電動舵機控制系統可靠性仿真與優化

張偵英，錢云鵬，涂宏茂，2，劉 勤，2

(1.中國兵器科學研究院， 北京 100089；2.東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

電動舵機廣泛應用于火箭、導彈、魚雷等武器系統中[1-3]，通過驅動舵片偏轉控制彈藥的姿態與航向。舵機性能的好壞直接決定著制導彈藥飛行過程的動態品質。從電動舵機研制過程中的故障模式看，除機械零部件、電子元器件的失效外，很多是由于控制系統輸入電壓、控制信號、控制參數等參數漂移而導致的動作不到位、頻響緩慢、超調等性能故障[4]。結合在研的某型電動舵機，考慮主要控制參數的隨機性，利用MATLAB SIMULINK和MSC.ADAMS軟件建立了控制系統的動力學仿真模型，通過擬合運動精度、超調量、上升時間等性能參數與控制參數的響應面模型進行了可靠性分析；然后以運動精度誤差最小為目標，考慮多個性能可靠度約束建立優化模型，運用概率功能度量法將可靠度約束近似轉換為線性約束，并利用序列二次規劃算法實現可靠性優化模型的求解，得到了優化的控制參數設計方案。與常規優化結果對比表明，基于該設計方案的電動舵機具有更好地性能和可靠性。

1 電動舵機控制系統動力學仿真模型

電動舵機的工作原理如圖1所示，由控制器、電機、減速器、反饋電位計等構成。控制器接收彈上計算機給定的舵機偏轉角度指令，與舵片實際偏轉角進行比較，得到角度偏差，經由控制算法處理生成控制信號，然后進行功率放大驅動電機運轉，經減速器減速后帶動舵片向指令位置偏轉。舵片偏轉的角度利用反饋電位計反饋給舵機控制器以構成閉環控制。為了滿足這樣的要求，控制器需要計算出轉角對應的電機輸入電壓，并將這個電壓以PWM波的形式輸出。

圖1 電動舵機工作原理框圖

為提高控制精度，采用了PID控制策略。比例系數Kp用于實時成比例的反映控制系統的偏差信號，偏差一旦產生，控制系統立即產生控制作用，以減少偏差。積分系數Ki主要用于消除靜差，提高系統的誤差度。微分系數Kd反映偏差信號的變化趨勢，并能在偏差信號值變的更大之前，在系統中引入一個早期修正信號，從而加快系統的動作速度，減少調節時間。

根據電動舵機的原理，利用MATLAB SIMULINK分別對控制器、直流電動機、反饋電位計建立數學模型，利用MSC.ADAMS建立減速器的機構運動學模型(見圖2)，通過MATLAB與MSC.ADAMS的接口將機構運動學模型導入MATLAB，構建動力學仿真模型如圖3所示，可仿真計算穩態值、超調量、上升時間和調整時間。

圖2 減速器的機構運動學模型示意圖

圖3 電動舵機控制系統動力學仿真模型框圖

電動舵機的傳遞系數為2(°)/V，即1 V輸入信號下理論轉角為2°。初始設計方案的比例系數Kp=4.15，積分系數Ki=2，微分系數Kd=0.8，gain6為反饋電位計，gain6=0.44，gain1為增益系數，gain1=0.882。adams_sub為減速器MSC.ADAMS機構運動模型導入到MATLAB中的調用接口。driv(s)為用電機電路總電感d1和總電阻d2表征的傳遞函數。

圖4為1 V階躍輸入信號下電動舵機的響應曲線。可以看出，盡管穩態值滿足要求，但初始方案的上升時間和調整時間過長，導致舵機不滿足快速性要求，需進一步優化控制系統的控制參數。

圖4 1 V信號下舵機的響應曲線

2 可靠性分析

該型電動舵機的主要性能指標為運動精度±(0.2+4%δ)，δ為理論轉角；動態上升時間小于35ms；超調量小于5%；調整時間小于300 ms。

考慮主要控制參數的隨機性(表1)，分別以運動精度誤差、超調量、上升時間、調整時間大于指標要求作為失效判據，建立極限狀態函數如下：

Z1=δ-|2-f|

(1)

Z2=0.05-fp

(2)

Z3=0.035-tp

(3)

Z4=0.3-ta

(4)

式中：f、fp、tp、ta分別為利用前述的動力學仿真模型計算的穩態值、超調量、上升時間和調整時間。

表1 可靠性分析考慮的主要隨機參數

利用一次可靠度法進行可靠度計算時，常需要進行多次迭代計算[5]，直接調用動力學仿真模型進行計算一方面計算量較大[6]，另一方面由于數值計算誤差會影響可靠性分析與優化算法的應用。因此選用均勻試驗設計方法多次調用動力學仿真模型計算，然后擬合性能參數與隨機參數的響應面模型[7]，基于該響應面模型計算可靠度。其中均勻試驗設計的試驗次數選擇216次，各次仿真結果見圖5，響應面模型選擇包含交叉項的2階多項式，分別如圖6所示。響應面模型擬合的精度可以采用復相關系數R2進行檢驗：

