考慮顧客時間敏感的差異化排隊策略

關(guān)銀銀, 李 凱,2

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,安徽 合肥 230009)

服務(wù)系統(tǒng)中長時間的等待和擁擠依舊十分常見,如快餐店用餐高峰期的排隊點餐、車站排隊買票取票以及快遞站排隊郵遞包裹等。服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)商主要通過降低成本或者直接提高收入以獲得更大的市場競爭力。

近年來,很多學(xué)者研究了排隊論中的成本問題。文獻[1]基于排隊論建立了比較模型來計算生產(chǎn)物流系統(tǒng)中的等待成本和資源成本以提高物流效率;文獻[2]在最小化系統(tǒng)成本的目標(biāo)下，研究了并行排隊系統(tǒng)中最佳容量的確定以及靈活的技術(shù)選擇問題。

考慮系統(tǒng)收入體現(xiàn)在如下2個方面:

(1) 服務(wù)商通過提高價格來增加收入。文獻[3]研究了與需求無關(guān)的定價對M/M/1排隊系統(tǒng)中收入優(yōu)化的影響,或是通過改變服務(wù)率以服務(wù)更多數(shù)量的顧客從而提高系統(tǒng)收入;文獻[4]開發(fā)了一種服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計模型以最大化系統(tǒng)利潤,服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的每個設(shè)施分別被建模為決策變量不同的M/M/1排隊模型和M/M/k排隊模型。

(2) 規(guī)范顧客的排隊行為。文獻[5]研究表明，當(dāng)系統(tǒng)隊列長度超過系統(tǒng)的某個閾值時,禁止客戶進入的策略可以最大限度地提高收入,同時對于線性和指數(shù)收入結(jié)構(gòu),提出了最優(yōu)閾值的顯式表達式。

為了提高顧客滿意度,減少顧客等待時間,增加企業(yè)收益,服務(wù)系統(tǒng)需要針對不同需求的顧客提供差異化服務(wù)。例如，在銀行,有一部分顧客可以在銀行工作人員的指導(dǎo)下獨自在機器上完成操作業(yè)務(wù),而有一部分顧客則必須在柜臺專業(yè)人員的操作下才能完成業(yè)務(wù);在商店,有部分顧客選擇私人訂制的物品,而另一部分只需要統(tǒng)一規(guī)格的物品。為了應(yīng)對顧客的個性化需求,服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)商面對雙重選擇：將這類差異化顧客視為普通顧客以節(jié)約服務(wù)成本,或是設(shè)置一個新的隊列滿足這類差異化顧客的需求以增加收益。在這類情形下,如何設(shè)置服務(wù)率以及在何種情況下設(shè)置就成了服務(wù)商不得不面對的問題。

本文運用比較的方法得出不同情形的優(yōu)化結(jié)果。在排隊論研究中,越來越多的學(xué)者研究多服務(wù)器多隊列的排隊系統(tǒng),如文獻[6-8]。文獻[9]將具有免費和收費服務(wù)選項的雙層排隊系統(tǒng)建模為2個并行的M/M/1服務(wù)系統(tǒng)。本文考慮2個相互之間沒有任何聯(lián)系的排隊系統(tǒng)之間的對比,為企業(yè)管理者提供一定的啟發(fā)。

顧客在服務(wù)種類上可以分為一般顧客和特殊顧客,在時間要求上可以分為耐煩顧客和不耐煩顧客,其中不耐煩顧客對時間要求嚴(yán)格,在服務(wù)系統(tǒng)中的等待時間超過自己的容忍程度就會離開。文獻[10-11]研究了具有不耐煩顧客的排隊系統(tǒng);文獻[12]也研究了具有不耐煩顧客的排隊系統(tǒng),系統(tǒng)的服務(wù)器數(shù)量不確定,因為服務(wù)器數(shù)量的隨機性會在系統(tǒng)中產(chǎn)生擁塞,所以該文重點研究了顧客的放棄行為以減輕系統(tǒng)成本。與這些文獻不同的是,本文考慮為具有差異化需求的顧客額外設(shè)置一個隊列,并在不同到達率情形下分別對比單隊列雙服務(wù)器和雙隊列雙服務(wù)器的成本與收益,從而達到優(yōu)化服務(wù)系統(tǒng)的目標(biāo)。

