基于猶豫模糊語言下考慮后悔行為的雙邊匹配方法

彭歡歡，李 鵬*，陳勝男

(1.江蘇科技大學 經濟管理學院, 鎮江212100) (2.黃河交通學院 經濟管理學院, 焦作 454002)

雙邊匹配問題廣泛地存在社會經濟活動中，例如現實中最為熟知的婚姻匹配問題[1]、高校招生中學校與學生入學問題[2]、企業中員工與崗位的匹配問題[3-4]、買方與賣方達成匹配問題[5]、在雙邊交易市場中的供應商與顧客的匹配問題[6]、金融市場中風險投資商與企業的匹配問題[7-8]等.文獻[9]將雙邊匹配方法應用到產業技術創新聯盟合作對象的選擇上；文獻[10]通過建立雙邊主體的匹配度矩陣，構建優化模型來選擇產學研合作伙伴.由此可見，雙邊匹配問題的研究具有廣泛的實際應用價值和現實意義.

雙邊匹配研究兩個互不相交集合中的不可分對象進行相互匹配的問題，最早用于學生入學和男女婚姻匹配的研究[1,11].傳統的雙邊匹配方法以實數作為偏好信息，隨后相繼提出了關于語言數[12-13]、模糊數[14-15]、區間數[16]的模型.目前以猶豫模糊語言作為決策者偏好信息的雙邊匹配模型的研究較少，文獻[17]提出猶豫模糊語言集，有效地刻畫出人們在決策時猶豫不決的情形.近年來，有關猶豫模糊語言決策方法取得了大量的研究成果，文獻[18]定義了決策矩陣間的共識性水平，建立猶豫模糊語言共識性調整模型；文獻[19]對猶豫模糊語言的相關概念和特點進行分類；文獻[20]提出一種更為合理的猶豫模糊語言的得分函數，并將其擴展到不平衡的猶豫模糊語言環境中；文獻[21]構建基于猶豫模糊語言的一種優序關系模型；文獻[22]定義猶豫模糊語言的集結算子, 并通過構建可能度公式比較其大小；文獻[23]將灰集與猶豫模糊集相結合，構建一種新的灰色猶豫模糊集合.

在實際的決策過程中，雙邊匹配主體通常都是有限理性的.文獻[24]將前景理論應用到雙邊匹配問題的研究中，考慮了雙邊主體的前景值，提出一種基于累積前景理論的雙邊匹配方法；文獻[25]研究不確定偏好序信息下基于失望理論的雙邊匹配決策方法；文獻[26]基于匹配主體的心理期望與感知，提出一種多屬性雙邊匹配決策方法；文獻[27]研究基于失望理論的雙邊主體心理的穩定雙邊匹配問題.

在已有的研究中，很少將后悔理論運用到雙邊匹配方法中.后悔理論的基本思想為：決策者在決策過程中，將當前所選擇的方案與選擇其他方案進行比較，如果當前選擇的方案結果優于選擇其他方案，則決策者內心感到欣喜，反之，則為后悔；在現實決策背景下，決策者總是選擇后悔規避文獻[28-29].該理論充分考慮雙邊匹配主體在決策過程中產生的后悔規避心理，使得決策過程更加合理科學.文獻[30]將后悔理論與VIKOR方法相結合用于解決不確定多屬性決策問題；文獻[31]基于決策者有限理性的特點，將后悔理論運用到風險投資問題；文獻[32]將后悔理論與區間灰數相結合并應用到突發事件應急決策問題.

文中構建一種基于猶豫模糊語言偏好信息的雙邊匹配模型，同時考慮到決策者的有限理性，將后悔理論運用到雙邊匹配問題的研究中，進而提出一種基于猶豫模糊語言下考慮決策者后悔行為的雙邊匹配方法.

1 預備知識

1.1 猶豫模糊語言術語

定義1[33]設τ為一正實數，則語言術語集可表示為S={si|i=0,1,…,2τ}，且滿足以下條件：

(1) 若α<β，則sα

(2) 若nge(sα)=sβ，則α+β=2τ；

(3) 若min(sα,sβ)=sα，則max(sα,sβ)=sα；

(4) 若sα≤sβ，則min(sα,sβ)=sα.

