基于三因子模型的滬銅期貨定價研究

歐陽若瀾,肖曉俠,陳季龍,謝詠紅

(1.暨南大學 經濟學院,廣州 510632;浙江工商大學2a.國際商學院;2b.金融學院,杭州 310018)

銅作為我國經濟建設的重要戰略物資和基礎原料,對經濟發展起著舉足輕重的作用,其價格的異常波動將直接影響原材料成本,使企業陷入生產經營困境,甚至波及整個經濟體系。因此,對其采取有效的風險管理措施尤為必要。從滿足規避價格風險(套期保值)的需求出發,上海期貨交易所在1993年推出了銅期貨合約,交易代碼為CU。銅期貨自上市以來,受到廣大投資者的青睞,是上海期貨交易所最活躍的交易品種之一。銅期貨價格作為國內相關行業的權威報價,受到企業和投資者的廣泛關注和重視。而在利用期貨市場的價格發現、風險管理等功能的過程中,如何準確地對銅期貨進行定價,是亟需解決的關鍵問題。

大宗商品期貨的定價機制一般從期貨與現貨之間的關系入手。相關理論主要有現貨溢價理論和庫存理論。現貨溢價理論認為大宗商品期現貨在期貨合約到期之前的價格不一致是一種“正常”的溢價現象,庫存理論則通過持有實物的成本收益的角度來解釋現貨溢價或期貨溢價的機制,并提出了便利收益(指持有實物存貨而非期貨合約獲得的收益)這一核心概念。在定價模型方面,期限結構模型由于能夠融合較多市場信息,進而得到較為精確的期貨定價模型,為套期保值、投資決策以及衍生品定價等提供有力參考,近來在商品市場大受歡迎。期限結構模型體現的是在某一時點,不同到期期限的期貨與現貨價格之間的關系,最初在利率市場獲得較為廣泛的運用。

對于大宗商品期限結構模型的研究經歷了從單因子到多因子的過程。Brennan[1]將商品的便利收益特征引入了定價模型。Schwartz[2]和Cortazar等[3]提出維納過程驅動的單因子模型,并在其漂移項中加入便利收益,同時將其設定為常數。單因子模型簡單易用,且對于某些特定的大宗商品較為適用。Brennan[1]發現,貴金屬的便利收益接近于零,并認為貴金屬的持有動機相比于工業大宗商品的經營者有所不同,貴金屬的庫存構成了價值儲備,而不是生產過程的投入。因此,倉儲成本與庫存價值相比可以忽略不計。然而,單因子模型有較大的局限,尤其是將便利收益設為常量的假設,導致模型無法呈現更為豐富的期限結構形態。于是,Schwartz[2]和Gibson等[4]在單因子模型的基礎上,增加了服從均值回復的隨機便利收益的動態過程,形成雙因子模型。特別地,針對長期期貨合約的擬合,Schwartz等[5]通過同時刻畫長期與短期價格來描述期限結構。由于雙因子模型一般將隨機便利收益納入考慮,故對于消費屬性較強的大宗商品具有較好的定價效果,但對長期的期貨合約價格擬合能力較差。

Cortazar等[6]和Casassus等[7]在具有均值回復的隨機便利收益過程的基礎上,引入隨機利率因子,兩者與標的資產價格共同構成三因子模型。Hilliard等[8]考慮了現貨價格的不連續變動,在現貨價格隨機游走方程中添加了跳躍項,改進了由隨機便利收益、隨機利率和現貨價格所構成的三因子模型,研究了三者對于期貨、遠期和期權定價效果的影響。Miltersen等[9]構建了隨機便利收益、隨機利率和現貨價格的三因子模型,推導了期權公式的解析解,并區分了期貨與遠期的便利收益。Liu等[10]考慮了便利收益的異方差性,使用現貨價格、利率以及便利收益對商品價格進行刻畫。鄭尊信等[11]在現貨價格和便利收益之外,將商品金融化影響指數納入模型,對傳統的商品定價模型進行修正。三因子模型的設定更加靈活豐富,包括因子的選擇以及不同的特征等。然而,已有的期貨定價模型[12-13]都將現貨價格的波動率假設為常數,導致擬合的收益結果呈現正態分布。這與市場觀察到的尖峰后尾特征不相符,同時也無法通過時變的波動率序列來觀察整個市場的不確定性。在隨機波動率模型設定方面最經典的是Heston[14]將隨機波動率引入到模型之中,得到了期權價格的解析解。但大部分模型在引入隨機波動率之后變得非常復雜,求得模型解析解的條件十分苛刻。

