一種非標準X型四旋翼飛行器的建模與PD串級控制

趙雅蓉，鮮 浩，牛興龍，林 都，李大威

(中北大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 太原 030051)

非標準X型四旋翼飛行器不僅具有X型四旋翼飛行器的特性，還更符合實際生活的應(yīng)用。與十字型四旋翼飛行器相比，X型四旋翼飛行器靈活性更強，性能更加穩(wěn)定。對于外形各異的四旋翼飛行器來說，旋臂間夾角不再固定，會隨適用的場景而變化，例如，折疊式X型四旋翼飛行器為考慮輕裝便捷，根據(jù)模型樣式對旋臂夾角做適當調(diào)整。

非標準X型四旋翼飛行器是4輸入6輸出的欠驅(qū)動系統(tǒng)，由于控制變量個數(shù)小于系統(tǒng)自由度個數(shù)，在節(jié)約能量、降低造價、增強系統(tǒng)靈活度等方面較完整驅(qū)動系統(tǒng)有很強的優(yōu)越性，同時，由于系統(tǒng)嚴重非線性、強耦合等原因，欠驅(qū)動系統(tǒng)又足夠復(fù)雜，只能用自動控制器來控制飛行姿態(tài)。

近年來，非標準X型四旋翼飛行器迅速成為國內(nèi)外的研究熱點。文獻[1-6]中結(jié)合氣動效應(yīng)，研究了飛行器的姿態(tài)控制問題，建立了一種連續(xù)多變量姿態(tài)控制器。上述文獻的研究對象多是十字型四旋翼飛行器，而非標準X型四旋翼飛行器姿態(tài)飛行聯(lián)動性更好，實用價值更高。文獻[7]中講述了非標準X型四旋翼飛行器總體建模的數(shù)學(xué)理論。文獻[8-9]中講述了非標準X型四旋翼飛行器總體布局設(shè)計。由于飛行器的嚴重非線性和強耦合性，很難對模型精確刻畫，故對模型進行線性化處理，見文獻[10-11]。文獻[12-18]中運用了多種控制方法跟蹤飛行器的飛行軌跡，如PID控制、魯棒控制、全動力學(xué)軌跡控制、滑模控制等。

文獻多選用十字型四旋翼飛行器作為研究對象，與其相比，非標準X型四旋翼飛行器的飛行姿態(tài)聯(lián)動性更好。由于標準X型四旋翼飛行器不能滿足多變化應(yīng)用場景的需求，因此DIY飛行器盛行。

針對一種非標準X型四旋翼飛行器，本文首先建立數(shù)學(xué)模型，再用測量方法估計模型中的未知參數(shù)。然而，由于控制效率模型復(fù)雜，控制器設(shè)計難度增加，因此本文選用算法成熟且可靠的PD控制器，設(shè)計PD串級控制器，通過內(nèi)外環(huán)的控制策略，對控制器進一步調(diào)控，最后通過數(shù)值仿真驗證控制器的穩(wěn)定性和收斂性。

1 飛行姿態(tài)數(shù)學(xué)表示

非標準X型四旋翼飛行器的姿態(tài)由滾轉(zhuǎn)角φ，俯仰角θ，偏航角ψ來描述。同時同量減小螺旋槳1和2的轉(zhuǎn)速，增加螺旋槳3和4的轉(zhuǎn)速，不平衡力矩使飛行器向右滾轉(zhuǎn)；同理，減少螺旋槳1和4的轉(zhuǎn)速，增加螺旋槳2和3的轉(zhuǎn)速，引起飛行器向前俯仰；減小螺旋槳2和4的轉(zhuǎn)速，增加螺旋槳1和3的轉(zhuǎn)速，使前后和左右飛行的力矩為零，逆時針的偏航力矩增加，飛行器逆時針偏航。