(1)sα?sβ=sβ?sα；

(2) (sβ)λ=sβλ；

(3) (sα?sβ)λ=(sα)λ?(sβ)λ；

(4) (λ1+λ2)sα=λ1sα⊕λ2sα.

定義2[35]設S={si|i=0,1,…,2τ}為語言術語集，則稱S中的有序連續語言術語組成的集合HS為S上的猶豫模糊語言術語集(HFLTS).

hs(xi)={sφl(xi)|sφl(xi)∈S,l=1,2,…,L}，其中，hs(xi)為S中元素構成的集合，稱為猶豫模糊語言元素(HFLE)，L為hs(xi)中元素的個數.

(1)

(2)

1.2 后悔理論

后悔理論考慮了決策者的后悔和欣喜兩種心理狀態，決策者選擇方案的感知效用由兩部分組成：效用函數v(x)和后悔-欣喜函數R(Δv)，其中Δv是決策者選擇該方案與最佳方案相比較帶來的效用值之差.R(Δv)>0時，表示該方案決策者是欣喜的；R(Δv)<0時，表示該方案讓決策者感到后悔.設決策者有A和B兩個備選方案，x和y分別是對應的決策信息，則方案A的感知效用可以表達為：

u(x)=v(x)+R[v(x)-v(y)]

(3)

1.2.1 效用函數

在猶豫模糊語言信息背景下的決策問題，考慮到決策者后悔規避的心理，針對屬性為效率型，效用函數計算公式為：

(4)

效用函數v(x)是單調遞增的凹函數[25]，其中v(x)′>0,v(x)″<0；α是決策者的風險規避系數，且α的大小與決策者風險規避程度呈正相關關系.

對于成本型屬性，v(x)是單調遞減的凹函數，滿足v(x)′<0,v(x)″<0.故效用函數計算公式為：

v(x)=1-exp(βx)

(5)

式中：β為決策者的風險規避系數，β∈(0,1)，且β取值越大表示決策者風險規避的程度越大.

1.2.2 后悔-欣喜函數

通常情況下，決策者在面對雙邊匹配問題時，總是存在尋求后悔規避的心理行為，因此后悔-欣喜函數R(Δv)是單調遞增的凹函數[28,38].計算公式為：

R(Δv)=1-exp(-γΔv)

(6)

式中：Δv是兩個方案的效用差的變量，若R(Δv)<0表示后悔值；反之則為欣喜值.

1.3 雙邊匹配基本理論

對于雙邊匹配問題，設甲方主體集合為A={A1,A2,…,Am},其中Ai為甲方中第i個主體，i=1,2,…,m,m≥2；乙方主體集合為B={B1，B2，…，Bn}，其中Bj為乙方中第j個主體，j=1,2，…，n,n≥2；不妨假設m≤n，M={1,2,…,m},N={1,2,…,n}.

定義5[39]設μ:A∪B→A∪B為一一映射關系，對于任意的Ai∈A,任意的Bj∈B，并且滿足：

(1)μ(Ai)∈B

(2)μ(Bj)∈A∩{Bj}

(3)μ(Ai)=Bj，當且僅當μ(Bj)=Ai

則稱μ是雙邊匹配.μ(Ai)=Bj代表Ai與Bj在μ實現匹配，此時Ai和Bj都被稱為匹配主體，若不符合上述條件，則表示匹配失敗.

2 基于后悔理論的猶豫模糊語言雙邊匹配決策方法

考慮解決的問題是雙邊主體一方集合A中主體和另一方集合B中主體分別依據相對應的指標，通過猶豫模糊語言來表征雙邊主體的不確定性偏好信息.同時考慮雙邊主體在決策過程中的有限理性，將后悔理論納入決策過程中，通過建立雙邊匹配的優化模型，實現雙邊主體一方集合A中的主體與另一方集合B中的主體形成一一匹配.

