提供現(xiàn)金押運入庫服務時，其中一輛運鈔車按固定時間固定路線固定服務該銀行眾多網點中的5個，應用上述模型對這輛車的運鈔入庫路線進行優(yōu)化。

設金庫位置為0 點，坐標為( 0,0 )；5 個營業(yè)網點的位置坐標見表1；假設營業(yè)網點間可直線相連，也不考慮運鈔車在網點的?？繒r間。

表1 銀行網點位置數(shù)據(jù)

表2 設置了與現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃問題相關的其他參數(shù)，設置依據(jù)如后所述。

表2 其他相關參數(shù)設置

運鈔車多在市區(qū)行駛，表2中各路段平均速度vij均設為40km/h。固定成本由人員工資、車輛維保費和折舊費等構成，經測算，一輛車完成所有現(xiàn)金押運入庫任務的固定成本f約為303元；變動成本主要是燃油費，測算后，c約為0.94元/km。運鈔車首次從金庫出發(fā)到存款準備金賬戶扎賬時止的時間t0設為1h。同業(yè)拆借利率取自上海銀行間同業(yè)隔夜拆借利率2.43%，該利率是以年計的，折算成以日計的利率r后，取值為（2.43/365）%=0.006 7%。

2.2 求解算法

車輛行駛速度相同時，時間最短路線就是路程最短路線，而且只需返回金庫1次。如果最短路線耗費的時間小于等于t0，則最短路線滿足同業(yè)拆借需求；否則，最短路線不滿足同業(yè)拆借需求，若要考慮同業(yè)拆借需求，只能將部分網點現(xiàn)金先行運回金庫，再將其余網點現(xiàn)金運回金庫，即返回金庫的次數(shù)為2次，但運鈔凈收益并不一定優(yōu)于返回次數(shù)為1次時的最短路線。因此，如果t0小于最短路線耗費的時間，那么，不考慮同業(yè)拆借需求時的最優(yōu)運鈔入庫路線，只需要在返回金庫次數(shù)為1次的路線中選擇；考慮同業(yè)拆借需求時的最優(yōu)運鈔入庫路線，則需要在返回金庫次數(shù)為1次或2次中的路線中選擇。返回金庫1次的運鈔入庫路線可視為單車輛的運輸路線問題，返回金庫2次的運鈔入庫路線可視為多車輛（2輛）的運輸路線問題，算例規(guī)模不大，采用精確算法或啟發(fā)式算法均可。

出于方便，采用遺傳算法，通過Visual Studio 軟件平臺進行數(shù)值實驗，相關參數(shù)見表3。

表3 遺傳算法參數(shù)設置

2.3 模型結果

實踐中，銀行營業(yè)網點余額總量和結構均可能發(fā)生變化，因此需要從兩個方面給出新模型的結果，以判斷新模型的有效性：一是銀行網點余額總量改變、結構不變時的結果；二是銀行網點余額總量不變、結構改變時的結果。

2.3.1 網點余額總量改變、結構不變時的結果。每個網點余額相同，5 個網點總額分別取10、30、50、200、400 萬元時，最優(yōu)運鈔入庫路線及相關成本、收益數(shù)據(jù)見表4。

表4 余額總量不同時的最優(yōu)路線及其成本收益

2.3.2 網點余額總量不變、結構改變時的結果。令網點余額總量為40萬元，4種余額結構見表5。

表5 銀行網點現(xiàn)金余額結構數(shù)據(jù)

4 種余額結構對應的最優(yōu)運鈔入庫路線及其相關成本、收益數(shù)據(jù)見表6。

表6 余額結構不同時的最優(yōu)路線及其成本收益

3 比較分析

為了說明新模型的有效性，需要將其結果與傳統(tǒng)模型的結果加以比較。

傳統(tǒng)模型下的結果見表7。

表7 不考慮同業(yè)拆借需求時最優(yōu)路線及成本收益

表7 表明，由于傳統(tǒng)模型沒有考慮同業(yè)拆借需求，銀行營業(yè)網點現(xiàn)金余額總量和結構對現(xiàn)金押運入庫路線沒有影響，每日運輸路線均固定。

3.1 余額總量改變時新模型與傳統(tǒng)模型的比較

比較表4與表7中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，不考慮同業(yè)拆借需求時，無論營業(yè)網點現(xiàn)金總量是多少，現(xiàn)金押運入庫路線都是0-3-1-4-5-2-0，一次性將各網點現(xiàn)金按這一固定路線運回金庫；考慮同業(yè)拆借需求時，網點現(xiàn)金總量為10、30 萬元的最優(yōu)運鈔入庫路線與不考慮同業(yè)拆借時的相同，50 萬元以上的最優(yōu)運鈔入庫路線就變?yōu)橄冗\網點4、5、2的現(xiàn)金回金庫，再運網點1、3的現(xiàn)金回金庫。