如圖1所示，螺旋槳1和3順時針旋轉(zhuǎn)為正，反扭矩逆時針偏轉(zhuǎn)，螺旋槳2和4逆時針旋轉(zhuǎn)為正，反扭矩順時針偏轉(zhuǎn)。根據(jù)右手定則建立坐標系，z軸向下為正方向。地球固聯(lián)坐標系用于研究飛行器相對于地面的運動狀態(tài)，下標用e表示地球固聯(lián)坐標(earth)，機體坐標系下標用b表示機體坐標(body)。

圖1 機體坐標示意圖

圖2 姿態(tài)角分步轉(zhuǎn)動示意圖

按照Z-Y-X旋轉(zhuǎn)順序下的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：(由機體坐標到地球固聯(lián)坐標)

(1)

根據(jù)位置動力學(xué)模型

(2)

姿態(tài)變化率和機體旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系：

(3)

由式(3)可知，

(4)

由于

w=T·wb

(5)

2 數(shù)值建模

以一定假設(shè)為前提，對飛行器進行機理建模[2,8-9]。假設(shè)1：飛行器為剛體模型，且無任何損壞；假設(shè)2：幾何中心和重心一致；假設(shè)3：質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量不變；假設(shè)4：螺旋槳奇數(shù)編號順時針旋轉(zhuǎn)為正，偶數(shù)編號逆時針旋轉(zhuǎn)為正；假設(shè)5：飛行器只受重力和拉力影響；假設(shè)6：所有狀態(tài)都可以得到反饋，且-π/2<θ<π/2，-π/2<φ<π/2。

(6)

圖3 建模流程框圖

2.1 動力單元模型

輸入油門指令σ，通過電調(diào)輸入電壓Um，發(fā)動電機帶動螺旋槳旋轉(zhuǎn)，得到螺旋槳轉(zhuǎn)速，如圖4所示。動力單元模型公式如下所示，見文獻[8]。

圖4 動力系統(tǒng)信號傳遞框圖

2.2 控制效率模型

圖5中，飛行器中螺旋槳產(chǎn)生的水平方向力矩不同，如式(9)所示，cT表示拉力氣動系數(shù)，φi表示電機距離x軸與旋轉(zhuǎn)臂的旋轉(zhuǎn)角度(機體順時針旋轉(zhuǎn)，φ1表示x軸正方向到電機1的旋轉(zhuǎn)角度，φ2表示x軸正方向到電機2的旋轉(zhuǎn)角度，其他角度同理)，d表示旋臂的長度，cM表示轉(zhuǎn)矩氣動系數(shù)。cT和cM受氣體密度和螺旋槳葉片類型等因素影響。

圖5 非標準X型四旋翼飛行器機體示意圖

其中，ρ表示空氣密度(kg/m2)；DP表示螺旋槳直徑(m)；CT表示螺旋槳拉力系數(shù)；CM表示螺旋槳轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

2.3 控制剛體模型

機體系下位置動力學(xué)模型如式(3)所示，將機體坐標變?yōu)閼T性坐標。在滿足6個假設(shè)的前提下，只考慮重力和拉力對飛行器的影響。

位置動力學(xué)模型：

(7)

即

姿態(tài)動力學(xué)模型：

(8)

由式(2)、式(5)將機體坐標變換為慣性坐標，得到機體速度和角速度的方程。當飛行器懸停時，拉力抵消重力，4個螺旋槳拉力產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰力矩為零，偏航力矩為零，4個螺旋槳反扭矩效應(yīng)均被抵消。如下式所示。

2.4 模型線性化

對于非標準X型四旋翼飛行器系統(tǒng)，由于三角函數(shù)相互聯(lián)系很難找到閉環(huán)形式的解，所以，線性化是在小振蕩的簡化模型上進行的。通過將正弦函數(shù)與其幅角近似，將余弦函數(shù)與單位近似得到。