(5)

圖5 各次均勻試驗設計的性能仿真結果

圖6 主要性能參數的響應面

基于擬合的響應面模型和式(1)～式(4)，利用一次可靠度法進行可靠度計算，得到了初始設計方案情況下各性能參數滿足要求的可靠度(見表2)。可以看出，除運動精度滿足要求的可靠度較高外，超調量滿足要求的可靠度較低，而上升時間、調整時間無法滿足指標要求。

表2 可靠度分析結果

可靠性靈敏度主要通過計算重要性靈敏度和參數靈敏度，確定各隨機變量及其參數的重要程度[8]。其中，重要性靈敏度的計算表達式如下：

(6)

式中：β為可靠度指數，滿足R=Φ(β)；y為x的等效標準正態隨機變量向量，一般通過構造Nataf分布，并進行相應變換得到[9]；L為y的相關系數矩陣經過Choleskey分解得到的下三角矩陣；μ是與y相對應的獨立標準正態隨機變量向量，滿足μ=L-1y。

參數靈敏度的計算表達如下：

(7)

式中：θ為隨機變量x對應的均值或標準差向量；T(x)為μ與x的變換函數；σ=[σij]n×n，當i=j時，σij為第i個隨機變量的標準差，當i≠j時，σij=0。

1) 穩態可靠性的參數靈敏度結果

從圖7可以看出，影響穩態可靠性的主要參數為gain1、gain6，這與試驗設計相關性分析的結果是一致的。

圖7 穩態可靠性的參數靈敏度

2) 超調量可靠性的靈敏度結果

從圖8可以看出，在PID控制策略下，Kp和Ki對超調量的可靠性影響比較大，為超調量可靠性的主要影響因素，提高Kp比例系數，降低微分系數Ki可以提高超調量可靠度。Kp對穩態可靠度、超調量的影響如圖9所示，超調量隨著Kp的增大而變大。其他輸入變量對超調量可靠性的影響較小。超調量可靠度的總體水平偏低。

圖8 超調量可靠度的參數靈敏度

圖9 Kp與穩態值、超調量的關系曲線

3) 上升時間可靠性的靈敏度結果

從圖10可以看出，提高比例系數Kp，降低微分系數Kd可以提高上升時間可靠度。上升時間顯然不滿足設計要求。

圖10 上升時間可靠度的參數靈敏度

4) 調整時間可靠性的靈敏度結果

從圖11可以看出，提高比例系數Kp，降低微分系數Kd可以提高調整時間可靠度。調整時間可靠度顯然不滿足設計要求。

圖11 調整時間可靠度的參數靈敏度

3 可靠性優化

初始設計方案的可靠性顯然不滿足指標要求，因此以Kp、Ki、Kd、gain1、gain6為設計變量，以運動精度誤差最小為目標，并設定穩態可靠性、超調量、上升時間、調整時間的性能可靠度約束大于0.999，建立可靠性優化模型

(8)

在上述的可靠性優化模型中，用多個可靠度約束函數R的概率大于或等于期望可靠度來表征設計是否可行，可靠度約束函數本質上是設計變量、隨機變量的隱式復合函數，無法直接利用現有的優化算法求解，一般情況下，考慮一個響應Y(d，X)和最大容許的響應水平b常用功能函數來表示，定義為

G(d，X)=b-Y(d，X)

(9)

顯然，為了考慮所有發生不可接受行為的可能需建立多個功能函數。這里需要強調下，功能函數等于0構成的曲面通常稱為極限狀態曲面。

功能函數G(d，X)>0的概率，即可靠度可以用式(10)來表示。

(10)

式中，hX(x)是X的聯合概率密度函數。

通常情況下直接計算式(10)很困難甚至不可行，一個常用的方法是采用蒙特卡羅仿真。但是當可靠度很高時(例如接近1時)，蒙特卡羅仿真的計算量很大。在可靠性領域，廣泛采用Hasofer、Lind、Rackwitz等提出的一次可靠度法(First Order Reliability Method，FORM)來計算式(10)。

由于優化過程中需要反復進行可靠度約束評估以檢查設計點是否可行，所以可靠度約束的處理方式是可靠性優化求解的關鍵問題，會影響優化效率、精度和穩定性。目前常用的可靠性優化方法都是采用轉換的策略，迭代過程中按照一定的方式將可靠度約束轉換為不包含隨機變量的確定性約束，從而將概率約束優化問題轉換為常規確定優化問題，再利用常規的優化算法如序列二次規劃法實現問題的求解。