從成本、收益變化數(shù)據(jù)可以看出，網點現(xiàn)金總量為50萬元以上時，新路線的運輸成本增加了17.97元（377.97-360.00），但因網點4、5、2的現(xiàn)金余額及時入賬產生了19.97元以上的拆借利息，使運鈔凈收益增加了2元（19.97-17.97）以上，及時入賬的金額越大，產生的拆借利息收入越多。在拆借利息收入不足以彌補運輸成本的增加時，新模型下的押運路線與傳統(tǒng)模型下的相同。因此，新模型是比傳統(tǒng)模型適用范圍更廣、更為有效的現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃模型。

將網點現(xiàn)金余額連續(xù)化，可知運鈔入庫路線改變前后網點余額總量的臨界值為45萬元?，F(xiàn)實中，5個網點的余額總量通常遠大于45 萬元，因此在運鈔入庫路線規(guī)劃中考慮同業(yè)拆借需求，對商業(yè)銀行和運鈔公司的提質增效都具有重要意義。

3.2 余額結構改變時新模型與傳統(tǒng)模型的比較

比較表6與表7中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，余額結構①和②的最優(yōu)路線相同，也與不考慮拆借需求的傳統(tǒng)模型規(guī)劃的路線相同，都是一次性將5個網點的現(xiàn)金余額運回金庫；余額結構③和④的最優(yōu)路線相同，都是先將網點3的現(xiàn)金運回金庫，再將網點2、5、4、1的現(xiàn)金運回金庫，且都與傳統(tǒng)模型確定的押運路線不同。

從成本、收益變化數(shù)據(jù)可以看出，如果余額結構變化較大，使得拆借利息的增加（或減少）超過運輸成本的增加（或減少）時，現(xiàn)金押運入庫路線都會發(fā)生改變。比如網點余額結構從①變到④時，新路線使拆借利息增加了23.97元，運輸成本也增加了13.97元（373.97-360.00），但運鈔凈收益增加了 10 元（360.00-350.00），新路線比傳統(tǒng)路線效益更高。反之，如果網點余額結構從④變到①，拆借利息的減少低于運輸成本的減少，新模型規(guī)劃出的路線發(fā)生改變，與傳統(tǒng)模型規(guī)劃出的相同。因此，與傳統(tǒng)模型相比，新模型抓住了網點余額結構對路線規(guī)劃的影響，比傳統(tǒng)模型更為有效。

結合表1 網點坐標數(shù)據(jù)可知，網點1 離金庫最遠，網點3 離金庫最近，余額結構從①到④的變化過程實際上就是越靠近金庫的網點余額越大而越遠離金庫的網點余額越小的變化過程。盡管余額總量并未達到上例中的臨界值45 萬元，但押運路線仍然發(fā)生了改變，這說明，即使網點余額總量較小，加強遠離金庫網點的現(xiàn)金出入管理（如大額存取預約等）仍然可以給商業(yè)銀行帶來額外的增益。

另外，考慮同業(yè)拆借需求后，押運車輛每日運鈔入庫路線將隨著銀行網點營業(yè)終了時現(xiàn)金余額總量和結構的變化而有一定程度的變化，改變了傳統(tǒng)模型規(guī)劃出的路線的固定性，能在一定程度上增加現(xiàn)金押運路線的不確定性，從而在一定程度上提升現(xiàn)金押運入庫過程的安全性。

4 結語

本文建立了考慮商業(yè)銀行等金融機構同業(yè)拆借需求的、以運鈔凈收益最大化為目標函數(shù)的現(xiàn)金押運入庫路線規(guī)劃新模型，通過算例對比了新模型與不考慮同業(yè)拆借需求的傳統(tǒng)模型路線規(guī)劃結果，驗證了新模型的有效性，還發(fā)現(xiàn)了新模型規(guī)劃出的押運路線會隨著銀行網點日常經營結果的變化而變化的特性，能在一定程度上提高現(xiàn)金押運入庫過程的安全性。此外，商業(yè)銀行的營業(yè)網點通常遠不止5個，故新模型對商業(yè)銀行提高經營水平與運鈔公司提高服務水平等都能發(fā)揮重要的作用。