化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)與應(yīng)用

丁蕓婷

【摘要】化歸思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)基本思想方法之一，在教學(xué)中滲透化歸思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性.本文首先總結(jié)概括了到目前為止數(shù)學(xué)家和學(xué)者對化歸思想的研究以及所做出的貢獻(xiàn)，明確自己的起點.其次，從蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)的教材入手，具體分析了化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn).然后通過對例題的分析得出在解題中應(yīng)用化歸思想的策略，以幫助小學(xué)生更好地解題.最后，結(jié)合小學(xué)生在解題中常見的錯誤，提出幾點需要特別注意的問題.

【關(guān)鍵詞】化歸思想;小學(xué)數(shù)學(xué);解題策略

一、化歸思想的理論概述

我國學(xué)術(shù)界關(guān)于數(shù)學(xué)化歸思想的研究成果屢見不鮮，大致可分為如下幾個方面：

（1）化歸思想的基本含義.我國許多學(xué)者通過研究對化歸思想給出了共同的定義，所謂化歸，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸類，就是指經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化過程，把眼前尚未得到解決的問題歸結(jié)到一類比較規(guī)范的或者以前解決過的問題中，以求得解決.我國徐利治提出的RMI原理，全稱為“關(guān)系映射反演”方法，也從一定程度上體現(xiàn)了化歸思想的本質(zhì).[1]

（2）化歸思想在解題中的應(yīng)用.仲東海于2013年在《化歸和轉(zhuǎn)化思想給我們教學(xué)和學(xué)習(xí)中的啟示》中提供了應(yīng)用化歸思想解題的相關(guān)策略：正面轉(zhuǎn)化為反面、問題已知和未知的轉(zhuǎn)化、一般和特殊的轉(zhuǎn)化、代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化以及復(fù)雜與簡單問題的轉(zhuǎn)化等.除此之外，他還就實數(shù)的運算、解方程與方程組、求多邊形的內(nèi)角和等方面的內(nèi)容，舉例說明了初中數(shù)學(xué)教材中滲透的化歸思想.[3]

（3）化歸思想的應(yīng)用原則、模式及主要方法.吳維峰、陳益民、張耀明等人主要探討了化歸的方法及其思維模式，指出化歸對象、化歸目標(biāo)和化歸途徑是化歸思想方法所包含的三個要素.結(jié)合不同的題型分析得出三種具體方法：特殊化法、分離基本圖形法、變換法等，明確了化歸時應(yīng)遵循的基本原則及一般的思考方式.

二、小學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想在解題中的應(yīng)用意義

（一）在解題中應(yīng)用化歸的目標(biāo)

1.在解題中應(yīng)用化歸的目標(biāo)是去情境

“問題和與之相對應(yīng)的解才是數(shù)學(xué)最重要的組成部分.”美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯是這樣認(rèn)為的.[7]讓小學(xué)生最頭疼的便是具有迷惑性情境的各種類型的應(yīng)用題了，題目的本質(zhì)通常都會被我們熟悉的實際生活場景所包圍，使小學(xué)生在解應(yīng)用題時很難抓住解題的關(guān)鍵，因此，才要應(yīng)用化歸思想，將那些外在的糖衣炮彈去掉，使其露出內(nèi)在的真實面貌，再將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的數(shù)學(xué)問題.

2.在解題中應(yīng)用化歸的目標(biāo)是符號化

“符號意識”是2011年版《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)的十大核心概念之一.在小學(xué)數(shù)學(xué)的解題過程中，學(xué)生應(yīng)用化歸思想通常是為了將題目中一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單的符號表達(dá)式，例如，在列方程解應(yīng)用題的時候，首先，最關(guān)鍵的就是將題目中的未知量看作已知量，其次，要找出它們之間的等量關(guān)系，最后，列出方程并解方程，求出未知數(shù).

