考慮剛度影響的雙輸入轉矩分流式齒輪系統均載特性*

魏 維，郭文勇，韓江桂，余平波

(1. 海軍工程大學 動力工程學院， 湖北 武漢 430033； 2. 武警海警學院 機電管理系， 浙江 寧波 315800；3. 中國人民解放軍61068部隊， 陜西 西安 710100)

轉矩分流齒輪系統具有重量輕、傳遞載荷大以及能夠降低傳動噪聲等優點，最早在直升機中得到應用。Rashidi[1]和White[2-3]分別對直升機轉矩分流傳動系統的動力學特性進行了研究；Krantz[4-5]等對直升機齒輪箱的均載特性以及振動特性進行了研究；White[3]對模型直升機力矩分流傳動系統進行了設計分析；Bechhoefer等[6]通過利用多種齒輪分析算法，對轉矩分流齒輪箱的性能狀態量化方法進行了研究?，F代船舶科技的發展對傳動系統功率密度提出了更高的要求，由此推動了轉矩分流齒輪系統在船舶動力系統中的研究與應用。張婷[7]、董皓[8]以及李楠[9]等分別對轉矩分流系統的固有特性和動載系數進行了求解。常樂浩等[10]以船用轉矩雙分流二級齒輪系統為研究對象，對系統的動態特性進行了求解。現有文獻雖然對轉矩分流輪系均載特性進行了較多研究，但在聯動軸扭轉剛度、齒輪支撐剛度等因素對均載特性影響方面研究不足，且尚無文獻研究軸位角對系統均載特性的影響，不能為船用轉矩分流輪系的設計與應用提供充分的理論支撐。

本文以船用雙輸入轉矩分流齒輪傳動系統(以下簡稱轉矩分流輪系)為研究對象，建立考慮時變嚙合剛度、時變齒側間隙等非線性因素的動力學模型，開展聯動軸扭轉剛度、支撐剛度、輸入轉速以及軸位角對系統均載特性影響的研究，為船用轉矩分流輪系的分析和設計提供理論依據。

1 系統動力學模型

轉矩分流輪系三維模型結構如圖1所示，其輸入端分別與主機的高壓輸出端和低壓輸出端相連，系統的動力傳遞路線自然分為高壓側和低壓側。為了提升傳遞效率、提高傳遞功率，高、低壓側分別采用轉矩分流形式的二級齒輪傳動，來自主機的功率最后通過Ⅱ級小齒輪與Ⅱ級大齒輪的嚙合傳遞到輸出軸。

圖1 轉矩分流輪系模型結構Fig.1 Model structure of torque-spilt gear system

轉矩分流輪系動力學模型如圖2所示，在建模時假設：輪轂為剛體，輪齒為彈性體；齒輪軸兩端的軸承具有相同的參數和動力學特性；組成人字齒輪的兩個斜齒輪具有相同的嚙合剛度、嚙合阻尼以及靜態傳動誤差；考慮傳動軸側扭轉變形。本模型中不考慮齒面摩擦以及偏心對系統的影響，同時忽略人字齒輪軸向振動。

圖2 轉矩分流輪系動力學模型Fig.2 Dynamic model of torque-spilt gear system

綜合以上分析，系統的廣義位移向量可表示為

(1)

2 系統動力學微分方程

2.1 動態嚙合力

隨著齒輪的轉動以及軸承間隙的變化，齒輪的中心坐標隨著時間發生變化進而引起嚙合中心距以及嚙合角的變化，使得齒側間隙也處于動態變化中，動態齒側間隙可表示為

b(t)=2b0+2a0(invα′(t)-invα0)cosα0

(2)

式中，α′(t)=arccos(a0cosα0/a′(t))，b0為初始齒側間隙，invα=tanα-α，a0、α0為初始安裝中心距和壓力角，a′、α′為齒輪運行過程中的中心距和壓力角。其中動態中心距可表示為

(3)

根據齒側間隙的分段特性，動態間隙的非線性函數可表示為

(4)

式中，δ(t)為齒輪嚙合動態傳遞誤差函數。

齒輪系統受到激勵力的作用，在平衡位置做微小振動，將振動狀態的x方向的相對位移以及y方向的相對位移轉換到嚙合線上，如圖3所示。

圖3 齒輪嚙合線相對位移Fig.3 Relative displacement of gear mesh line

(5)

考慮傳動系統的齒側間隙，各齒輪間動態嚙合力可表示為

(6)