單隊列多服務(wù)器的服務(wù)系統(tǒng)在各方面明顯優(yōu)于多隊列多服務(wù)器的服務(wù)系統(tǒng),在這個前提下,本文假設(shè)為差異化顧客額外設(shè)置一個隊列,并將含有這個特殊隊列的服務(wù)系統(tǒng)與普通的單隊列雙服務(wù)器系統(tǒng)進行對比。本文首先考慮了排隊系統(tǒng)中常見的泊松分布[13],其次考慮了梯形分布[14],并對比了系統(tǒng)成本與收益2種情況,得出在一定情況下設(shè)置差異化隊列對服務(wù)系統(tǒng)和顧客是雙贏的結(jié)論。在梯形到達模型中,本文還考慮不耐煩顧客,通過對比可以了解到服務(wù)商單獨設(shè)置差異化隊列的優(yōu)勢。

1 標(biāo)準(zhǔn)排隊系統(tǒng)

1.1 基本假設(shè)

本文考慮2個服務(wù)系統(tǒng)模型的比較,這2個模型分別為單隊列模型和雙隊列模型,如圖1所示。

圖1 單隊列模型和雙隊列模型

在單隊列模型中,服務(wù)系統(tǒng)中有2臺服務(wù)器,但顧客只能按照一個隊列接受服務(wù),到達率為λ,每個服務(wù)器都只能進行普通服務(wù),2臺服務(wù)器的服務(wù)率均為μ。

在雙隊列模型中,服務(wù)系統(tǒng)中有2臺服務(wù)器,但顧客有2個隊列進行選擇,其中一個隊列既可以進行普通服務(wù),又可以進行個性化服務(wù)。如銀行的窗口服務(wù)既可以進行簡單的存取款業(yè)務(wù),又可以針對不同顧客需求進行特殊的業(yè)務(wù);服裝定制店的設(shè)計師既可以制作統(tǒng)一樣式的衣服,也可以為顧客量身定做符合其個性化需求的服裝。即在排隊系統(tǒng)中,處理復(fù)雜任務(wù)的服務(wù)器也可以進行簡單的任務(wù)處理，本文稱此隊列為特殊隊列,服務(wù)此類顧客的服務(wù)器為特殊服務(wù)器；另一個隊列的顧客只能進行普通服務(wù),本文稱為普通服務(wù)器。2個隊列的到達率分別為λ1和λ2,且λ1+λ2=λ,2臺服務(wù)器的服務(wù)率分別為μ1和μ2。

本文首先考慮標(biāo)準(zhǔn)排隊模型：① 在單隊列模型中,2臺服務(wù)器的服務(wù)時間分布均為指數(shù)分布,服務(wù)率均為μ,顧客到達時間間隔服從指數(shù)分布,顧客到達過程為泊松分布,到達率為λ；② 在雙隊列模型中,2臺服務(wù)器的服務(wù)時間分布均為指數(shù)分布,服務(wù)率分別為μ1、μ2,本文假設(shè)μ2=μ′,顧客到達時間間隔服從指數(shù)分布,顧客到達過程為泊松分布,到達率分別為λ1、λ2,且λ1+λ2=λ。

1.2 優(yōu)化結(jié)果分析

從系統(tǒng)整體角度來說,隨機服務(wù)系統(tǒng)的單位成本不僅包括服務(wù)器的運營成本,還包括顧客的等待成本,單位時間全部成本的期望值為:

Z=c1m+c2Ls

(1)

其中:m為服務(wù)器數(shù)量;c1為每個服務(wù)器單位時間的成本;c2為每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的成本,即等待成本;Ls為系統(tǒng)中顧客平均數(shù)。假設(shè)雙隊列模型中2臺服務(wù)器不存在任何差異,則單隊列模型的單位成本為Z1=2c1+c2Ls,雙隊列模型的單位成本為Z2=2c1+c2(Ls1+Ls2)。