基于非標準X型四旋翼飛行器的非線性模型，忽略陀螺力矩和-wb×(J·wb)，得到姿態(tài)模型，在無擾動的情況下，只與力矩有關(guān)。通過懸停點的小角度線性化，得到下列方程組式(9)(見文獻[9-11])：

(9)

(10)

本文重點使用式(9)中的6個公式，根據(jù)加速度和角加速度，通過積分即可求得系統(tǒng)位置和姿態(tài)角。

(11)

將式(9)化簡為式(11)，其余6個公式中，機體坐標約等于慣性坐標。

一個可解的線性代數(shù)方程組只有一個解，當且僅當系統(tǒng)矩陣是滿秩。所以根據(jù)系統(tǒng)矩陣的秩，檢測模型在有限時間內(nèi)的可觀性和可控性。

3 參數(shù)測量與數(shù)值仿真

由引言可知，非標準X型四旋翼飛行器模型有4個輸入變量，總拉力ft和在3個坐標軸的分力矩τx、τy、τz，6個輸出變量位置(x，y，z)和姿態(tài)(φ，θ，ψ)。

圖6為根據(jù)數(shù)值建模流程搭建的仿真模型，根據(jù)圖3建模流程的順序，仿真模型同樣共分3部分內(nèi)容。

圖6 機體仿真模型示意圖

如圖7所示，動力單元模型是對電機油門值到電機轉(zhuǎn)速過程的建模，分為動態(tài)部分測試和穩(wěn)態(tài)部分測試，動態(tài)測試部分遵照設(shè)計的通訊協(xié)議發(fā)送“aa aa aa 7f xx xx”，前4位為數(shù)據(jù)起始位，后2位為發(fā)送的油門值，通過算法組合送到CCR1寄存器中，通過PWM程序控制電機，當單片機收到油門指令立即發(fā)送計數(shù)器中編碼器的位置，通過微分和濾波得到轉(zhuǎn)速。測量并記錄不同油門值下的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，計算一階慣性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益K與時間常數(shù)。穩(wěn)態(tài)測試部分實驗過程與動態(tài)過程基本一致，實驗中需要改用光電檢測轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速從而獲得更加準確的速度測試值。清除死區(qū)的影響，除去前四組數(shù)據(jù)，使用MATLAB的curve fitting tool，最小二乘法擬合得出圖8(d)。動力單元模型近似收斂為一階傳遞函數(shù)30/(0.14s+1)形式。

圖7 動力單元模型測速框圖

圖8 動力單元模型數(shù)據(jù)測量

控制效率模型子系統(tǒng)，由式(9)可知，力和力矩與螺旋槳轉(zhuǎn)速的平方有關(guān)，輸入轉(zhuǎn)速的平方，輸出拉力和三軸力矩，具體測量見圖9所示。電機力矩測試如圖9(a)所示，電機固定在木板上，木板通過4個螺栓固定在主體木塊上面，在主體木塊上安裝兩個軸承，這兩個軸承與電機應(yīng)當盡量共軸，主體木塊通過長螺栓與支撐柱連接，保證主體木塊在垂直方向上可以自由轉(zhuǎn)動，同時水平方向上的運動盡量減小，這樣一來，電機轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)換到了主體木塊上，木塊左端安裝一根螺桿，調(diào)節(jié)長度使得螺桿壓在電子秤上的同時，也保證主體木塊盡量水平。通過發(fā)送不同的油門值給單片機，來獲得電機的轉(zhuǎn)速和相應(yīng)的力，測試結(jié)果如圖9(b)所示。使用Mayatech MT10PRO電機拉力測試臺，平臺最大支持10 kg拉力測試，支持拉力計電流功率數(shù)顯。先將拉力用3 m固定貼和螺絲固定在桌面，接5～26 V電池，打開控制盒開關(guān)，歸零。裝上合適電機和槳，開始測試，如圖9(c)所示。實驗通過上位機向單片機發(fā)送油門指令，然后通過儀器讀出升力的值，單片機串口向上位機發(fā)回測得的轉(zhuǎn)速，從而獲得轉(zhuǎn)速與升力的對應(yīng)關(guān)系。測試結(jié)果如圖9(d)所示。控制剛體模型子系統(tǒng)(狀態(tài)空間描述)，通過式(11)完成非標準X型四旋翼飛行器模型結(jié)構(gòu)變換，即建立狀態(tài)空間模型。根據(jù)4個輸入變量，總拉力ft和在3個坐標軸的分力矩τx、τy、τz，輸出位置變量和姿態(tài)變量，具體數(shù)據(jù)如下，見表1(角度仿真采用弧度進行計算)。