國內學者對滬銅期貨的期限結構也進行了探討:部慧[15]利用Schwartz[2]雙因子模型對滬銅期貨進行了研究,發現該模型的擬合結果良好;王蘇生等[16]使用仿射模型進行滬銅期貨定價,通過嘗試因子的數量,認為二因子仿射模型比其他模型更為合適;危慧惠等[17]采用Hilliard等[8]提出的模型,對我國滬銅期貨進行定價,認為期貨市場部分波動應主要歸因于商品的隨機便利收益。此外,在滬銅期貨價格波動方面的研究有:彭紅楓等[18]對于滬銅期貨價格建立了ECM-GARCH 模型,并利用其結果做了最優套期保值比率的估計;趙華等[19]利用ARMAAJ-GARCH 模型刻畫了銅期貨價格的自相關性、條件異方差性以及動態跳躍性;朱學紅等[20]在模型中引入外部沖擊信息,探究銅期貨市場高頻波動率的變化;并且,基于高頻數據的研究視角[21],將銅期貨價格已實現波動率分解為連續波動和跳躍波動,并探究成交量、持倉量對波動率的影響。由上述文獻可以看出,國外學者對商品衍生品價格的期限結構研究已經相對完善。與之相比,我國期貨發展歷史較短,國內學者對于商品衍生品定價的相關研究較少,且主要側重于對已有模型的應用。但在實際應用中,同一模型在為特定商品定價時的表現差異較大,且國外的經典模型在中國也未必適用。此外,隨著全球經濟一體化的發展,大宗商品的金融屬性凸顯,導致商品價格波動加劇。因此,大宗商品期貨的定價研究應將隨機波動率納入考慮,以更適應市場的發展。

基于上述分析,本文旨在結合國內實際情況,發展改良已有的期限結構模型,探討適用于我國銅期貨的定價方法,力圖對其進行準確定價。具體而言,針對現貨價格的均值回復特性、隨機便利收益的存在性以及收益率序列的異方差性進行逐一檢驗,以論證包含商品現貨價格、隨機便利收益和隨機波動率的三因子模型設定的合理性。推導得出期貨價格的解析解,并使用2010～2019年的滬銅數據,結合狀態空間模型和擴展卡爾曼濾波對模型進行估計。結果顯示,本文提出的三因子模型相對于不考慮隨機波動率的雙因子模型,極大地縮小了定價誤差,并且在遠月合約定價精度上的提升尤為顯著。本文在衍生品定價方法上有所創新,同時驗證了庫存理論在滬銅期貨市場的有效性。

1 數據描述與特征檢驗

通過檢驗我國滬銅現貨價格和便利收益是否為均值回復的過程,以及現貨價格是否具有隨機波動率的特征,為構建三因子模型的設定提供依據。此外,利用代理變量檢驗滬銅現貨價格與便利收益的相關性,以驗證庫存理論在滬銅商品定價機制上的有效性。

1.1 數據描述

選取上海期貨交易所2010-01-04～2019-09-04的銅期貨的日結算價,涵蓋了近10年的數據。滬銅的合約月份覆蓋了全年12個月,圖1和表1所示分別為部分合約的價格時間序列以及數據的描述性統計。從滬銅期貨價格時間序列上看,包含了牛市、熊市等時段,蘊含豐富的價格信息,可以較好地用來檢驗模型擬合期限結構曲線的能力。由表1 分析可知,隨著剩余到期日的增加,滬銅期貨合約價格均值逐漸變大,波動率亦逐步上升。但是波動率的變化在期限結構遠端不明顯,即F9、F10、F11和F12的波動幅度基本相同1)本文沿用期限結構模型研究的慣例,使用剩余到期日來劃分合約,如F1表示1個月內到期的合約,F2表示剩余到期日大于1個月但小于2個月的合約,以此類推。