由于齒輪嚙合剛度隨著齒輪的轉動具有明顯的周期性，為了后續計算的方便，斜齒輪法向綜合嚙合剛度可表示為Fourier級數的形式

(7)

式中，k0為平均嚙合剛度，k0=(0.75εα+0.25)kp，且有

(8)

(9)

其中：εα為端面重合度；ωm為嚙合頻率；kp=1/q為單對齒嚙合剛度，q的計算公式為

(10)

式中：zv1、zv2分別為大、小齒輪的當量齒數；zv=z/cos3β，其中β為齒輪螺旋角。

2.2 系統微分方程

考慮到傳動系統中高壓側與低壓側結構形式相對稱，因此微分方程相同，本文只對單側傳動系統的微分方程進行推導。根據對每個齒輪受力狀態進行的分析，再運用拉格朗日方程，得到各齒輪副的運動微分方程為

(11)

2.3 聯動軸扭轉剛度及阻尼計算

將聯動軸簡化為理想軸來處理，考慮其扭轉變形以及彎曲變形，不計聯動軸的質量。聯動軸的剛度計算模型如圖4所示。

圖4 聯動軸剛度計算模型Fig.4 Calculation model of linkage shaft

圖4中，Ds和ds分別為聯動軸的外徑和內徑，l為聯動軸長度，聯動軸兩端的自由度分別為{x1,y1,θ1}和{x2,y2,θ2}。根據材料力學的相關知識，聯動軸的扭轉剛度、彎曲剛度的計算公式為

(12)

式中：E和G分別是聯動軸材料的楊氏彈性模量以及剪切彈性模量；Ix、Iy和J分別是軸截面關于x、y軸的慣性矩以及截面的極慣性矩，計算公式為

(13)

(14)

式中，ξs為相對阻尼比系數，I1、I2分別為聯動軸兩端截面相對于中心的極慣性矩。

2.4 齒輪嚙合線夾角計算

齒輪嚙合線夾角計算模型如圖5所示。圖中用a1表示高壓側兩轉矩分流輪與Ⅱ級大齒輪中心連線的夾角，即線段O35O6與O24O6之間的夾角；用a2表示高壓側Ⅰ級小齒輪、Ⅱ級大齒輪中心連線與豎直方向的夾角，即線段O1O6與y方向的夾角；用a3表示高壓側兩轉矩分流輪與Ⅰ級小齒輪中心連線的夾角，即線段O1O24和O1O35之間的夾角?？紤]到高、低壓側齒輪傳動組各齒輪位置沿中軸線對稱，所以上述位置角低壓側與高壓側相同，此處不再論述。根據幾何關系，經過推導可以得到各齒輪嚙合線與x軸正向的夾角為

圖5 齒輪嚙合線夾角計算模型Fig.5 Calculation model of gear meshing angle

(15)

(16)

其中：αti為齒輪的端面壓力角；a1、a2如圖5中所標注，其大小決定了高、低壓側齒輪組的位置。根據幾何關系可知由a1能夠得到a3，其計算公式為

(17)

2.5 系統均載系數計算

(18)

(19)

3 系統均載特性分析

轉矩分流輪系均載特性的好壞直接決定了船舶動力系統的工作性能，因此本文在集中質量數學模型的基礎上對其進行數值仿真，以研究聯動軸扭轉剛度、支撐剛度、輸入轉速以及軸位角對系統均載特性的影響。本文采用4階定步長Runge-Kutta算法對系統微分方程進行求解。系統參數如表1所示，設高壓側輸入轉速為3 000 r/min。

表1 齒輪結構參數Tab.1 Parameters of gears

將聯動軸的扭轉剛度從105N·m/rad增加至107N·m/rad，分析扭轉剛度對轉矩分流系統均載系數的影響規律，計算結果如圖6所示。由圖中曲線可以看出，在所取扭轉剛度范圍內，系統輸入端、輸出端均載系數都隨著扭轉剛度的增加而增加。當扭轉剛度小于106N·m/rad時，均載系數對扭轉剛度的變化較為敏感；當扭轉剛度大于106N·m/rad時，均載系數的變化趨于平緩。由曲線變化規律可知，通過減小聯動軸的扭轉剛度，可以降低均載系數進而提升系統的均載特性。這是因為當扭轉剛度較小時，聯動軸可通過較大的扭轉變形吸收部分齒輪嚙合引發的沖擊，進而使得傳遞的力矩趨于平穩。