圖9 電機控制效率模型數(shù)據(jù)測量

表1 非標準X型四旋翼飛行器模型參數(shù)

4 PD串級控制

本文設(shè)計PD串級控制策略，根據(jù)期望值和實際輸出值構(gòu)成的偏差，將偏差通過比例和微分的線性組合對非標準X型四旋翼飛行器進行控制。如圖10所示，設(shè)計采用內(nèi)外環(huán)的控制策略，其中，內(nèi)環(huán)對非標準X型四旋翼飛行器姿態(tài)角參數(shù)進行控制，外環(huán)對非標準X型四旋翼飛行器的飛行高度和水平位置等物理量進行控制，外環(huán)控制器為內(nèi)環(huán)控制器提供指令。內(nèi)環(huán)控制器先對系統(tǒng)進行“粗調(diào)”，外環(huán)控制器再進一步對系統(tǒng)進行調(diào)控，因此，PD串級控制品質(zhì)優(yōu)于普通控制系統(tǒng)，其優(yōu)點是控制器的工作頻率增加，控制響應(yīng)時間減少。

圖10 PD串級控制閉環(huán)框圖

當有地面效應(yīng)或大氣紊流時，可以調(diào)節(jié)積分增益，提高姿態(tài)角的精度，從而消除穩(wěn)態(tài)誤差。在控制四旋翼時，無論室內(nèi)室外，四旋翼飛行高度一般不會低于1 m，地面效應(yīng)對四旋翼的影響微小，本文針對的是實驗室場景、晴朗無風或微風場景下，故不考慮大氣紊流對四旋翼的影響。并且，對于多變量的非標準X型四旋翼飛行器PID串級控制，PID控制增益的選擇非常復(fù)雜，DIY四旋翼時參數(shù)的調(diào)整難度大，故不考慮積分控制器。

4.1 PD內(nèi)環(huán)控制

PD內(nèi)環(huán)控制即姿態(tài)控制，姿態(tài)是一個隨動控制系統(tǒng)，它的期望值隨水平位置控制器(外環(huán))的輸出而變化。一般來說，姿態(tài)控制能夠被實現(xiàn)，水平位置跟蹤問題就可以被解決。

理想的PD控制器：

(12)

其中,u(t)為控制輸出；e(t)為姿態(tài)誤差，選擇設(shè)計參數(shù)kP和kD來實現(xiàn)期望的閉環(huán)性能。對式(16)作拉普拉斯變換，得到的方程如下式：

U(s)=(kP+kDs)E(s)

姿態(tài)控制器由3個解耦控制器組成，一個滾轉(zhuǎn)控制器，一個俯仰控制器和一個偏航控制器。由于本文設(shè)計的是理論模型，積分環(huán)節(jié)為0，不影響系統(tǒng)的控制誤差。在無外環(huán)控制下，選擇3個控制器的期望參數(shù)，模擬估計模型使用不同增益值得到的控制器參數(shù)，具體參數(shù)如表2所示。

表2 PD串級控制參數(shù)

非標準X型四旋翼飛行器PD串級控制參數(shù)的調(diào)節(jié)較為復(fù)雜，需針對各個軸分別進行PD控制參數(shù)的調(diào)節(jié)。首先針對無人機的內(nèi)環(huán)進行調(diào)參，控制其姿態(tài)，然后對外環(huán)進行調(diào)參，控制其位置。

