陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂的離散元模擬

趙翰卿，任會蘭

(北京理工大學 爆炸科學與技術(shù)國家重點實驗室， 北京 100081)

陶瓷材料具有低密度、高硬度、高強度等優(yōu)秀性能，因此被廣泛應用于抗中高速沖擊防護裝甲設(shè)計[1-2]，軍事應用前景十分廣闊。

侯海量等[3]研究了高速破片沖擊下輕型陶瓷/金屬復合裝甲的沖擊響應，發(fā)現(xiàn)陶瓷面板在高速破片的高速沖擊下，首先受沖擊壓縮誘發(fā)微裂紋，持續(xù)壓縮致使材料進一步損傷，材料強度降低，隨后微裂紋在反射拉伸波作用下發(fā)生擴展，形成宏觀裂紋而發(fā)生失效。因此，沖擊載荷作用下，陶瓷材料的裂紋擴展機理及動態(tài)拉伸強度對陶瓷裝甲性能的研究十分重要。

目前關(guān)于陶瓷材料動力學性能的理論、實驗研究有很多，但主要集中于沖擊壓縮載荷條件。寧建國等[4]基于翼型裂紋擴展過程中的能量守恒原理，建立了陶瓷類脆性材料的動態(tài)損傷本構(gòu)模型。張曉晴等[5]利用改進的SHPB實驗方法對氧化鋁陶瓷的動態(tài)力學性能進行了研究。

陶瓷等脆性材料的脆性使得直接測量動態(tài)拉伸強度十分困難，因此相關(guān)的實驗研究較少?；诜蛛x式霍普金森桿(SHPB)的巴西圓盤試驗憑借其巧妙的設(shè)計，成為一種有效的間接測量手段。然而陶瓷等脆性材料的動態(tài)裂紋擴展過程十分迅速，憑借現(xiàn)有的技術(shù)手段很難完整觀測，而數(shù)值模擬手段可以作為實驗研究的有效補充。

美國學者Cundall[6]提出的離散元方法，對比傳統(tǒng)的有限元方法，在求解大位移和非線性問題方面優(yōu)勢明顯[7]。本文基于顆粒離散元法(軟件PFC2D)，建立分離式霍普金森壓桿數(shù)值實驗平臺，對陶瓷巴西圓盤的動態(tài)劈裂進行數(shù)值模擬，為開展實驗研究提供支持。

1 建立陶瓷離散元模型

顆粒離散元法中的本構(gòu)模型是針對接觸的細觀本構(gòu)模型，模型參數(shù)一般包含接觸的剛度和強度參數(shù)。PFC的本構(gòu)模型中的參數(shù)無法直接引入宏觀參數(shù)，需要以目標材料宏觀力學性能參數(shù)為標準，通過一系列數(shù)值試驗校準模型細觀參數(shù)。當一套細觀參數(shù)能同時滿足對應材料的各種宏觀力學性能時，便可認為這套細觀參數(shù)能夠模擬目標材料[6]。

1.1 選擇黏結(jié)模型

離散元中的細觀本構(gòu)模型又稱黏結(jié)模型，目前使用最廣的模型為平行黏結(jié)模型(parallel-bonded model)，該模型被廣泛應用于模擬巖石等脆性材料[8-9]。但是在材料參數(shù)標定過程中，使用該模型往往會得到偏高的單軸拉壓強度比[6]，主要原因是顆粒間的平行黏結(jié)鍵在達到破壞條件后會退化為線性接觸，無法對顆粒的旋轉(zhuǎn)施加約束，導致模型的壓縮強度相對偏低。

平節(jié)理黏結(jié)模型(Flat-joint Model)是D.O.Potyondy[10]提出的一種適用于硬質(zhì)巖石的改進模型，見圖1。該模型通過將虛擬交界面分段的方式，將球形顆粒構(gòu)造成多邊形顆粒，當平節(jié)理黏結(jié)被破壞后，平節(jié)理黏結(jié)鍵不再提供黏結(jié)作用，但是不會被刪除，繼續(xù)起到抑制顆粒旋轉(zhuǎn)的作用，提高裂紋合并的難度，以此相對提高模型的壓縮強度，從而使模型的拉壓強度比更接近實驗室實驗結(jié)果。

圖1 平節(jié)理黏結(jié)模型示意圖

本文將選取平節(jié)理黏結(jié)模型(flat-joint model)作為模擬陶瓷材料的細觀本構(gòu)模型，陶瓷材料的宏觀力學參數(shù)取自我們對中國建材研究院提供的15%氧化鋯增韌氧化鋁陶瓷進行實驗室試驗所得的實測數(shù)據(jù)。

1.2 選擇模型初始參數(shù)