2.1 基于猶豫模糊語言的離差最大化定權方法

在雙邊匹配的決策問題中，設甲方主體集合為A={A1,A2,…,Am}，其中Ai為甲方中第i個主體，i=1,2,…,m,m≥2；乙方主體集合為B={B1,B2,…,Bn}，其中Bj為乙方中第j個主體，j=1,2,…，n,n≥2.甲方主體A集合針對屬性cj，用Dij(w)表示方案Pi與其他方案的離差，則可以定義為:

構造拉格朗日輔助函數可得:

(7)

對wj,λ進行求偏導，同時令

進一步求解該模型，并進行歸一化處理得到屬性權重的計算公式為：

(8)

同理乙方主體B集合針對屬性c′j，用Dij(w)′表示方案P′i與其他方案的離差，則可以定義為

則Dj(w)′表示對于屬性cj來說，所有方案與其他方案的離差總和，基于離差最大化的思想得：

進一步求解該模型，并進行歸一化處理得到屬性權重的計算公式為：

(9)

2.2 雙邊匹配決策模型的構建

(10)

(11)

(12)

(13)

根據式(8)可以計算出甲方主體A集合對于每個方案的綜合感知效用為:

(14)

(15)

設xij為0-1變量，其中xij=1表示雙邊主體甲方Ai和乙方Bj匹配成功；xij=0則表示匹配主體Ai與另一方匹配主體Bj未達成匹配.以雙方主體的感知效用最大化為決策目標，建立雙邊主體的多目標優化模型為：

(16)

(17)

(18)

(19)

xij∈{0,1},i∈M,j∈N

(20)

式(16)為主體甲方對乙方最大化的感知效用，式(17)為主體乙方對甲方最大化的感知效用；式(18)為甲方Ai中最多只能與乙方Bj中的一個主體相匹配或者不匹配；式(19)為乙方Bj中至多與甲方Ai中的一個主體相匹配或者不匹配；式(20)為xij只能取1或者0.

2.3 雙邊匹配決策模型的求解

在式(16～20)中，由于匹配雙方目標函數的量綱量級是相同的，故通過采用線性加權的方法，將多目標函數轉化為單目標函數進行最終的求解.其中wA和wB分別為雙邊主體A和B的權重，且wA+wB=1，權匹配主體的重要程度是通過權重的大小來反映的，匹配主體一方占據主導地位則相應的權重就高一些.案例中的高校和企業兩個主體占據同等地位，取wA=wB=0.5.

(21)

(22)

(23)

xij∈{0,1},i∈M,j∈N

(24)

2.4 雙邊匹配決策方法的步驟

綜上所述，基于猶豫模糊語言背景下考慮后悔行為的雙邊匹配方法計算步驟如下：

Step1 依據式(1)將雙邊主體給出的猶豫模糊語言偏好信息通過得分函數轉化為得分矩陣；

Step2 依據匹配雙方的得分矩陣，根據式(4)計算雙邊主體在不同屬性狀態下的效用值，得到雙邊主體的效用函數值；

Step3 依據式(10～11)分別計算雙邊主體的后悔矩陣，再依據式(12～13)得到雙邊主體的感知效用矩陣；

Step4 依據式(2，8，9)運用離差最大化分別計算雙邊主體在各指標下的權重，根據式(8，9)進行集結得到雙邊主體的綜合感知效用矩陣；

Step5 構建雙邊匹配模型(16～20)，利用線性加權的方法構建單目標規劃模型(21～24)；

Step6 通過利用LINGO11.0求解模型(21～24)，得到雙邊匹配方案.