目前在可靠性優化過程中比較常用的可靠度約束的處理方式主要有可靠度指標法(Reliability Index Approach，RIA)和功能度量法(Performance Measure Approach，PMA)[11-13]。

可靠度指標法本質上是將可靠度約束轉化為了一個不包含隨機變量的近似的確定性線性約束。如果問題具有多個可靠度約束，則對每個可靠度約束都采用相同的近似處理辦法，分別構造各自的線性近似，最終建立原問題的序列近似規劃模型[14]

(11)

可靠度指標法可以直接將可靠度算法和常規的優化軟件結合起來，但由于每次外層優化都需要進行完整的可靠度分析，總體的數值效率較低。當采用基于梯度的優化算法時，需要高效的計算可靠度指標關于設計變量的偏導數[15]。

功能度量法是借助所謂的逆可靠度方法來表征可靠度約束的方法，其原理基于如果當概率功能度量gi(d，u*)=0時，則功能函數的實際可靠度指標恰好等于逆可靠度分析給定的可靠度指標βtol，因此優化過程中可以根據gi(d，u*)是否大于0來評定是否滿足可靠度指標要求。這樣，式(8)可以表示為：

minf(d)

s.t.g(d，u*)>0

(12)

式中u*是通過逆可靠度分析確定的逆可靠度最可能失效點(Most Probable Point，MPP)，可以通過求解如下的優化問題獲得：

ming(d，u)

s.t. ||u||=βtol

(13)

式(13)通常采用改進均值法[12]迭代格式計算，如式(14)所示。

(14)

迭代初值可取標準正態空間的原點，當u*=uk+1小于容許誤差ε時，即可求得u*=uk+1。

將功能函數在當前設計點dk泰勒展開，得到

(15)

這樣通過逆可靠度分析，本質上是將可靠度約束轉化為了一個不包含隨機變量的近似的確定性線性約束。如果問題具有多個可靠度約束，則對每個可靠度約束都采用相同的近似處理辦法，分別構造各自的線性近似，最終建立原問題的序列近似規劃模型

k=1，2，…

minf(d)

s.t.gi(dk，u*)+▽dgi(dk，u*)T(d-dk)≥0

(i=1，…，n)

(16)

已有的研究表明PMA比RIA更加穩定，這是由于求解式(13)時已知可靠度指標。更進一步研究表明，與RIA相比，PMA法更適于處理不起作用的概率約束問題。已有學者提出了不同的逆可靠度方法來求解可靠性優化問題[16-21]。因此采用概率功能度量法，在優化過程中將可靠度約束轉換為不包含隨機變量的確定性約束，再利用序列二次規劃算法求解，主要算法流程如圖12所示。

圖12 可靠性優化算法流程框圖

為作為對比，不考慮參數隨機性建立了常規優化模型(式(17))，也進行了優化，最終得到的可靠性優化和常規優化結果如表3所示。

表3 可靠性優化結果

(17)

可以看出，常規優化和可靠性優化均有效減小了運動精度誤差。可靠性優化結果均滿足設定的可靠度大于0.999的要求，而常規優化由于無法直接在模型中考慮可靠性要求，導致運動精度可靠度略低。圖13為可靠性優化后，其他變量用優化后的結果，Kp變動時對穩態可靠度、超調量的影響，可以看出，Kp對穩態可靠度的影響很小，對超調量的影響比較大，Kp過大時會導致超調量過大。圖14為利用優化結果重新進行的仿真分析，可以看出，與初始設計方案、常規優化方案相比，可靠性優化確定的電動舵機控制參數設計方案具有更好的性能和可靠性。

圖13 優化后Kp與穩態值、超調量的關系曲線

圖14 優化后1 V信號下舵機的響應曲線

4 結論

本文結合在研的某型電動舵機，針對動作不到位、頻響緩慢、超調等整機性能故障，利用MATLAB SIMULINK和MSC.ADAMS軟件建立了控制系統的動力學仿真模型，利用仿真軟件提供的數據接口，基于可靠性分析軟件建立了參數化的電動舵機控制系統的可靠性仿真模型，一方面通過參數化的數據接口實現了電動舵機控制參數的隨機性分析，另一方面實現了參數化的電動舵機控制系統可靠性仿真，并進行了超調量、上升時間等性能可靠性分析；在此基礎上，將上述分析的4個性能可靠度作為約束，以運動精度誤差最小為目標建立了電動舵機控制系統的可靠性優化模型，并通過選擇合適的優化算法求解，得到了優化的控制參數設計方案。與常規優化結果對比表明，基于該設計方案的電動舵機具有更好地性能和可靠性，能夠為設計電動舵機控制系統提供有效的設計依據。