若單隊列模型為M/M/2,雙隊列模型為相同的2個M/M/1,則單隊列模型優(yōu)于雙隊列模型。顯然,服務(wù)商在面對此種情形時都會選擇單隊列模型,即當(dāng)2個服務(wù)系統(tǒng)分別為標(biāo)準(zhǔn)的M/M/2系統(tǒng)和2個相同的M/M/1系統(tǒng)時,從單位時間全部成本角度出發(fā),單隊列模型M/M/2系統(tǒng)的單位成本明顯小于雙隊列模型2個相同的M/M/1系統(tǒng),服務(wù)商會選擇M/M/2系統(tǒng)。但是,當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)一類特殊顧客時,此類顧客的服務(wù)是差異化的,服務(wù)商面對這種需要個性化服務(wù)的顧客時,在不同條件下應(yīng)該選擇不同的服務(wù)模型,服務(wù)商可以將其視為普通顧客選擇單隊列模型，也可以設(shè)置特殊隊列選擇雙隊列模型。服務(wù)商設(shè)置特殊服務(wù)器以服務(wù)差異化顧客會產(chǎn)生不同的成本,此時服務(wù)商就要在設(shè)置特殊服務(wù)器產(chǎn)生的額外成本與不設(shè)置特殊服務(wù)器喪失的部分顧客之間取得平衡。

定理1 單隊列模型為標(biāo)準(zhǔn)的M/M/2系統(tǒng),雙隊列模型為2個不同的M/M/1系統(tǒng),當(dāng)2種模型單位成本相同時,令雙隊列模型中特殊服務(wù)器的服務(wù)率為μ′*,有如下情況:

(1) 若雙隊列模型的服務(wù)率均為μ,每個服務(wù)器單位時間的成本均為c1時,無論雙隊列模型中2個隊列的到達率如何分布,則單隊列模型都優(yōu)于雙隊列模型。

(2) 若雙隊列模型的服務(wù)率分別為μ、μ′,到達率均為λ/2,每個服務(wù)器單位時間的成本均為c1,則μ′*=λ+μ。

(3) 若雙隊列模型的服務(wù)率分別為μ、μ′,到達率分別為λ1、λ2,且λ1+λ2=λ,每個服務(wù)器單位時間的成本為c1、c1′,則μ′*為:

(2)

(3)

當(dāng)μ′>μ′*時,選擇雙隊列模型;當(dāng)μ′=μ′*時,2個模型均可;當(dāng)μ′<μ′*時,選擇單隊列模型。

證明在此只給出情況(1)的證明過程,情況(2)、情況(3)類似。

在單隊列模型中,Ls=4λμ/(4μ2-λ2),在雙隊列模型中,2個M/M/1系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)為:

2個成本函數(shù)的差可以定義為關(guān)于到達率λ1的二次函數(shù),即f(λ1)=Z1-Z2=c2(Ls-Ls1-Ls2),且

單位時間全部成本的期望值是從系統(tǒng)整體角度出發(fā),既考慮服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)器的運行成本,又考慮顧客的等待成本,本文在考慮系統(tǒng)成本的基礎(chǔ)上,進一步研究了從服務(wù)商角度出發(fā)的服務(wù)系統(tǒng)收入優(yōu)化問題。在標(biāo)準(zhǔn)排隊系統(tǒng)中,若不考慮顧客的等待成本,則服務(wù)商單位收益的均值可表示為:

π=pλ-cμ

(4)

其中:p為服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)單位顧客的收入;c為服務(wù)器運行的單位成本;λ為服務(wù)系統(tǒng)中顧客的到達率;μ為服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)器的服務(wù)率。