根據(jù)Potyondy和Cundall的研究[6]，離散元顆粒模型的斷裂韌性與模型顆粒半徑及顆粒間黏結(jié)鍵的拉伸強度有關(guān)，因此顆粒半徑可以暫定一個大小，在后續(xù)標定斷裂韌性時重新調(diào)節(jié)。最小顆粒半徑暫定為20 μm，最大粒徑與最小粒徑之比為1.5，模型的孔隙率為0.1。離散元中的孔隙率只是用于估算填充模型區(qū)域所需顆粒數(shù)的數(shù)學參數(shù)，并非表征真實材料的氣孔率。

顆粒間接觸模量、黏結(jié)模量、黏結(jié)強度初始值可設(shè)置為材料真實彈性模量，接觸、黏結(jié)剛度比可暫定初始值為2，在后續(xù)標定過程中進行調(diào)節(jié)。顆粒間接觸摩擦系數(shù)對宏觀強度標定影響不大[11]，可取經(jīng)驗值0.577。

1.3 通過數(shù)值試驗標定參數(shù)

1.3.1單軸壓縮試驗

通過單軸壓縮試驗來校準模型的彈性模量E、泊松比ν和抗壓強度σc。壓縮試驗的幾何模型：高3.4 mm，寬1.7 mm 的矩形，包含6 184個顆粒，上下兩面剛性墻體分別以17 mm/s的速度向中間壓縮。模型破壞過程形貌及應力應變曲線如圖2所示。校準后得到的模型彈性模量為 350 GPa，泊松比0.236，抗壓強度2 843 MPa。

圖2 單軸壓縮試驗破壞形貌及應力-應變曲線

1.3.2 三點彎曲試驗

通過三點彎曲試驗來校準模型的彎曲強度σb。三點彎曲試驗的幾何模型為：長6 mm，寬1.2 mm的矩形梁，包含7 706個顆粒，梁下方為兩個相距4.8 mm的圓形剛體，梁上方為12 mm/s速度向下施壓的圓形剛體。模型破壞過程形貌及載荷-位移曲線如圖3。將模型斷裂時的最大載荷F=118.607 kN代入三點彎曲強度計算公式，得到校準后的彎曲強度σb=593.0 MPa。

圖3 三點彎曲試驗破壞形貌及載荷-位移曲線

1.3.3三點彎曲單邊切口梁試驗(斷裂韌性測試試驗)

通過帶單邊切口的三點彎曲試驗來校準模型的斷裂韌性KIC。幾何模型為：長6 mm，寬1.2 mm的矩形梁，梁的正下方有一個寬40 μm，高0.6 mm的切口，模型包含7 677個顆粒，梁下方為兩個相距4.8 mm的圓形剛體，梁上方為12 mm/s速度向下施壓的圓形剛體。模型破壞過程形貌以及載荷-位移曲線如圖4。將模型斷裂時的最大載荷F=21.116 kN代入三點彎曲斷裂韌性計算公式，得到校準后的斷裂韌性為KIC=6.498 MPa·m1/2。

圖4 斷裂韌性試驗破壞形貌及載荷-位移曲線

1.3.4巴西劈裂試驗

通過準靜態(tài)巴西劈裂試驗來校準模型的拉伸強度。模擬所采用的巴西圓盤直徑為5 mm，包含21 083個顆粒。左右兩端剛性墻體分別以5 mm/s的速度向中間壓縮。模型破壞過程形貌以及載荷-位移曲線如圖5。將圓盤劈裂時的最大載荷F=2 346.243 kN代入巴西圓盤試件抗拉強度計算公式，得到校準后的拉伸強度為299 MPa。

圖5 巴西劈裂試驗破壞形貌及載荷-位移曲線

在上述數(shù)值實驗中，涉及載荷的讀數(shù)都很大，這是因為模擬采用2D模型，模型的厚度為單位1(1 m)。表1為離散元模型的校準結(jié)果與實驗測量結(jié)果，由表1可以看出各項宏觀力學性質(zhì)參數(shù)均符合得很好，可以認為此離散元材料模型能夠很好地模擬15%ZrO2-Al2O3增韌陶瓷材料。表2為校準后離散元模型中主要細觀參數(shù)的取值。

表1 15%ZrO2-Al2O3增韌陶瓷的實驗數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬結(jié)果

表2 15%ZrO2-Al2O3增韌陶瓷材料離散元模型的主要細觀參數(shù)