圖6 系統隨聯動軸扭轉剛度變化的振動響應Fig.6 Influence on load sharing coefficients with the changes of torsional stiffness of the linkage shaft

令轉矩分流系統輸出軸y向支撐剛度從107N/m增加至109N/m，對其進行數值計算，分析支撐剛度對系統均載特性的影響，計算結果如圖7所示。由圖中曲線可以看出，隨著支撐剛度的增加，系統輸入端、輸出端均載系數呈現先快速下降后平緩的變化趨勢。當支撐剛度小于108N/m時，支撐剛度對均載系數的影響較大；當支撐剛度大于108N/m時，增加支撐剛度對系統均載系數影響不大。由上可知，在一定范圍內增加輸出端支撐剛度有助于改善系統的均載特性。

圖7 系統輸出軸支撐剛度對均載系數的影響Fig.7 Influence on load sharing coefficients with the changes of support stiffness of the output shaft

令系統輸入轉速從1 000 r/min增加至6 000 r/min，對系統模型進行數值計算，研究在不同轉速下轉矩分流系統的均載系數變化規律，計算結果如圖8所示。由圖中曲線可以看出，系統均載系數在不同轉速下波動變化，輸出端均載系數大于輸入端均載系數，在4 100～4 400 r/min的輸入轉速區間出現了均載系數峰值，說明此時系統的嚙合頻率與固有頻率相近從而引發了諧振，其中高、低壓輸入端均載曲線出現了兩個諧振峰值，說明輸入端在此處有相鄰的兩階局部模態頻率。

圖8 系統輸入轉速變化對均載系數的影響Fig.8 Influence on load sharing coefficients with the changes of input speed

軸位角a1、a2是決定轉矩分流輪系結構布局的兩個重要的參數，在一定范圍內改變軸位角的數值，分析其變化對系統均載系數的影響。以齒輪間發生干涉為邊界條件，可計算得到a1的取值區間為[33.5°,41.2°]，在實際中a1的取值范圍應小于上述極限區間，同時對a1的邊界值取整，可得a1的計算取值區間為[34°,41°]。同理可得a2可取的最小值為37.9°，設其計算取值區間為[38°,90°]。計算所得均載系數結果如圖9所示。

由圖9(a)中均載系數分布曲面可以看出，軸位角一定時，均載系數輸出端大于高壓輸入端，高壓輸入端大于低壓輸入端，這與前述分析結果相

(a) 均載系數三維云圖(a) Three-dimensional diagram of load sharing coefficient

(b) 高壓輸入端均載系數(b) Load sharing coefficient of high pressure input end

(c) 低壓輸入端均載系數(c) Load sharing coefficient of low pressure input end

(d) 輸出端均載系數(d) Load sharing coefficient of output end圖9 軸位角變化對均載系數的影響Fig.9 Influence on load sharing coefficients with the changes of position angle

一致。圖9(b)～(d)為均載系數隨軸位角變化的二維云圖，由圖可直觀地看出不同軸位角組合時系統均載系數的分布情況。輸入、輸出端均載系數的變化規律相同；當a1=34°、a2=38°時均載系數最小，當a1=41°、a2為60°左右時均載系數最大。均載系數隨a1變化的規律與a2的值有關，分界值出現在a2為79°左右，此時均載系數幾乎不受a1變化的影響；當a2小于此分界值時，均載系數隨a1的增加而增加；反之均載系數隨a1的增加而減小。a1一定時，均載系數隨a2的增加呈現先增加后減小的趨勢。由上述分析可知，在保證齒輪不發生干涉的前提下盡可能減小軸位角可以提高系統的均載性能。

4 實驗驗證

對某型船用功率分支齒輪系統進行實驗，測試不同工況下齒輪系統的振動響應，將實驗結果與理論計算結果進行對比，以驗證本文齒輪系統動力學建模的正確性。

4.1 實驗裝置

齒輪系統實驗裝置如圖10所示，圖中1為電動機，2為齒輪增速箱，由電動機、增速箱以及中間的聯軸器共同組成了試驗系統的輸入單元；3為船用雙輸入功率分支試驗齒輪箱；4為支持軸承，5是齒輪增速箱，6是測功器，這3個裝置及其中間的聯軸器共同組成了試驗系統的負載單元。