在雙隊列模型中,若2個服務(wù)器的服務(wù)率均為μ,服務(wù)單位顧客的收入均為p,服務(wù)器運行的單位成本均為c,無論顧客的到達率如何分布,則服務(wù)商的選擇不同于定理1中的情況(1),單隊列模型和雙隊列模型的收益都是一樣的。若雙隊列模型中2個服務(wù)器的服務(wù)率不同,分別為μ、μ′,到達率均為λ/2,服務(wù)單位顧客的收入均為p,服務(wù)單位顧客的成本均為c,則當(dāng)μ′>μ時,服務(wù)商應(yīng)選擇單隊列模型；當(dāng)μ′<μ時,服務(wù)商應(yīng)選擇雙隊列模型。若雙隊列模型中2個服務(wù)器的服務(wù)率不同,分別為μ、μ′,2個隊列的到達率分別為λ1、λ2,且λ1+λ2=λ,服務(wù)單位顧客的收入為p、p′,服務(wù)器運行的單位成本為c、c′,則服務(wù)商會面對不同的選擇。

定理2 單隊列模型為標(biāo)準(zhǔn)的M/M/2系統(tǒng),雙隊列模型為2個不同的M/M/1系統(tǒng),從服務(wù)商單位收益的角度出發(fā),當(dāng)雙隊列模型中服務(wù)單位顧客的收入為p、p′,服務(wù)單位顧客的成本為c、c′,有如下情況:

(1) 若雙隊列模型的服務(wù)率均為μ時,則雙隊列模型中使得2個模型的單位收益相等的第1個到達率為：

(5)

(2) 若雙隊列模型的服務(wù)率分別為μ、μ′,則到達率分別為λ1、λ2,且λ1+λ2=λ,每個服務(wù)器單位時間的成本分別為c、c′。① 若cμ≤(p-p′)×(λ-λ1),則單隊列模型收益恒大于雙隊列模型;② 若cμ>(p-p′)(λ-λ1),則雙隊列模型中使得2個模型的單位收益相等的第2個服務(wù)率為:

(6)

當(dāng)μ′>μ′*時,選擇單隊列模型;當(dāng)μ′=μ′*時,2個模型均可;當(dāng)0<μ′<μ′*時,選擇雙隊列模型。

通過比較服務(wù)商單位收益與服務(wù)系統(tǒng)單位成本的優(yōu)化結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),是否考慮顧客的等待成本,對服務(wù)商的決策會產(chǎn)生不同的影響。從服務(wù)商收益角度出發(fā),當(dāng)雙隊列模型中提供差異化服務(wù)時,若提供普通服務(wù)的服務(wù)器的運營成本比較大時,服務(wù)商可以設(shè)置較小的服務(wù)率以提高企業(yè)收益；若提供普通服務(wù)的服務(wù)器的運營成本非常小時,單隊列模型總是優(yōu)于雙隊列模型。在現(xiàn)實生活中,顧客的等待成本難以準(zhǔn)確衡量,主要原因是顧客的單位等待成本不同,顧客對時間的敏感程度有所差異,因此,本文還考慮了不耐煩顧客,為了便于計算,本文假設(shè)顧客對時間的敏感程度是一樣的。

1.3 算例分析

某服裝定制店既可以按照顧客需求定做服裝,也可以為無特殊需求的顧客提供統(tǒng)一樣式的服裝。假設(shè)顧客的平均需求量為每周5套,服裝店共有2位服裝設(shè)計師可以完成顧客需求,且每位服裝設(shè)計師平均每周可以完成4套服裝,即λ=5,μ=4。

(1) 根據(jù)單位時間全部成本的期望值,單隊列模型的顧客平均數(shù)為Ls≈2.05。對于雙隊列模型，下面分不同情況具體分析。① 雙隊列模型中μ1=μ2=4,當(dāng)λ1=3,λ2=2時,Z1=2c1+2.05c2,Z2=2c1+4c2,單隊列模型優(yōu)于雙隊列模型。② 雙隊列模型中λ1=λ2=1/2λ,μ1=μ=4,μ′*=9,若μ2=μ′=8,Z1=2c1+2.05c2,Z2≈2c1+2.12c2,則單隊列模型優(yōu)于雙隊列模型;若μ2=μ′=10,Z1=2c1+2.05c2,Z2=2c1+2c2,則雙隊列模型優(yōu)于單隊列模型。③ 雙隊列模型中λ1+λ2=λ,μ1=μ=4,為方便計算，此時假設(shè)c1=4,c1′=2,c2=1,λ1=3,則μ′*≈3.90,當(dāng)μ2=μ′=3時,Z1=10.05,Z2=11,單隊列模型優(yōu)于雙隊列模型;當(dāng)μ2=μ′=4時,Z1=10.05,Z2=10,雙隊列模型優(yōu)于單隊列模型。