3.在解題中應(yīng)用化歸的目標(biāo)是結(jié)構(gòu)性

美國心理學(xué)家布魯納指出：了解學(xué)科內(nèi)部的基本結(jié)構(gòu)可以使學(xué)生更容易接受和理解學(xué)科知識，從中獲得的基本概念、原理也會促使學(xué)生在以后遇到類似情境時能夠靈活地遷移應(yīng)用.[5]現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅考查學(xué)生的計算能力，還要求學(xué)生做到融會貫通，把握各個知識點之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，逐漸將自己頭腦中的小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系補充完整.

（二）在解題中應(yīng)用化歸的意義

1.有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

大量的練習(xí)會使學(xué)生失去對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱情，同樣也易使學(xué)生機械地形成思維定式，不懂得隨機應(yīng)變.相反地，在學(xué)生學(xué)會在解題中應(yīng)用化歸思想后，就能夠?qū)⑸婕巴粋€知識點的題目都轉(zhuǎn)化為同一類別的題型，達(dá)到“做一道題目，會一類題目”的效果，這樣一來可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，真正做到“會學(xué)，樂學(xué)”.

2.有利于鍛煉學(xué)生的思維能力

數(shù)學(xué)思想和方法是發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行更深層次的歸納和提煉所得到的精華所在.[6]有的小學(xué)生沒有掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，單純地依靠死記硬背，考試時遇到基礎(chǔ)題還能勉強應(yīng)付，但遇到能力題和拓展題時就一籌莫展了.如果學(xué)生掌握了化歸思想的實質(zhì)，具備了獨立思考問題的能力，那么在遇到難題時他們會嘗試將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)問題，最終問題就會迎刃而解了.

3.有利于加強新舊知識間的聯(lián)系

學(xué)習(xí)遷移是指以前學(xué)習(xí)過的舊知識對新知識的學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的影響，同時包括之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容對先前的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響.[2]數(shù)學(xué)化歸思想的核心之一是“轉(zhuǎn)化”，在未知和已知之間轉(zhuǎn)化，在新知識和舊知識之間轉(zhuǎn)化.這樣熟練轉(zhuǎn)化的前提是學(xué)生必須牢牢把握舊知識的本質(zhì)特征，在新舊知識之間架起一座數(shù)學(xué)的橋梁，從而很好地應(yīng)用數(shù)學(xué)化歸思想.

三、小學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想在解題中的應(yīng)用策略

在解題中應(yīng)用化歸思想的策略通常來講有許多種類，例如，抽象轉(zhuǎn)化為具體、新知轉(zhuǎn)化為舊知、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單等，下面我就這幾種策略，結(jié)合相關(guān)例題進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

1.抽象轉(zhuǎn)化為具體

小學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系時，往往會分不清兩者之間的相互關(guān)系，變得束手無策.此時，如果能將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的線段圖或者示意圖，就可以幫助學(xué)生很快地厘清題目中所給的條件，使其一目了然.

例題：小花的老師比她大18歲，3年后，老師的年齡是小花年齡的3倍，那么3年后小花是幾歲？老師又是幾歲呢？

解析：根據(jù)題目中“老師的年齡是小花年齡的3倍”這一已知條件，學(xué)生可以嘗試畫出線段圖.

學(xué)生憑借自己的生活經(jīng)驗，能夠理解不論老師和小花的年齡如何變化，他們的年齡差始終是不變的，也就是說，3年后老師仍然比小花大18歲.觀察畫出的線段圖，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，18歲對應(yīng)的是小花年齡的兩倍，從而分別求出小花和老師的年齡.

2.新知轉(zhuǎn)化為舊知

小學(xué)生在解題過程中可能會遇到還未學(xué)過的知識，在這種情況下應(yīng)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識，不僅可以建立新舊知之間的聯(lián)系，形成完整的數(shù)學(xué)知識體系，還能夠達(dá)到“把書越學(xué)越薄”的最佳效果.

