基于有限元法的隨機振動與噪聲復合響應數值模擬分析

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

再入飛行器在貯存、運輸、機動及飛行全任務剖面中，將遭受各種環境因素的影響，其中，再入環境的影響尤為突出。再入飛行時，外表面的高速繞流流場將誘導復雜的振動、噪聲等環境，結構振動引起氣體介質振動，從而產生聲波，聲波產生壓力又反作用到結構上，有可能產生復雜的環境效應（如結構破壞、可靠性和安全性問題），而且外表面的高速繞流流場產生脈動壓力頻段較高。因此，需要開展寬頻域隨機振動、噪聲的復合響應分析方法研究。

由于隨機激勵時間較長，工程上通常將時域隨機載荷轉換為頻域功率譜進行加載。對于聲振耦合分析，在中低頻段且僅包含內聲場時，可采用模態疊加法進行求解。但在結構包含外聲場時，為避免邊界能量反射，需將聲場邊界描述為可吸收能量的無限遠邊界條件。這時邊界處將產生能量損耗，模態求解得到的為復特征值，而現有商業軟件中沒有利用復特征值進行模態疊加開展隨機振動分析的方法[1-5]。在高頻段，結構模態密集度非常高，有限元模態求解誤差較大，采用模態疊加法進行寬頻域隨機振動分析在工程應用中也比較困難。統計能量法是解決高頻振動問題的有效方法，它關心空間上的統計平均值，是一種從全局出發的模塊化方法，得到結構或子結構的響應均值，無法得到具體位置的響應，并且統計能量法也不適合中低頻段結構振動響應分析[6-9]。

流固耦合分析方法大致可分為直接耦合方法和間接耦合分析方法，直接耦合方法計算時包含所有必要量的單元矩陣或單元載荷矢量，通過對包含所有自由度的耦合單元直接進行求解，實現流體和結構的耦合；間接耦合是流體計算和結構計算交替進行，在一種場里計算后，導出耦合界面的結果，在另一種場里導入，成為耦合界面的載荷，進行耦合計算[10-13]。

為避開模態疊加法和統計能量法的求解局限，文中擬采用直接耦合方法建立聲場-結構直接耦合的動力學有限元模型，以直接法諧響應分析為基礎，結合理論分析實現寬頻域隨機振動和噪聲復合響應分析。

1 基于聲學流體的流固耦合動力學有限元理論

在進行基于聲學流體的流固耦合分析時，需要把流體斯托克斯方程與結構的動力方程綜合考慮，這時可得到完整的基于聲學流體的流固耦合問題的有限單元法動力學離散方程：

式中：{P}為節點聲壓向量；{U}為節點位移向量；{F}為節點載荷向量；[M]為結構質量矩陣；[K]為結構剛度矩陣；[C]為結構阻尼矩陣；[MP]為聲場流體質量矩陣；[KP]為聲場流體剛度矩陣；[CP]為聲場流體阻尼矩陣；[Mfs]為流固耦合界面的質量矩陣；[Kfs]為流固耦合界面的剛度矩陣。

與不考慮聲場時的結構振動離散方程相比，式（1）中由于考慮了流固耦合效應，質量矩陣和剛度矩陣都是非對稱性的，給基于對稱矩陣的特征值求解方法帶來了一定的困難，因此需要采用基于非對稱矩陣的特征值求解方法進行模態分析。

由振動理論[14]可知：當激勵f(t) 為各態歷經穩態隨機過程時，結構上某點位移響應的功率譜為：

加速度響應的功率譜為：

式中：Sff(ω)為激勵f(t)的功率譜；H(jω)為頻響函數矩陣。

因此，可首先采用直接法進行諧響應分析，獲得結構的頻響函數，再根據式（2）和（3）獲得已知隨機激勵下結構的位移和加速度響應功率譜曲線，同樣也可獲得結構上某位置的應力、應變等響應功率譜曲線。

2 實例分析

2.1 聲振耦合動力學有限元模型

建立如圖1 所示的結構與內聲場耦合模型（為降低計算規模，未考慮外聲場），結構參數：彈性模量為70 GPa，密度為2000 kg/m3，泊松比為0.3。空氣的密度為1.29 kg/m3，空氣中的聲速為343 m/s。

圖1 結構與聲場耦合模型Fig.1 Structural-acoustic finite model:a) geometric model;b)finite element model(half model)

2.2 模態分析結果

在進行流固耦合模態分析時，邊界條件采用自由狀態，排除掉自由模態，對考慮流固耦合的模態與僅結構的模態固有頻率結果進行對比，頻率見表1，振型如圖2 所示。

圖2 模態振型Fig.2 Mode shape:a) first order;b) second order;c) third order;d) fourth order

表1 流固耦合模態與僅結構模態固有頻率結果比較Tab.1 Comparison of natural frequency results between fluidstructure interaction mode and structure-only mode Hz

2.3 隨機振動分析結果

在圖1b 中激勵位置所在的框施加加速度功率譜密度為0.01g2/Hz，頻段為10～5000 Hz 的基礎激勵，采用直接法獲得關注點的頻響函數。然后根據式（2）和式（3）獲得關注點的功率譜密度曲線。從上到下五層板中心僅結構和考慮聲固耦合的加速度響應如圖3 所示。

圖3 僅結構模型和聲振耦合模型不同位置加速度響應功率譜對比（g=9.8 m/s2）Fig.3 Comparison of power spectrum of acceleration response at different positions between structural-onlymodel and acoustic-vibration coupling model (g=9.8 m/s2):a) first floor plate center;b) second floor plate center;c) third floor plate center;d)fourth floor plate center;e) fifth floor plate center.

3 結論

1）基于聲學流體，根據非對稱矩陣的特征值求解方法獲得了結構聲固耦合模態。采用商業有限元軟件直接法諧響應分析模塊，獲得結構頻響函數曲線，以結構頻響函數曲線為基礎結合理論分析可間接得到結構隨機振動功率譜響應曲線。

2）分析結果表明，考慮聲振耦合時，噪聲對結構的固有頻率變化不大。

3）考慮聲固耦合與僅結構狀態相比，薄壁結構有的頻段加速度響應放大，噪聲有放大效應；有的頻段加速度響應衰減，噪聲起到阻尼效應。