基于有限公式法的永磁電機溫升仿真實驗教學平臺與應用

朱高嘉，李龍女

（天津工業大學 電工電能新技術天津市重點實驗室，天津 300387）

永磁電機具有效率與功率密度高、高效區大、動態響應好的特點[1]，在新能源交通、航空航天、智能制造等領域受到了廣泛關注[2-3]。為了保證電機在長期運行中不會因為過高的溫升而導致絕緣損壞[4]、軸承潤滑油過度揮發[5]、永磁體工作狀態下剩磁和矯頑力降低甚至不可逆退磁[1]，需要研究和掌握其溫升的準確分析方法。

采用數值計算可以得到電機溫升的精確分布狀態，是目前永磁電機發熱與散熱分析中最主要的手段。然而，基于有限差分法（finite difference method，FDM）、有限元法（finite element method，FEM）、有限體積法（finite volume method，FVM）等常規數值方法的離散過程需要進行復雜的數學變換[6]，工程專業的本科生和低年級研究生掌握其核心機理的難度較大，進而難以從原理和方法的層面加深對永磁電機溫度場數值計算的認識。有限公式法（cell method， CM）由意大利學者Tonti 于2001 年提出[7]，通過對偶復型單元上物理方程的變換，直接得到代數、離散型控制方程組，其數學模型的物理意義清晰明確[8]，便于學生通過實際工程案例的分析掌握其基本原理和分析方法。

本文從有限公式法的基本理論出發，探尋基于有限公式法的永磁電機溫度場數學模型，分析其物理意義。搭建基于有限公式法的永磁電機三維溫度場數值計算平臺，從而為永磁電機設計類課程中溫升分析與冷卻設計提供有效教學條件。

1 有限公式法基本理論

有限公式法是一種代數型數值計算方法，其基本思想來源于Tonti 在物理定律直接代數表達的前期研究。有限公式法通過復型單元的原空間節點、單元線、單元面、單元體與映射空間單元體、單元面、單元線、節點間的對偶關系[8]，可以將各類守恒方程的推導直接嵌套于單元剖分結構，實現代數、離散型控制方程的直接獲取。有限公式法復型單元結構如圖1 所示。

圖1 基于有限公式法的復型單元結構

基于有限公式法的單元變換可綜合為兩類運算：①同一類單元不同維度間變換可轉化為拓撲運算；②不同類型單元間對偶維度之間的變換可轉化為本構運算。

分布形式、向量化的物理量的原空間拓撲運算可由3 類拓撲矩陣的左乘實現：①G為原空間由點（原空間零維）-線（原空間一維）拓撲矩陣；②C為原空間由線（原空間一維）-面（原空間二維）拓撲矩陣；③D為原空間由面（原空間二維）-體（原空間三維）拓撲矩陣。相應地，映射空間拓撲矩陣為：①為映射空間由點（映射空間零維）-線（映射空間一維）拓撲矩陣；②為映射空間由線（映射空間一維）-面（映射空間二維）拓撲矩陣；③為映射空間由面（映射空間二維）-體（映射空間三維）拓撲矩陣。如圖1 所示，由原空間、映射空間單元間的對偶關系，有本構運算反映兩套對偶單元間的物理變換，可通過左乘本構運算矩陣M實現[10]。

根據有限公式法的基本理論，將物理問題的物理量定義在原空間/映射空間的某一維度（如節點零維、單元線一維、單元面二維、單元體三維）；通過左乘拓撲矩陣實現同一套空間內維度變換，得到定義在其他維度上的物理量；通過左乘本構矩陣，實現兩套空間之間的變換，得到定義在其他空間的物理量。由于原空間-映射空間之間存在對偶關系，當初始物理量維度和變換終止物理量維度相同時，可得到符合計算要求的有限公式控制方程組，實現物理問題的有效數學建模。

2 基于有限公式法的電機溫度場數學建模

由基于有限公式法的控制方程單元離散基本原理和傳熱學基本理論出發，可將電機溫度場問題的有限公式變換過程表述如下：

（1）將“溫升”定義在原空間單元節點（原空間0 維），通過拓撲矩陣G實現原空間節點（原空間零維）向單元線（原空間一維）的變換，得到原空間一維尺度單元線上的“溫升差”。

（2）如圖1 所示，映射空間單元面與原空間單元線對偶，通過本構矩陣M實現原空間單元線（原空間一維）向映射空間單元面（映射空間二維）的變換，得到映射空間二維尺度上的“熱通量”。

（3）通過拓撲矩陣~D實現映射空間單元面（映射空間二維）向單元體（映射空間三維）的變換，得到映射空間三維尺度單元體上的“熱功率散出”。

（4）通過前3 次變換，將原空間節點“溫升”與映射空間單元體上的“熱功率散出”相匹配，兩者在空間上同樣存在對偶關系，如圖1 所示。

基于有限公式法的電機溫度場變換過程可通過Tonti 圖表示，如圖2 所示。Tonti 圖作為有限公式法的核心組件，可清晰、明確地表述物理量的變換過程，目前已在基于其他數值分析方法的電工裝備多場耦合問題中得到應用和推廣[11]。將之用于教學可幫助學生加深對理論和變換關系的認識。