比例增益系數(shù)太低，飛行器行動將變遲緩，增益系數(shù)過高，會導(dǎo)致誤差(超調(diào))過度修正，微分增益系數(shù)防止超調(diào)，抑制誤差變化，減小振動。由于垂直動態(tài)特性比水平動態(tài)特性快，因此水平動態(tài)控制將嚴重影響大變化的垂直動態(tài)。對于偏航角的控制，需達到期望高度后再控制角度。

4.2 PD外環(huán)控制

期望位置動態(tài)：

(13)

為實現(xiàn)定點控制，位置動態(tài)的期望速度和期望加速度均為0，故將式(13)化簡得到下式：

由于非標準X型四旋翼飛行器處于懸停狀態(tài)，ft/m≈g，sin(θ)≈θ，cos(θ)≈1，將式(7)化簡可得式(14)、式(15)：

(14)

(15)

由式(14)、式(15)可得：

(16)

根據(jù)水平位置控制量轉(zhuǎn)化為期望的姿態(tài)角指令φd，θd。由式(13)可知，通過外環(huán)的PD控制器可以求得期望水平位置加速度，通過式(16)矩陣求逆可以得到期望姿態(tài)角指令，如下式所示，具體數(shù)據(jù)參考表2。

5 仿真驗證

為驗證所提出的PD串級控制器的有效性，給定期望的偏航角為10*pi/180(弧度值)，期望的水平位置，x為1 m，y為1 m，設(shè)定高度z為-10 m，因為本文設(shè)定z軸向下為正方向，所以非標準X型四旋翼飛行器向上飛時，z的值應(yīng)為負值。

從仿真結(jié)果圖11中可以看出，圖11(d)中，飛行器在2 s內(nèi)持續(xù)平穩(wěn)垂直上升，姿態(tài)角和水平位置無變化，飛行器為了到達期望高度和位置，2s后開始產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)角和俯仰角，如圖11(a)(b)，且在飛行到一定高度后下降，飛行器最終在4 s 時穩(wěn)定在10 m高度，后趨于穩(wěn)定。滾轉(zhuǎn)角和俯仰角大角度的轉(zhuǎn)動，對水平通道位置的影響較大，如圖11(e)(f)，對高度通道位置影響微小，如圖11(d)，z只產(chǎn)生了微小的抖動。飛行器姿態(tài)角調(diào)節(jié)角度，飛行器向期望水平位置移動，并在10 s后，偏航角穩(wěn)定于0.175弧度，即偏航角為10°，如圖11(c)，最終在8 s后穩(wěn)定。滾轉(zhuǎn)角和俯仰角沒有大幅度的偏轉(zhuǎn)后，水平位置到達1 m后穩(wěn)定。

圖11 仿真曲線

6 結(jié)論

本文選用非標準X型四旋翼飛行器，模型更具普遍性，能夠適合實際應(yīng)用中對模型樣式的多種需求。通過討論非標準X型四旋翼飛行器的建模過程，系統(tǒng)的分析了模型內(nèi)部從輸入油門指令到動力學(xué)輸出位置和姿態(tài)的全過程，并對參考文獻[8-10]中未提及或詳細說明的動力單元模型轉(zhuǎn)速和控制效率模型螺旋槳拉力系數(shù)和螺旋槳轉(zhuǎn)矩系數(shù)的測量方法進行了補充，具有實際參考價值。為了便于DIY飛行器玩家根據(jù)不同的應(yīng)用場景調(diào)試參數(shù)來達到控制穩(wěn)定性，設(shè)計了連續(xù)多變量的PD串級控制器，通過內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制，外環(huán)位置控制，能夠更方便精準的實現(xiàn)對非標準X型四旋翼飛行器模型的進一步調(diào)控。