帶有佩亞諾余項的泰勒公式的推證方法

沙萍

【摘要】在帶有佩亞諾余項的泰勒公式教學中，提出與教材不同的探究問題：是否能拆分函數的一次近似公式對應的余項，分解出小的余項，得到函數精度高的近似公式？并以拆分余項作為“切入點”，采用探索式教學法，得出函數需要滿足的條件和函數帶有佩亞諾余項的二階泰勒公式.由此引導學生猜想并推證出函數帶有佩亞諾余項的三階泰勒公式.觀察函數滿足的條件與得到的帶有佩亞諾余項的二階、三階泰勒公式的形式之間的規律，利用數學歸納法，做出假設，再推證出函數帶有佩亞諾余項的n階泰勒公式.

【關鍵詞】佩亞諾余項;泰勒公式;探索式教學法;拆分余項

一、在泰勒公式推證中應用探索式教學法的意義

高等數學是我校在大學一年級開設的一門重要的公共基礎課，其核心是函數的微積分理論與應用，是學生學習后繼課、參加數學建模等課題研究活動及研究生升學考試所必備的數學基礎.但是高等數學是一門理論性很強的經典課程，對初學者來說不容易理解和掌握.泰勒公式又是經典中的經典，被稱為經典微分學的“皇冠”.如果按照教材的方法介紹帶有佩亞諾余項的n階泰勒公式，學生對函數滿足的條件及證明過程會感到費解.

為了解決上述問題，我在教學中采用探索式教學法，先引導學生回顧原有知識，從中提出需要探索的問題，培養學生的“問題意識”.再以問題為導向，尋找探索的“切入點”，啟發學生創新思維，引導學生從簡單到復雜、由特殊到一般進行探索.在探索實踐中發揮學生的主觀能動性，激發他們的學習興趣和探究問題的好奇心.學生經歷探究推證過程，能夠自然而然地得出結論，并對帶有佩亞諾余項的n階泰勒公式有了透徹理解.

二、帶有佩亞諾余項的泰勒公式的推證方法

1.知識回顧

這表明，將函數f（x）展成帶有佩亞諾余項Rn（x）=ο（（x-x0）n）的n次多項式，則展開式就是f（x）按（x-x0）的冪展開的帶有佩亞諾余項的n階泰勒公式.

這是利用間接法將函數展成帶有佩亞諾余項的n階泰勒公式的理論依據.

綜合上述推證，可得出教材上的泰勒中值定理1.

三、結 語

基于探索式教學法推證帶有佩亞諾余項的泰勒公式是一種比較好的教學形式.它能激發學生自身的潛能，使他們對所學內容“知其然，也知其所以然”.同時鍛煉他們應用數學思想和方法解決問題的能力，培養他們創新思維，提高他們的數學綜合素質.“授之以魚，不如授之以漁”.這是教師應該遵循的教學原則.

【參考文獻】

[1] 周民強.數學分析（第一冊）[M].北京：科技出版社，2014：223，225，228.

[2]同濟大學數學系.高等數學（第七版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2018：113，138-139.