3.復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單

當(dāng)面對比較復(fù)雜的問題時，學(xué)生往往會產(chǎn)生“畏難”心理，這非常不利于學(xué)生解題，學(xué)生應(yīng)學(xué)會運用化歸思想，先將問題轉(zhuǎn)化成幾個較為簡單、自己力所能及的小問題，再逐個擊破，最終攻克難題.

例題：甲、乙、丙是班上公認(rèn)的“數(shù)學(xué)解題小能手”，現(xiàn)在只能推選一名同學(xué)代表他們班去參加數(shù)學(xué)競賽，下面的表格是他們?nèi)瑢W(xué)本學(xué)期五次正規(guī)考試的成績：

甲、乙、丙三人都認(rèn)為自己的成績比其他兩人優(yōu)異.如果讓你來做決定，你會選擇他們中的哪一位？并說出你的理由.

解析：分別計算出他們?nèi)顺煽兊钠骄鶖?shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，比較得出.

甲的平均分是89.4分（最高），乙的中位數(shù)是98分（最高），丙的眾數(shù)是99分（最高）.說明：甲和丙的成績在不斷進(jìn)步，而乙的成績有比較大的波動.

這道題學(xué)生可以應(yīng)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計問題，并能夠利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三種統(tǒng)計概念來進(jìn)行比較，判斷出每名學(xué)生成績的變化趨勢，以此確定最終人選，這樣才能真正做到有理有據(jù).原本復(fù)雜、煩瑣的數(shù)據(jù)分析工作，如果能夠根據(jù)它們所代表的統(tǒng)計意義來進(jìn)行比較，那么就變得簡單了.

四、應(yīng)用化歸思想需要注意的問題

（一）注意明確化歸對象

應(yīng)用化歸思想的第一步就是明確化歸對象，人們常說“良好的開端是成功的一半”，只有找準(zhǔn)了化歸對象，才能正確地運用化歸思想這把“利劍”，為自己的解題服務(wù).

例題：小紅她們班的18名同學(xué)相約一起去游樂園玩，最后臨走時要拍照留念.小芳和小紅是一對孿生姐妹，她們倆要站在一起，并且小芳站在小英的右邊.那么這18名學(xué)生站成一排有多少種不同的站法呢？

解：18-2+1=17（種）

應(yīng)用化歸思想解決該問題，首先應(yīng)明確題目中要求的是“這18名學(xué)生在同一排有多少種不同的站法”，這就是化歸的對象，聯(lián)系我們已經(jīng)學(xué)過的“找規(guī)律”中相關(guān)的知識，將同一排不同的站法轉(zhuǎn)化為不同和的個數(shù)，總結(jié)歸納得出：不同和的個數(shù)=總個數(shù)-每次框出的個數(shù)+1.

（二）注意探索正確的化歸途徑

小學(xué)生在應(yīng)用化歸思想的過程中，需要尋找正確的化歸途徑，并不是單純地“依葫蘆畫瓢”，必須把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，切記不能被表面的形式所迷惑，注意化歸的等價性.

例題：計算 1.26+4.3=

錯誤解法： 正確解法：

小學(xué)生根據(jù)之前學(xué)習(xí)過的整數(shù)加減法進(jìn)行小數(shù)的加減法時，理所當(dāng)然地把小數(shù)的最末位對齊，進(jìn)行計算.這種錯誤的出現(xiàn)正是因為小學(xué)生沒有找到正確的化歸途徑，究其根本，在于沒有明晰整數(shù)加減法的算理：將相同數(shù)位上的數(shù)字對齊，對應(yīng)到小數(shù)加減法中，列豎式時應(yīng)該把小數(shù)點對齊.

（三）注意化歸的多樣性

小學(xué)生在應(yīng)用化歸思想時，由于出發(fā)點不同，可能會產(chǎn)生多種化歸方法，這與現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所提倡的“一題多解”不謀而合，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

應(yīng)用化歸思想解決問題，以上幾種轉(zhuǎn)化方法各有優(yōu)劣，學(xué)生可以衡量之后選擇最佳的方法，有利于更快速、更準(zhǔn)確地解題.

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