實驗測量結(jié)果缺少拉伸強度，一般脆性材料的拉壓強度比在0.05～0.15，數(shù)值試驗所得拉壓強度比為0.105，與實際情況相符。

2 陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂的模擬

2.1 建立SHPB數(shù)值實驗平臺

參考文獻[12-13]，基于離散元構(gòu)建二維SHPB結(jié)構(gòu)模型，圖6為結(jié)構(gòu)示意圖。入射桿與透射桿長度均為300 mm，撞擊桿長30 mm，圓桿直徑10 mm，為了改善桿端面與陶瓷圓盤試件的接觸情況，將桿端面邊界顆粒細化為直徑25 μm的細小顆粒，撞擊桿與入射桿接觸端面顆粒也進行細化對齊處理。桿件材料采用與陶瓷圓盤試件同樣的平節(jié)理黏結(jié)模型，桿件之間以及試件與桿件之間的接觸則采用線性接觸模型，模擬接觸但不黏結(jié)的接觸狀態(tài)。

圖6 離散元SHPB模型結(jié)構(gòu)示意圖

桿件材料的部分宏觀參數(shù)取自文獻[14]，見表3。由于離散元中彈塑性材料標定較為復雜，且本次模擬過程中不涉及桿件發(fā)生損壞的情況，因此將桿件材料簡化為理想彈性體，顆粒間的接觸拉伸強度與接觸剪切強度均設(shè)置為極大值(100 GPa)。綜合考慮數(shù)值模擬精確性與計算資源，校準后桿件材料的細觀參數(shù)如表4所示。

表3 SHPB桿件材料參數(shù)

表4 SHPB桿件材料離散元模型的主要細觀參數(shù)

利用SHPB對脆性材料進行高速沖擊加載時，為保證SHPB實驗的均勻性要求，需要設(shè)法延長加載波的上升前沿時間，讓應力波有足夠長的時間在試件內(nèi)部反射至均勻。常用的波形整形技術(shù)有添加波形整形器、使用異形炮彈[15]等，可以將傳統(tǒng)SHPB的矩形波整形為三角波以及半正弦波。

本文通過控制撞擊桿的運動速度以半正弦曲線模式變化，對入射桿端面施加動應力，實現(xiàn)近似半正弦波的加載波。因此在本文模擬中，入射應力脈沖的寬度與撞擊桿長度無關(guān)，由設(shè)置的加載作用時間控制。運動速度曲線表達式為v=vm*sin(πt/T)，其中vm為加載速度峰值，t為持續(xù)時間，T為半正弦波的作用時間。

2.2 驗證SHPB系統(tǒng)模型的可靠性

在入射桿與透射桿上設(shè)置一系列半徑為3.2 mm的測量圓(見圖6)，來監(jiān)測桿件中應力波的傳播情況。測量圓1、圓2分別位于入射桿與透射桿的正中間，測量圓1、3、4、5的間距為30 mm。不插入試件，在空桿狀態(tài)下，設(shè)置撞擊桿的加載速度峰值為13 m/s，作用時間32 μs，在位置1～5監(jiān)測到的應力波形如圖7所示。

圖7 撞擊桿加載速度峰值13 m/s、持續(xù)時間32 μs時入射和透射波形

由圖7可見，撞擊桿的動應力加載產(chǎn)生了近似半正弦波的波形，上升沿和下降沿均約為16 μs。自左向右，測量圓5、4、1、3、2測得的各個位置的應力時程曲線均無明顯彌散現(xiàn)象，入射波(measure 1)與透射波(measure 2)形狀、幅值基本一致，由此可以認為建立的SHPB系統(tǒng)模型是可靠的。

2.3 陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂試驗的模擬

陶瓷巴西圓盤試件模型的直徑為8 mm，包含53 935個顆粒。設(shè)置撞擊桿的加載峰值速度為13 m/s，作用時間32 μs，產(chǎn)生如圖7所示的入射波形對陶瓷圓盤試件進行沖擊加載，模擬基于SHPB實驗裝置的陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂試驗。模擬所得的入射波、反射波及透射波的應變時域曲線如圖8所示。

圖8 SHPB數(shù)值實驗平臺記錄的入射、反射與透射波

對于傳統(tǒng)巴西圓盤試驗，圓盤中心位置的拉伸應力σt可計算為：

(1)

式(1)中：P(t)為徑向壓縮載荷；D為圓盤的直徑；t為圓盤的厚度(2D模型厚度為單位1，即1 m)。

基于一維應力波理論，徑向壓縮載荷P(t)可按照式(2)計算。

P(t)=EA0εT(t)

(2)

式(2)中：E為桿的彈性模量；A0為桿的橫截面積(2D模型中為桿的直徑)；εT(t)為透射波時域曲線。

根據(jù)模擬所得應變時域曲線按照式(1)計算的圓心拉伸應力，得到圓盤中央拉伸應力峰值(即動態(tài)拉伸強度)為231 MPa。

3 模擬結(jié)果與實驗結(jié)果對比分析

圖9為基于14.5 mm直徑分離式霍普金森桿實驗裝置的陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂過程，圓盤試件直徑14 mm，材料為15%氧化鋯增韌氧化鋁陶瓷，撞擊桿的速度為13.082 m/s。