1.2 特征檢驗

圖1 銅期貨價格時間序列數據

表1 滬銅期貨合約價格描述性統計 ×103元

由于我國銅現貨價格在時間上較為分散、不連續且難以統計,而期貨價格在交割日的價格會向現貨價格收斂,故使用即將在1個月之內到期的滬銅期貨合約價格F1,t(即近月合約)作為滬銅現貨價格St的代理變量。

對于便利性收益的測度,由于銅現貨存儲倉庫在地理上較為分散,各個倉庫庫存量數據更新頻率不一致,難以直接通過現貨庫存量來測度便利收益,故通過便利收益模型,使用剩余到期日介于3～4個月之間的滬銅期貨合約價格F4,t和現貨價格代理變量F1,t,計算得到便利收益為

式中:rt為3 個月期的Shibor利率;yt為便利收益。

1.2.1 現貨價格 首先對滬銅現貨價格的特征進行檢驗。利用下式所示的回歸方程檢驗滬銅現貨價格收益率是否為均值回復過程。若式中的回歸系數顯著不為零,且為負數,則證明滬銅現貨價格具有均值回復的特性。即

參數估計結果如表2所示。表2的實證結果顯示,方程的回歸系數顯著不為零且為負值,因此,滬銅對數現貨價格是一個均值回復的過程。此外,調整R2僅為0.002,這表明,僅考慮均值回復的現貨價格無法很好地解釋價格的變動,需要納入其他因子,進一步提高模型的解釋能力。

表2 現貨價格均值回復過程檢驗

1.2.2 便利收益 通過檢驗滬銅期貨和現貨價格是否滿足雙因子模型[2]來驗證便利收益的均值回復特征。首先將雙因子模型進行離散化近似處理,即

假設式(3)、(4)的殘差et和εt具有相關性,且相關系數為ρ(et,εt)。聯立式(3)、(4),利用似無關回歸(Seemingly Unrelated Regression,SUR)方法對參數κy、α、c、d和ρ進行估計,并檢驗系數是否顯著,以此確定雙因子模型的設定是否適用于我國的滬銅期貨合約。若κy顯著為正,則可證明便利收益具有均值回復的特征。由表3估計結果可以發現,式(3)、(4)的截距項與斜率項均顯著不為零,且現貨價格變化與便利收益相關,由此說明,庫存理論能夠解釋滬銅現貨價格的部分變動。同時,斜率項顯著為負,說明便利收益是一個均值回復的過程。

表3 現貨價格與便利性收益率的數據特征檢驗

1.2.3 波動率 對于滬銅期貨價格的波動率,由各個期限合約的收益率時間序列圖(見圖2)能夠觀察到明顯的波動聚集現象。對F1、F3、F5、F7和F9這5個滬銅期貨合約構建AR(1)-GARCH(1,1)模型,如下式所示。通過對各參數進行估計,考察滬銅期貨合約的隨機波動率特征。

式中:Ri,t為第i個合約t時刻的收益率;μi為第i個合約的均值方程截距;γi為第i個合約的均值方程中收益率一階滯后系數;σi,t為第i個合約t時刻的波動率;ωi為第i個合約的方差方程截距;βi為第i個合約的方差方程中波動率一階滯后系數;αi為第i個合約均值方程的殘差項對波動率的影響系數;Zi,t為第i個合約服從正態分布的擾動項。