圖10 功率分支齒輪系統實驗裝置布置Fig.10 Arrangement diagram of power-split gear system

4.2 測試原理及實驗工況

在實驗前對整個測試系統進行校準，包括各個加速度傳感器、信號放大器以及數據自動采集處理系統。將各個測點打磨平整并做好標記，傳感器磁性底座放于各測點上。測試時，將由BK4384壓電加速度傳感器測得的振動信號經DLF-8電荷電壓濾波積分放大器放大，并積分變為振動信號后進入INV306U-5260智能信號采集處理分析儀進行采集，最終數據進入信號分析系統進行分析。圖11為齒輪實驗系統測試框圖。

圖11 齒輪振動分析系統框圖Fig.11 Structure of vibration test system

齒輪系統測試運行工況如表2所示。輸入轉速分別為2 860 r/min、4 090 r/min以及6 650 r/min，對應的負荷分別為350 kW、1 100 kW以及3 000 kW。

表2 系統測試運行工況Tab.2 Operation conditions of test system

4.3 實驗結果及分析

對系統高壓端輸入轉速進行設置，令nin分別為2 860 r/min和4 090 r/min，對應的負載功率Pload分別為350 kW和1 100 kW，取輸出齒輪軸承處測點豎直方向振動加速度數據，經FFT變換為頻域信號后與理論計算結果進行對比，如圖12所示。

(a) nin=2 860 r/min,Pload=350 kW

(b) nin=4 090 r/min,Pload=1 100 kW圖12 不同工況下理論計算結果與實驗測試結果對比Fig.12 Comparison between theoretical calculation and experimental test under different condition

由圖12(a)可知，當輸入轉速為2 860 r/min時，實驗測試頻譜的主要成分為二級嚙合頻率428.7 Hz及其二倍頻863.9 Hz、高壓一級嚙合頻率1 764 Hz以及低壓一級嚙合頻率1 717Hz，上述頻譜理論計算的結果為429.1 Hz、858.2 Hz、1 763 Hz以及1 690 Hz，理論計算結果與實驗測試結果基本相同。在圖12(b)中，當輸入轉速為4 090 r/min時，高、低壓一級嚙合頻率的理論值分別為2 522 Hz和2 417 Hz，對應的幅值為1.6 m/s2和0.45 m/s2；實驗結果的頻率為2 523 Hz和2 418 Hz，對應的幅值分別為1.88 m/s2和1.72 m/s2。理論計算的二級嚙合頻率及其幅值為613.6 Hz和0.42 m/s2，實驗結果與理論計算結果吻合得較好。

綜上所述，理論計算結果與實驗測試結果在頻率和幅值上基本保持一致，可以說明本文所建齒輪系統動力學模型的正確性和分析方法的合理性。在部分頻率上的幅值存在一定的偏差，其原因有以下幾個方面：理論計算時沒有考慮齒輪箱箱體及其輔助裝置的影響；在建模時沒有考慮齒輪的制造、安裝、偏心等因素對系統的影響；在進行測量時也會帶來一定的誤差。

5 結論

本文建立了雙輸入轉矩分流齒輪系統的非線性動力學模型，以系統輸入、輸出端的均載特性為研究目標，分別計算了系統隨聯動軸扭轉剛度、輸出軸支撐剛度、輸入轉速以及軸位角變化的均載系數，通過對結果的分析可得以下結論：

1)輸出端的均載系數大于輸入端的均載系數，高壓輸入端的均載系數大于低壓輸入端的均載系數。

2)系統輸入端、輸出端均載系數都隨著聯動軸扭轉剛度的增加而增加，當扭轉剛度大于106N·m/rad時，其變化對均載系數的影響較小。

3)系統輸入端、輸出端均載系數隨著支撐剛度的增加呈現先下降后平緩的變化趨勢。當支撐剛度小于108N/m時，支撐剛度對均載系數的影響較大；當支撐剛度大于108N/m時，支撐剛度對系統均載系數影響不大。

4)系統均載系數在不同轉速下呈現波動變化，在4 100～4 400 r/min輸入轉速區間出現了均載系數的峰值，說明此時系統發生了諧振，實際系統中應避開此工作轉速區間。

5)軸位角a2的值會影響均載系數隨a1變化的規律，在a2為79°左右時會出現臨界狀態，此時均載系數幾乎不受a1變化的影響；當a2小于此分界值時，均載系數隨a1的增加而增加；反之均載系數隨a1的增加而減小。a1一定時，均載系數隨a2的增加呈現先增加后減小的趨勢。

6)通過實驗結果與理論計算的對比，兩者結果相吻合，驗證了本文所建模型的正確性和分析方法的合理性。