Julia集“爆炸”的一族二次有理函數的參數空間

孫 霞

(云南開放大學 公共教學部，云南 昆明 650500)

早在1918年，Lattès就找到了一個Julia集為整個Riemann球面的有理函數，即

利用Weierstrass橢圓函數的性質對此進行了證明，但deg(P)=4.在本文中，筆者找到了一族度為2的有理函數，其Julia集也是整個Riemann球面，由于該函數族中的函數與Lattès發現的函數不共軛，所以它們是新的Julia集為整個Riemann球面的有理函數，此外，熟知的有理函數

的Julia集也是整個Riemann球面，但它和我們函數族中的一個函數是共軛的，所以在函數族中.

若2個有理函數是共形共軛的，則它們就具有相同的動力學性質，從而在二次多項式的研究中，只需要研究如下的多項式即可：

Pc(z)=z2+c.

上述含有單參數的多項式族是一個動力學性質比較豐富的函數族，但由于∞是其超吸性不動點，所以它的Fatou集不會是空集，即Julia集不會是整個Riemann球面，也即不會出現Julia集“爆炸”的情況.而對同樣的含有單參數的二次有理函數族

找到了使得其Julia集“爆炸”的具體參數值，并發現這些參數值構成的集合是一個無窮集，結論如下：

1 預備知識和引理

1.1 不動點及其分類

1)稱z為R的超吸引不動點，如果λ=0；

2)稱z為R的吸引不動點，如果|λ|<1；

3)稱z為R的排斥不動點，如果|λ|>1；

4)稱z為R的中性不動點，如果|λ|=1，進一步，若λ=e2πiθ且θ為有理數，則稱z為有理中性不動點；若θ為無理數，則稱z為無理中性不動點.無理中性不動點可以在Fatou集F(R)中，也可以在Julia集J(R)中.若無理中性不動點z∈F(R)，則稱z為Siegel點；若z∈J(R)，則稱z為Cremer點.

引理2[8-10]有理函數R的吸引和超吸引周期點屬于F(R)，排斥周期點屬于J(R).

1.2臨界點

1.3 Sullivan定理

在介紹Sullivan定理之前，先介紹如下定義：

設R為次數不小于2的有理函數，D是Fatou集F(R)的一個分支，則稱D是

1)周期的，如果存在某個正整數n，使得Rn(D)=D；

2)預周期的，如果存在某個正整數m，使得Rm(D)是周期的；

3)游蕩的，如果集合{Rn(D),n≥0}是兩兩互不相交的.

早在上個世紀初，Fatou就猜想，對有理函數來說，不存在游蕩的Fatou分支，這個猜想直到Sullivan引進了有理函數的擬共形形變才獲得證明，結論如下：

引理4[8-10](Sullivan定理) Fatou集的每一個分支都是預周期的.

1.4 Sullivan分類定理

引理5[8-10]設R是有理函數，deg(R)≥2，如果D是R的不變Fatou分支(即R(D)=D)，那么，D為下列5種情形之一.

1)吸引的:存在R的吸引不動點z0∈D，其乘子λ滿足0<|λ|<1，Rn在D內局部一致收斂于z0;

2)拋物的:存在R的有理中性不動點z0∈?D，乘子λ=e2πiθ且θ為有理數，Rn在D內局部一致收斂于z0;

3)超吸引的:存在R的超吸引不動點z0∈D，乘子λ=0，Rn在D內局部一致收斂于z0;

4)Siegel盤:D共形等價于單位圓盤Δ，而R共形共軛于Δ上的無理旋轉z|→e2πiθ，z∈Δ，θ為無理數;

5)Hermann環:D共形等價于環域A(r,1)={z|0

1.5 穩定域與臨界點之間的關系

引理6[8-10]設R為度deg(R)≥2的有理函數，則R的每個吸引(超吸引)循環的直接吸性域中至少含有R的一個臨界點.

引理7[8-10]設R為deg(R)≥2的有理函數，則R的每個拋物循環的直接吸性域中至少含有R的一個臨界點.

1.6 Julia集為整個Riemann球面的充分條件

1.7 代數學基本定理

2 定理的證明

……

λ+4=0.

(1)

4λ2+(λ+4)2=0.

(2)

4λ3(λ+4)2+((λ+4)2+4λ2)2=0.

(3)

從上述證明中不難發現，Α?{λ||λ|≥1}.因為0為Rλ的其中一個不動點，若0<|λ|<1，則0是Rλ的吸引不動點，由Sullivan分類定理，存在包含原點的Fatou分支D，此時Julia集不會是整個Riemann球面；若|λ|=1且λ為有理數，則0為有理中性不動點，此時也存在Fatou分支D，使得0∈?D，Julia集也不會是整個Riemann球面；若|λ|=1且λ為無理數，則0可以是Siegel點也可以是Cremer點，此時只有0是Cremer點時Julia集才會是整個Riemann球面.但對集合A的具體狀況不得而知，猜測A可能有內點或者有有限的聚點.