不同剩余到期日合約的AR(1)-GARCH(1,1)模型估計結果如表4所示。

圖2 滬銅期貨合約收益率時間序列圖

表4 滬銅期貨合約的AR(1)-GARCH(1,1)參數估計結果

F1、F3、F5、F7和F9這5個滬銅期貨合約的參數除了截距項以外,均顯著不為零。這表明,AR(1)-GARCH(1,1)模型可以很好地刻畫滬銅期貨合約收益率的變動。此外,ARCH 檢驗僅在10%的顯著性水平下拒絕了原假設(即沒有異方差),說明GARCH 模型只能在一定程度上消除收益率序列異方差。實證結果驗證了滬銅期貨隨機波動率的特征,因此需將隨機波動率的特點納入期限結構模型中,對期貨合約進行更為精準的定價。

2 模型構建

2.1 理論模型

由于我國貨幣市場尚未成熟,市場利率難以代表商品市場實際資金持有成本狀況,傳統期貨定價模型中的貨幣市場利率,在利率尚未完全市場化背景下對宏觀經濟因素的代表性較為有限[11],并且滬銅期貨最長期限為12個月,屬于短期合約,受利率的影響相對較小,故未將隨機利率納入模型。此外,上述檢驗結果驗證了滬銅期貨隨機波動率的特征,因此將隨機波動率的特點納入期限結構模型中,可以對期貨合約進行更為精準的定價,以期更好地發揮期貨市場的價格發現、風險管理等功能。綜上所述,本文在雙因子模型[2]的基礎上考慮現貨價格的隨機波動率,構建三因子模型,對滬銅期貨價格進行建模。基于商品現貨價格、隨機便利收益和隨機波動率的三因子模型在P測度下的動態過程為:

式中:St為商品現貨價格;yt為隨機便利收益;σt為隨機波動率;μ為商品現貨收益率;κ1為便利收益的均值回復速度;κ2為隨機波動率的均值回復速度;α為便利收益的長期均值;θ為隨機波動率的長期均值;W1、W2和W3為對應的布朗運動;ρ12、ρ13和ρ23為對應的相關系數。

在衍生品定價中,通常考慮風險中性測度Q下的動態過程,對價格進行求解。假設λ、β為隨機便利收益和隨機波動率相對應的風險溢價,經測度轉換后,Q測度下的模型設定為:

式中:

在獲得Q測度下的價格運動方程后,基于Feynman-Kac定理可以推導出期貨價格滿足的PDE方程:

服從邊界條件F(S,y,σ,0)=S,即到期日的期貨價格收斂于現貨價格。借鑒文獻[22-23]中的方法,上述PDE的解為

A(T)、B(T)和C(T)的表達形式詳見附錄,此處的T為剩余到期日。

2.2 實證模型

利用每個交易日可獲得的滬銅期貨價格的歷史數據,并將連續的隨機商品現貨價格、隨機便利收益過程以及隨機波動率離散化便可得到相對應的狀態方程。轉移方程為

式中:

測量方程為

式中:

3 實證結果

3.1 三因子模型

使用滬銅期貨合約F1、F3、F5、F7和F9的價格數據進行實證分析,無風險利率r采用樣本期間內1年期Shibor利率均值4.3%。通過使用構造的三因子模型以及擴展卡爾濾波技術,可以得到參數估計如表5所示。

表5 三因子模型參數估計結果

由表5可以發現,銅現貨價格、便利收益和隨機波動率三者均具有正向的相關關系。銅現貨價格與便利收益關聯較為緊密,相關系數為0.875,印證了庫存理論在我國銅期貨市場的有效性;銅現貨價格與隨機波動率相關性偏小,相關系數為0.243;隨機波動率與便利收益相關系數為0.229,表明便利收益的變動確實會引起隨機波動率變化,或者說隨機波動率的部分變化可以由便利收益所解釋。此外,便利收益均值回復速度較快,而隨機波動率均值回復速度較慢。

為考察三因子模型的擬合效果,將市場期限結構與三因子模型擬合的期限結構進行對比,如圖3、4所示。圖3是依據市場數據刻畫在不同時點上的期限結構曲線,而圖4是基于本文構造的三因子模型所估計得到的期限結構曲線。其中,實線表示每個時點的現貨價格,虛線表示每個時點上不同到期日的滬銅期貨合約價格所構成的期限曲線。由圖3、4可以發現,本文構造的三因子模型得到的期限結構曲線可以很好地描述市場情況。