2 梯形到達排隊系統(tǒng)

2.1 基本假設(shè)

在梯形到達排隊系統(tǒng)中,考慮顧客是不耐煩的,隨著隊列長度的增加,顧客會選擇性加入隊列,在可以容忍的范圍內(nèi)加入,在超過可以容忍的長度時選擇離開。面對不耐煩顧客,服務(wù)商設(shè)置的服務(wù)率大小對服務(wù)系統(tǒng)的收益至關(guān)重要,在這個系統(tǒng)中本文主要從服務(wù)商的角度出發(fā),在不考慮顧客的等待成本情況下,針對不同類型的顧客設(shè)置不同的服務(wù)率從而最大化收益,假設(shè)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)單位顧客的收入為p,服務(wù)單位顧客的成本為c,服務(wù)的顧客總數(shù)為n,服務(wù)商的總收益為V,則

V=n(p-c)

(7)

圖2 梯形到達過程

在單隊列模型中,2臺服務(wù)器的服務(wù)率均為μ,顧客的到達率為Λ(t)。

在雙隊列模型中,2臺服務(wù)器的服務(wù)率分別為μ、μ′,顧客到達率分別為Λ1(t)、Λ2(t),并且其中λ1+λ2=λ。

2.2 優(yōu)化結(jié)果分析

在單隊列模型中,2臺服務(wù)器的服務(wù)率均為

(8)

在0～t0時間段內(nèi),根據(jù)顧客到達率可以計算出進入服務(wù)系統(tǒng)的顧客總數(shù)為：

(9)

服務(wù)系統(tǒng)積累的最大隊長假設(shè)為Qμ,根據(jù)服務(wù)率與到達率的交點可以計算出最大隊長為:

(10)

(11)

Q2μ=

(12)

在雙隊列模型中,2臺服務(wù)器的服務(wù)率分別為μ1、μ2,顧客到達率分別為Λ1(t)、Λ2(t),即

(13)

(14)

(15)

(16)

由于其中一個隊列既可以進行普通服務(wù),又可以進行個性化服務(wù),服務(wù)此類顧客的單位收入和單位成本都不同于只能進行普通服務(wù)的隊列,服務(wù)單位顧客的收入為p′,服務(wù)單位顧客的成本為c′,服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)商的總收益為:

(17)

(18)

(19)

當(dāng)μ′在(μ1′*,μ2′*)范圍內(nèi)時,雙隊列模型優(yōu)于單隊列模型,服務(wù)商面對此類情況應(yīng)該選擇雙隊列模型,當(dāng)μ′不在(μ1′*,μ2′*)范圍內(nèi)時，服務(wù)商應(yīng)該選擇單隊列模型。

實際情況中,若存在系統(tǒng)中積累的最大隊長小于顧客所能容忍的最大隊長,則系統(tǒng)中所有的顧客都可以被服務(wù),此時情況比較復(fù)雜,本文僅詳細考慮系統(tǒng)中積累的最大隊長大于顧客所能容忍最大隊長的情況。