3 算例分析

智能制造裝備聯盟內有16家會員單位，依據校企合作需求，經過篩選得到5所高校分別是清華大學A1，北京航空航天大學A2、華中科技大學A3、西安交通大學A4和同濟大學A5；6家企業分別是上海克來機電自動化工程股份有限公司B1、安徽合力股份有限公司B2、大連智云自動化裝備股份有限責任公B3、南京埃斯頓自動化股份有限公司B4、華中數控股份有限公司B5和浙江田中精機股份有限公司B6進入了最終的項目分工合作對接.由此組成高校主體集合A={A1，A2，A3，A4，A5}；企業主體B={B1，B2，B3，B4，B5，B6}，其中Ai表示第i個高校，i∈{1,2,3,4,5},Bj表示第j個企業，j∈{1,2,3,4,5,6}；語言術語集表示為S={S0=極差，S1=很差，S2=差，S3=一般，S4=好，S5=很好，S6=極好}.

高校專家選取了4項指標(企業的科研人才水平D1、企業的數字化技術水平D2、相關科技產品收入D3(單位：萬元)、機床制造技術水平D4)作為企業的評價標準.各高校通過猶豫模糊語言的形式給出對于各企業的偏好信息(表1).同時，企業根據專家建議采取科研人才隊伍素質水平C1、飛行器設計與控制技術領先水平C2、科研產出水平C3、相關發明專利數C4(單位：個)4項指標作為高校的評價標準，各企業對高校給出了相應的偏好信息(表2).

表2 企業對于高校的偏好信息Table 2 Preference information of enterprises for universities

表1 高校對企業的偏好信息Table 1 Preference information of universities for enterprises

進而可以獲得雙邊主體在不同屬性狀態下的感知效用(表3，4)，其中選取參數α=β=0.88[38]，γ=0.72.

表3 高校對企業的感知效用Table 3 Perceived utility of universities to enterprises

依據高校對企業給出的偏好信息，利用式(2，8)計算得到高校主體在不同屬性狀態下的權重分別為：

w1=(0.199，0.186，0.373，0.242),

w2=(0.185, 0.225, 0.325,0.265),

w3= (0.224,0.259, 0.263,0.254),

w4=(0.276,0.132,0.287,0.305),

w5=(0.278, 0.196,0.263,0.263).

同理根據企業對高校給出的偏好信息，根據式(2,9)計算出企業主體在不同屬性狀態下的權重分別為：

w′1=(0.122, 0.225,0.429,0.224)，

w′2=(0.295, 0.246, 0.246,0.213)，

w′3=(0.327, 0.091,0.291,0.291)，

w′4=(0.274, 0.239,0.258,0.229)，

w′5=(0.254,0.322,0.288, 0.136)，

w′6=(0.304,0.145,0.304, 0.247).

表4 企業對高校的感知效用Table 4 Perceived utility of enterprises to universities

利用公式(8,9)分別集結求得高校對企業的綜合感知效用矩陣及企業對高校的綜合感知效用矩陣，分別為：

建立雙邊匹配模型，利用線性加權的方法將多目標模型轉化為單目標模型，使用LINGO11.0軟件進行求解，得到最終結果:

x12=x25=x36=x41=x54=1,其余的xij=0.

得到最終的雙邊匹配方案：高校A1和企業B2相匹配，高校A2和企業B5相匹配，高校A3和企業B6相匹配，高校A4和企業B1相匹配，高校A5和企業B4相匹配，企業B1沒有和任何高校達成匹配.

4 結論

針對以猶豫模糊語言刻畫決策偏好信息的雙邊匹配問題，文中提出了一種基于后悔理論的雙邊匹配方法.猶豫模糊語言在表征決策信息的過程中，更能體現雙邊匹配主體在決策過程中的猶豫性和不確定性，更加貼合現實決策過程中人們的思維；同時考慮決策過程的非理性，將后悔理論引入雙邊匹配問題中，彌補了雙邊匹配忽略決策者有限理性的不足，使得決策更加符合實際.利用后悔理論構造雙邊匹配主體的感知效用，以雙邊主體感知效用最大化作為目標，建立雙邊匹配優化模型，利用線性加權的方法求解模型.文中構建的雙邊匹配模型與基于前景理論的雙邊匹配方法相比，涉及參數較少，計算過程不繁瑣，因而具有很強的操作性，將其應用到產學研合作的案例中，為解決產學研合作過程中遇到的雙邊匹配問題提供了一種新的思路和途徑.

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