圖3 市場價格期限結構

圖4 三因子模型擬合的價格期限結構

通過觀察市場期限結構可以發現,2010～2013年,市場期限結構曲線呈現向右上方傾斜的走勢,表明滬銅現貨貼水;2014～2016年,市場期限結構曲線向右下方傾斜較明顯,說明滬銅現貨升水;2017年至今,市場期限結構曲線總體上再次向右上方傾斜,表明滬銅表現出現貼水。而三因子模型擬合的期限結構曲線與市場期限結構整體走勢、升貼水情況大體一致。此外,由于三因子模型的狀態變化過程是線性的,故在升貼水價差表現中每個時點上擬合的遠期曲線的曲率較小,而市場期限結構的遠期曲線的曲率較大。

此外,基于三因子模型估計的結果,可以得到不可觀測的3個狀態變量的數據,即滬銅的現貨價格、便利收益和隨機波動率,如圖5所示。

由圖5可以看出,滬銅現貨價格自2010年6月份開始上漲,隨機波動率增大,反映了牛市的來臨。2011年末,滬銅現貨價格牛市行情結束,開始向歷史均值回歸,自2012～2016年震蕩下跌,隨機波動率也呈現震蕩狀態。2017～2018年,滬銅現貨價格再次快速上漲,隨機波動率相應發生強烈的變化,市場迎來牛市。在2011年滬銅期貨持續走強的情況下,可以發現,便利性收益略微小于0,其他時刻滬銅期貨便利收益基本大于0。此外,估算出的商品現貨價格與F1的價格十分接近,這也說明了上文用F1作為滬銅現貨價格的代理變量的合理性,也反映了我國銅期貨市場的有效性。綜觀圖5可以發現,滬銅現貨價格、便利收益以及滬銅現貨價格波動率的變化走勢具有相似性,三者之間存在一定的關聯度,隨機波動率可以捕捉到滬銅現貨價格大幅波動的變化。

圖5 三因子模型估計的狀態變量過程

值得注意的是,若模型只考慮現貨價格與便利收益[2],則擬合出的現貨價格和便利收益時間序列的走勢將呈現高度的一致性。這是由于此類模型的設定只強調了銅的消費屬性,現貨價格的變動可以完全歸因于便利收益。然而,近年來,包括銅在內的許多大宗商品價格表現出和傳統金融資產一樣的特征,價格變動受到金融因素的較大影響,脫離了供需基本面。因此,對其呈現出的投資屬性亦不容忽視。本文提出的三因子模型通過考慮便利收益和隨機波動率,對銅的消費屬性和投資屬性進行了刻畫和反映,現貨價格的變動不僅僅由便利收益所解釋。因此,盡管結果證明現貨價格和便利收益之間呈高度正相關(ρ12=0.875 5),但其時間序列的走勢并不完全一致。如圖5所示,2010～2012年,銅的現貨價格逐步上漲,便利收益也相應有所增長,但并未如現貨價格一樣達到最高點。考慮同時期滬深300指數的下跌走勢與大宗商品金融化的背景,有理由相信銅價的上漲可能源于股市資金的流入,而不能僅從倉儲成本角度考慮。因此,銅價的上漲并不能完全歸因于便利收益的上升,反觀波動率則攀升到了峰頂。同理,2014～2015年,銅的現貨價格處于下跌階段,而同時期的滬深300指數處于上漲階段,資金大規模流向股市,銅的價格更多反映市場的真實供需情況,便利收益也在此期間隨著現貨價格的短暫上漲達到頂點。