圖2 基于Tonti 圖的溫度場數學變換

教學過程中，可結合變換過程和Tonti 圖，講解基于有限公式法的溫度場數學模型：

式中：T為溫升向量，K；qV為映射空間單元內生熱，W。

3 永磁電機溫升計算平臺搭建

3.1 基本假設與邊界條件

由式（1）所示基于有限公式法的電機溫度場數學模型出發，強加邊界條件，形成其定解問題。在電機溫度場計算與分析中，為了在保證計算精度的同時降低總體求解計算量，一般需作出如下基本假設[12]：①根據電機的對稱性，取永磁電機的周向1/N模型進行計算，其中N為定子槽數和轉子極數、槽數（分析對象為異步啟動永磁同步電機時存在）的最大公約數；②忽略繞組趨膚效應和臨近效應的影響，認為電機繞組內不同位置的發熱情況一致；③繞組端部伸出部分用等長的直導體、絕緣等效；④常規永磁電機通過熱輻射散出的熱量極小，一般可忽略，計算時僅考慮固體部件的熱傳導和固體-流體交界面的對流傳熱。

根據基本假設，由于電機的對稱性，需在1/N模型周向斷面設置絕熱邊界；在機殼外邊面和腔內散熱面設置對流傳熱邊界。其中：絕熱邊界表示由該面散熱的熱功率為零，無須調整基于有限公式法的溫度場數學模型；對流傳熱邊界反映沿散熱面散出的熱功率與散熱面面積、散熱面溫度及周圍流體介質溫度的關系，可通過強加散熱項實現：

式中：MR為對流傳熱本構矩陣；Tfluid為冷卻介質溫升，K。

3.2 計算平臺搭建

在式（1）和（2）基于有限公式法的永磁電機溫度場數學模型中，拓撲矩陣G反映原空間單元的線（節點聯結）特征。為了實現全求解域的一致性，編程時在構建離散控制方程前設置單元線的正方向，如圖3所示。

圖3 單元正方向

由第2 節中的分析過程可知，研究對象為沿單元線傳遞的熱功率，故取射出節點對應單元線方向為正、射入節點對應單元線方向為負，得到圖3 對應單個單元的拓撲矩陣G為：

本構矩陣M為對角矩陣，其元素反映映射空間單元面面積、材料導熱系數、原空間單元線長度：

式中：λ為導熱系數，W/(m·K)；為映射空間單元面Ⅰ的面積，m2；lI為原空間單元線Ⅰ的長度，m。

對流傳熱本構矩陣MR亦為對角矩陣，其元素反映對流傳熱系數、映射空間單元面面積。當圖3 所示單元在對流傳熱邊界上時，有：

式中：α為對流傳熱系數，W/(m2·K)。

4 基于計算平臺的永磁電機溫度場仿真

應用基于有限公式法的永磁電機溫度場計算平臺，仿真分析一臺100 kW 機殼外自扇風冷永磁同步電機的溫度場分布。電機基本參數如表1 所示，冷卻結構如圖4 所示。

表1 100 kW 永磁同步電機基本參數

圖4 電機冷卻結構

計算得到電機整機溫升分布如圖5 所示。圖5 中電機最高溫升為70.4 K，位置出現在電機繞組端部。圖6 為繞組溫升分布。可以看出，由于冷卻風在機殼外沿軸向吹拂，電機非驅動端繞組溫升較低、驅動端繞組溫升較高。由于電機腔外冷卻風的吹拂冷卻作用，電機繞組溫升較低，根據F 級絕緣的溫升限制可知[13]，該冷卻結構滿足電機散熱需要。

圖5 電機整機溫升分布

圖6 繞組溫升分布

5 結語

溫升的準確分析和精確計算是永磁電機設計類課程中的重點環節之一，直接影響所設計永磁電機的運行可靠性和輸出轉矩能力。由于常規數值計算技術的離散過程數學變換復雜，學生難以清晰掌握其核心機理和關鍵方法。

（1）本文從物理意義清晰明確的有限公式法出發，通過基于有限公式法的復型單元物理量變換，推導其溫度場數學模型，從而提高學生對永磁電機溫度場數值計算方法的認識和理論分析能力。

（2）立足于永磁電機有限公式溫度場數學模型，分析溫度場中的基本假設和各類邊界條件，搭建基于有限公式法的永磁電機溫度場計算平臺，使學生掌握永磁電機發熱與散熱分析及其數值編程方法。

（3）針對一臺100 kW 永磁同步電機，計算其溫升分布狀態，驗證其冷卻結構的有效性，從而培養學生由基本理論和方法出發解決復雜工程案例的能力。