比較單隊列模型和雙隊列模型,令f(μ′)=V1-V2,進行2次求導(dǎo)即可得出上述結(jié)果。

從上面的研究結(jié)果可以看出,服務(wù)商面對需要個性化服務(wù)的顧客時,如果要設(shè)置足夠大的服務(wù)率才能滿足顧客的需求,那么雙隊列模型對服務(wù)商來說不是一個好的選擇；如果服務(wù)商不需要設(shè)置很大的服務(wù)率就能滿足顧客的差異化需求,那么雙隊列模型對服務(wù)商來說是個更優(yōu)的選擇。具體來說,當(dāng)雙隊列模型中普通隊列的到達率明顯小于特殊隊列時,特殊服務(wù)器服務(wù)單位顧客的收入與成本之差明顯大于普通服務(wù)器服務(wù)單位顧客的收入與成本之差時,服務(wù)商只有當(dāng)特殊服務(wù)器的服務(wù)率在一定范圍內(nèi)時才會采用雙隊列模型;當(dāng)雙隊列模型中普通隊列的到達率不那么小時,普通服務(wù)器的服務(wù)率在特定范圍內(nèi)或者超過特定范圍時,服務(wù)商都是當(dāng)特殊服務(wù)器的服務(wù)率在比較小的時候選擇雙隊列模型。

2.3 算例分析

(1) 假設(shè)μ1=μ=3,此時單隊列模型中服務(wù)商的總收益V1=62.82,進一步可以計算出A≈0.78,(p′-c′)/(p-c)=4/3,根據(jù)求根公式求解可得μ1′*≈2.08、μ2′*≈9.62,當(dāng)μ2=μ′=3時,雙隊列模型中服務(wù)商的總收益V2=71.94,此時雙隊列模型更優(yōu)。

(2) 假設(shè)μ1=μ=13,此時服務(wù)率遠遠大于到達率,單隊列模型中所有顧客都可以被服務(wù),服務(wù)商的總收益V1=75。① 若μ2=μ′=5>4,則雙隊列模型中所有顧客均可被服務(wù),服務(wù)商的總收益V2=85,雙隊列模型優(yōu)于單隊列模型;② 若μ2=μ′=2.5<4,則雙隊列模型中服務(wù)商的總收益為V2≈79.53,雙隊列模型更優(yōu)。

3 結(jié) 論

本文分別研究了標(biāo)準(zhǔn)排隊系統(tǒng)下和梯形到達排隊系統(tǒng)下單隊列模型和雙隊列模型的對比,在標(biāo)準(zhǔn)排隊系統(tǒng)中,顧客到達時間間隔服從指數(shù)分布,顧客到達過程為泊松分布,系統(tǒng)中服務(wù)器的服務(wù)時間分布均為指數(shù)分布,以系統(tǒng)整體的單位時間成本和收益為目標(biāo)比較這2個系統(tǒng)的性能,即典型的M/M/2和2個M/M/1之間的比較;而在梯形到達排隊系統(tǒng)中,顧客的到達過程假設(shè)為先上升；上升至最高點后維持一段時間、然后下降的梯形,并考慮顧客是時間敏感的,系統(tǒng)中隊列長度超過最大容忍程度則會離開,通過比較單隊列雙服務(wù)器和雙隊列雙服務(wù)器2個系統(tǒng)，分析了服務(wù)商面對差異化顧客群體在不同的情形下應(yīng)該設(shè)置不同的服務(wù)率以獲取更高的收益。

從隨機服務(wù)系統(tǒng)角度出發(fā),系統(tǒng)各項性能指標(biāo)都是影響系統(tǒng)優(yōu)良的關(guān)鍵,本文在標(biāo)準(zhǔn)排隊模型中主要考慮了系統(tǒng)中的平均顧客數(shù),顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間、單位顧客在系統(tǒng)中的等待時間等都是未來可以研究的方向。此外,本文在梯形到達模型中考慮了不耐煩顧客、隊列長度和服務(wù)器的服務(wù)率對顧客都是可預(yù)見的,顧客根據(jù)預(yù)估的等待時間和服務(wù)率大小判斷是否繼續(xù)等待,從系統(tǒng)角度出發(fā)優(yōu)化服務(wù)提供商的收益大小。未來可以考慮系統(tǒng)中積累的最大隊長小于顧客所能容忍最大隊長的情況,也可以從顧客角度出發(fā),優(yōu)化顧客在系統(tǒng)中的等待時間,進一步提高顧客滿意度,增加社會效益。