從圖9可以看出，陶瓷圓盤試件在17.37 μs時，在與入射桿、透射桿接觸位置出現(xiàn)細小裂紋；在34.74 μs時，圓盤已沿加載直徑方向被主裂紋貫穿，裂紋擴展速度超過了高速攝相的曝光速度，同時在圓盤受壓區(qū)域附近生成了次生裂紋；在52.12 μs時，更多的次生裂紋生成和匯聚，圓盤試件完全劈裂破壞。高速攝相未能完整記錄裂紋擴展的全程。

圖9 陶瓷巴西圓盤劈裂過程的高速攝相

圖10為實驗所得入射波、反射波及透射波波形數(shù)據(jù)。由圖10可以看出，反射波存在一個明顯的轉(zhuǎn)折點并緊隨一個急速上升的信號，這說明波在試件內(nèi)傳播過程中，波阻抗出現(xiàn)了明顯的變化。這種波阻抗迅速的減小對應了試件的瞬間破壞，并將加載信號完全反射回入射桿內(nèi)。試件由初始加載到完全破壞的響應時間基本和透射波的信號相等，證實了試件破壞的時間節(jié)點為圖10中的轉(zhuǎn)折點。

圖10 實驗記錄的波形

圖11與圖12分別為撞擊桿速度10.427 m/s與11.918 m/s時，高速攝相記錄的破壞過程與實驗記錄的波形，與撞擊桿速度13.082 m/s時的實驗結(jié)果具有相同的特征。

圖11 撞擊桿速度10.427 m/s時的高速攝相記錄

圖12 撞擊桿速度11.918 m/s時的高速攝相記錄

模擬結(jié)果所得應變時域曲線也具有與實驗相似的轉(zhuǎn)折點。從模擬結(jié)果中截取從反射波信號初始加載時刻到透射波完全卸載時刻的數(shù)據(jù)點，計算反射波由初始加載到轉(zhuǎn)折點的響應時間，與透射波信號的響應時間作比較，結(jié)果如圖13所示?？梢园l(fā)現(xiàn)二者的響應時間基本相等，這說明模擬結(jié)果中的轉(zhuǎn)折點也是試件破壞的節(jié)點，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)曲線具有相同的形態(tài)特征。

圖13 由初始加載到轉(zhuǎn)折點與透射波信號響應時間的反射波信號

根據(jù)圖10、圖11、圖12中實驗所得應變時域曲線，按照式(1)計算得到動態(tài)拉伸強度分別為205 MPa、208 MPa和187 MPa。同二維離散元模型相比，陶瓷巴西圓盤試件是三維的；此外，陶瓷材料是由粉體材料燒結(jié)而成，材料內(nèi)部不可避免存在有微孔洞、微裂紋等初始微缺陷，實驗結(jié)果比模擬結(jié)果的動態(tài)拉伸強度稍低。

以圓盤試件端面出現(xiàn)明顯微裂紋的時刻為時間起點，數(shù)值模擬的陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂裂紋擴展過程如圖14所示。由圖14可以看出，增韌陶瓷巴西圓盤動態(tài)劈裂的過程中，試件從端面開始產(chǎn)生明顯微裂紋，到裂紋從端面擴展、匯集至沿徑向貫穿圓盤。陶瓷材料內(nèi)有大量的微缺陷，如晶界裂紋、微孔洞、微裂紋等，在外載荷下這些微損傷將進一步成核、擴展直至匯合而引起陶瓷材料的宏觀破壞。

圖14 數(shù)值模擬的裂紋擴展過程及破壞形貌示意圖

4 結(jié)論

1) 基于顆粒離散元法，獲得了能夠模擬15%氧化鋯增韌氧化鋁陶瓷的離散元模型細觀參數(shù)，并成功建立了可靠的SHPB數(shù)值實驗平臺；

2) 實驗與數(shù)值模擬所得數(shù)據(jù)曲線具有相同的形態(tài)特征：兩者的反射波信號均存在一個明顯的轉(zhuǎn)折點并緊隨一個急速上升的信號，該轉(zhuǎn)折點即試件破壞的時間節(jié)點；

3) 模擬結(jié)果顯示：陶瓷圓盤動態(tài)破壞是試件與彈性桿接觸處最先產(chǎn)生裂紋，裂紋聚集形成局部損傷區(qū)域，并沿軸線向中心擴展而導致試件劈裂破壞，是一個動態(tài)過程，圓盤試件的破壞形貌與實驗結(jié)果基本一致。