3.2 與雙因子模型的比較

為了更精準地評價模型的擬合能力,本文對三因子和雙因子模型[2]進行了比較。Schwartz[2]指出雙因子模型的總體表現優于單因子(考慮現貨價格)和三因子模型(包含現貨價格、便利收益和利率),該文中三因子模型的表現僅在較長期限的合約上略優于雙因子模型。由于我國的銅期貨最長的期限為12個月,屬于短期合約,利率的影響相對較小,故對標模型為雙因子模型[2]。首先,使用同樣的數據對雙因子模型參數進行估計,結果如表6所示;通過已得到的參數估計對模型在樣本內和橫截面檢驗的擬合表現進行比較,主要使用平均絕對誤差(Mean Absolute Error,MAE)、平均絕對百分比誤差(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)以及均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)這3個指標進行衡量,如表7～10所示。其中:樣本內使用F1、F3、F5、F7和F9這5個合約;橫截面檢驗使用F2、F4、F6、F8、F10和F12這6個合約,此6種合約數據并未在估計中使用。

表6 雙因子模型參數估計結果

表7 三因子模型樣本內擬合誤差

表8 雙因子模型樣本內擬合誤差

表9 三因子模型橫截面檢驗擬合誤差

表10 雙因子模型橫截面檢驗擬合誤差

通過對比發現,三因子模型的樣本內擬合誤差小于雙因子模型,更能捕捉市場真實數據的特征,除了在F7合約的擬合上雙因子和三因子模型的表現十分相近,在其他合約上三因子模型的擬合能力明顯更強。從橫截面檢驗看,三因子模型除了擬合F2的表現與雙因子模型較為接近,其他表現均強于雙因子模型。此外,隨著剩余到期日的增加,兩個模型的擬合誤差也隨之增加,但三因子模型誤差增速比雙因子模型緩慢;并且橫截面檢驗的擬合誤差相對于樣本內明顯增大,誤差增大主要來自于遠月合約(F10、F12),對于期限相對較短的合約(F2、F4、F6、F8),模型的擬合效果較好,與樣本內擬合誤差基本持平。總體而言,三因子模型在樣本內、橫截面檢驗中都可以很好地擬合滬銅期貨期限結構曲線。

4 結語

本文選取滬銅期貨合約在2010～2019年間近10年的數據,使用似無關回歸分析(SUR)方法檢驗了庫存理論在滬銅期貨合約上的有效性,并通過AR-GARCH 模型檢驗了滬銅期貨合約的隨機波動率特征。本文結合滬銅期貨價格的數據特征,提出了由商品現貨價格、便利收益和隨機波動率構建的三因子模型,并推導出期貨價格的解析解。同時,使用擴展卡爾曼濾波算法對模型參數進行了估計,得到了不可觀測的狀態變量,擬合出了不同時間點上的滬銅期貨價格曲線。通過擬合誤差分析發現,三因子模型擬合效果較經典的雙因子模型[2]具有明顯的優勢。模型估計得出的滬銅現貨價格與滬銅期貨F1價格十分接近,說明了我國銅期貨市場的有效性。此外,本文構建的三因子模型在估計便利收益的同時,還得到了滬銅現貨價格的波動率,可以有效捕捉到滬銅現貨價格的波動變化,反映價格的隨機波動特征。雖然本文圍繞滬銅期貨,針對其數據特征提出三因子模型,但本文的模型對其他具備類似價格特征的大宗商品或同樣適用,這也是未來研究的方向。

大宗商品多為民生物資和工業原料,商品價格的異常波動可能使企業陷入生產經營困境,甚至引發經濟危機。本文的研究成果可以為市場參與者提供有效信息,有利于相關企業進行風險管理與項目經營決策,也可為監管部門出臺相關措施提供參考依據。對于涉銅企業而言,本文的研究結果能為企業進行套期保值、風險管理以及投資決策等提供重要依據。本文提出的定價模型可以幫助企業充分利用銅期貨市場功能,提高企業對上下游價格的預見性,為企業的生產和經營決策提供方向,提升企業對未來經營把握的準確性,引導企業更有效地進行生產安排和資源配置,促進企業做大做強、提升國際競爭力。對于監管部門而言,本文提出的模型能對波動率進行更精確地刻畫,幫助監管者及時發現異常并提供科學的決策依據,更有效地管理市場,對于維護國民經濟的健康穩定發展,具有重要的現實意義。

附錄

B(t)表達式為

C(t)表達式為

式中:

A(t)表達式為

式中: