LTE 和Wi-Fi 網絡的雙時間尺度未授權頻譜劃分算法

吳偉華，劉潤滋，楊清海

（1.西安電子科技大學通信工程學院，陜西 西安 710071；2.西安建筑科技大學信息與控制工程學院，陜西 西安 710055）

1 引言

與授權頻譜不同，未授權頻譜對滿足相關規定的任何運營商都是完全開放的。因此在未授權頻譜上部署長期演進（LTE,long term evolution）技術網絡以獲得吞吐量的提升越來越流行[1]。但是，未授權頻譜上的Wi-Fi 設備通過載波監聽多路訪問（CSMA,carrier sense multiple access）協議來實現對未授權頻譜的占用，未授權頻譜部署LTE 可能擠占Wi-Fi 的資源并造成Wi-Fi 吞吐量的下降。

一種常見的Wi-Fi 和LTE 的共存方法是將它們分別運行在2 個分離且不重疊的頻譜上[2]。然而，對未授權頻譜進行固定劃分通常會帶來很大的問題。由于LTE 和Wi-Fi 構成的異構網絡是一個時變的動態網絡，固定的劃分方法很難自適應網絡狀態的動態變化[3]。因此，自適應的頻譜劃分策略成為實現LTE 和Wi-Fi 共存的必備選項。傳統的自適應的頻譜劃分策略普遍采用基于快照形式的資源管理。傳統算法如圖1(a)所示，當網絡狀態發生變化時，需要重新對算法的輸入進行初始化，并對算法進行迭代直至收斂到當前時隙的最優點。這種自適應策略的性能提升以終端設備和中央管理器之間較高的信令開銷為代價[3-4]，例如，軟件定義網絡（SDN,software defined network）或網絡功能虛擬化（NFV,network functions virtualization）。因此，需要設計一種低成本的自適應頻譜劃分策略。補償算法如圖1(b)所示，當網絡狀態發生變化時，自適應頻譜劃分算法僅需一次迭代就能找當前時隙的最優點。圖1 中，縱坐標所示頻譜劃分為歸一化頻譜劃分。

圖1 頻譜劃分算法的不同迭代策略

此外，LTE/Wi-Fi 網絡的不同信道狀態信息（CSI,channel state information）只能在不同的時間尺度上獲取。具體來說，所有Wi-Fi 設備以競爭的方式來占用相同頻譜，這使Wi-Fi 的頻譜劃分決策取決于Wi-Fi 網絡中的所有CSI。基于CSMA 網絡的傳輸時延和不可靠性，難以實時獲取全局CSI。與Wi-Fi 設備不同，LTE 設備工作在不同的專用頻段上，因此其頻譜劃分決策僅取決于局部CSI。通過利用LTE 的上行傳輸鏈路，局部CSI 能夠輕松地實時獲取。如果對Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分決策都進行純小時間尺度的控制，則該算法必須實時地獲取局部CSI 和全局CSI，這在實際的無線網絡中很難實現。另一方面，如果對頻譜劃分決策都進行純大時間尺度的控制，那么得到的算法必將過于保守，導致浪費很多瞬時的傳輸機會。根據上述觀察，有必要對Wi-Fi 和LTE 的頻譜劃分決策進行混合時間尺度的控制。

本文提出了一種低成本的雙時間尺度頻譜劃分算法，其中，Wi-Fi 頻譜根據全局統計CSI 在較大的時間尺度上進行劃分，而LTE 頻譜根據快速變化的本地CSI 在較小時間尺度上進行劃分。為了減少算法迭代和信令交換產生的開銷，當網絡狀態在相應的大時間尺度和小時間尺度上發生變化時，僅對Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分決策進行一次迭代。本文為雙時間尺度的迭代算法設計了一個自適應補償機制，以補償算法輸出與目標最優頻譜劃分決策之間的跟蹤誤差。最后，本文證明了算法的收斂性等同于一個虛擬隨機動態系統的穩定，并通過計算虛擬隨機動態系統穩定性，得出了雙時間尺度算法收斂的充分條件。

2 系統模型

在LTE/Wi-Fi 系統中，后端的云服務器負責協調管理LTE 和Wi-Fi 在未授權頻譜上的共存[3]。系統模型如圖2 所示。

圖2 系統模型

假設系統由一個LTE網絡和M個Wi-Fi網絡組成，其中，wDevice 表示連接到Wi-Fi 的移動設備，sDevice 表示連接到LTE 的設備，K m表示Wi-Fi 網絡m服務的wDevice 集合，L表示sDevice 集合。在不失一般性的前提下，假設LTE 使用頻分復用技術來承載所有的sDevice。集合Km中的wDevice 通過CSMA 協議來競爭未授權頻譜并訪問核心網絡。Wi-Fi 網絡吞吐量的計算方法由ICN（ideal CSMA network）模型給出[5]。根據ICN，不同wDevice 之間相互競爭和交互的結果可以抽象為傳輸機會，通常表示為1/|Km|，其中|Km|是集合Km中的設備數。假設整個未授權頻譜的寬度為B，αm和ρl分別表示Wi-Fi 網絡m和sDevicel的未授權頻譜劃分決策，則與Wi-Fi 網絡m相關聯的wDevice 設備k可實現的吞吐量為[5]

其中，pk為發射功率，N0為高斯背景噪聲的功率譜密度，h為鏈路kk的信道增益。根據ICN 的計算方法，可得Wi-Fi 網絡m的吞吐量為

由式(2)可以看出，Wi-Fi 網絡m的吞吐量取決于和其相連的所有wDevice 的CSI。因此，Wi-Fi網絡m的頻譜劃分決策αm取決于全局的CSI。

在LTE/Wi-Fi 網絡中，LTE 能夠為sDevice 設備l劃分專用的頻譜ρl。因此，sDevice 設備l的吞吐量為

其中，pl為發射功率，gl為鏈路l的信道增益。從式(3)可以看出，sDevice 設備l的頻譜劃分決策僅取決于局部CSIgl。

為了描述簡便，使用h來建模LTE 和Wi-Fi 網絡中CSI 的動態模型，h=hlhs，其中，hl是大時間尺度信道衰落，hs是小時間尺度信道衰落。hs的動態變化由以下隨機微分方程（SDE stochastic differential equation）建模[6-7]，如式(4)所示。

其中，a表示信道h的前后時間相關性，W表示一個具有單位方差的標準復合維納過程。大時間尺度的CSI 模型可以建模為hl=Gh0D-ι，其中，ι表示路徑損耗因子，G表示電路放大器和天線導致的功率增益常量，h0～CN(0,1)表示復高斯變量，D≥Dmin表示發射機和接收機之間的距離。因此，大時間尺度 CSI 的動態變化模型可以計算為dhl=-Gh0ιD-ι-1dD。假設發射機和接收機之間的相對移動速度為v，可得D=vt和dD=dv t。根據以上結論，大時間尺度的CSI 動態模型可以建模為

對于CSI 的動態模型，小時間尺度hs滿足高斯平穩分布，因此|hs| 服從瑞利分布。對于大時間尺度CSI，表示hl的大時間尺度參數。

受限于Wi-Fi 網絡的傳輸時延和不可靠性，它所需要的全局信息只能在相對較大的時間尺度上獲得。因此，Wi-Fi 只能根據大時間尺度的CSI 信息{,}?k∈K來進行頻譜劃分決策。LTE 網絡能夠實時獲取本地CSI，則它可以根據2 個時間尺度的CSI 信息lsh=h h來進行頻譜劃分決策。在無線m網絡中，評估每個網絡的吞吐量仍然是確保所有共存網絡可以維持一定服務水平的常用方法。因此，網絡優化問題可以描述為LTE 和Wi-Fi 網絡吞吐量的最大化問題，如式(6)所示。

其中，w1和w2分別表示LTE 和Wi-Fi 的權重，即網絡運營商對不同網絡的服務偏好；約束條件表示劃分的頻譜不能超過總帶寬。

3 雙時間尺度迭代算法

3.1 基于補償的頻譜劃分迭代算法

上述關于系統模型的討論說明Wi-Fi 網絡的頻譜劃分變量α=[α1,…,αM]T和LTE 網絡的頻譜劃分變量ρ=[ρ1,…,ρL]T分別受到LTE 和Wi-Fi 網絡中不同時間尺度CSI 的影響。根據分尺度的CSI 架構，可以將式(6)分解成不同時間尺度的子問題。

對于給定的Wi-Fi 頻譜劃分變量α，LTE 網絡的頻譜劃分變量ρ可以通過求解式(7)得到。

為了證明優化問題式(7)為一個凹問題，首先定義以下2 個函數

其中，p=[p1,…,pL]T。由于Λ(p)是對數函數的和，因此它是一個凹函數。不難發現Γ(ρ,p) 是Λ(p) 的透視函數，則Γ(ρ,p) 也是一個凹函數。式(7)優化問題的目標函數是給定p*的Γ(ρ,p*)，則目標函數也是一個凹函數。考慮到優化問題的約束條件為線性約束，則優化問題是一個凹問題。

對于給定的LTE 網絡頻譜劃分變量ρ，Wi-Fi網絡的頻譜劃分問題可以描述為

式(8)問題可以看作在給定LTE 網絡頻譜劃分變量下的式(6)問題。用式(7)問題中同樣的證明方法可以證明式(6)問題是一個凹問題，則式(8)問題也是一個凹問題。

下面，分別介紹如何解決這2 個凹問題。首先，給出LTE 網絡頻譜劃分問題的拉格朗日形式為

其中，g=[g1,…,gL]T，λ為拉格朗日乘子。求拉格朗日函數Lρ(g;ρ,λ)關于ρ和λ的導數，可以得到

用原始對偶算法來搜索頻譜劃分的最優值，即得到迭代算法為

其中，γ為步長參數，ns為時隙索引。為了表示方便，令x=[ρT,λ]T表示LTE 頻譜劃分變量，則LTE頻譜劃分的迭代算法可以表示為

其中，nf為幀索引。

對于Wi-Fi 網絡頻譜劃分問題，將式(8)問題的最大化表示為

則Wi-Fi 頻譜劃分的迭代算法可以設計為

其中，μ為步長因子。

根據不同CSI 的獲取時間尺度，將網絡的運行時間劃分為幀和時隙，每一個幀包含Ns個時隙。則LTE 的頻譜劃分算法和Wi-Fi 的頻譜劃分算法分別在每一個時隙和每一幀進行一次迭代。算法的迭代尺度如圖3 所示。

圖3 算法的迭代尺度

算法的跟蹤性能如圖4 所示，其中縱坐標所示頻譜劃分為歸一化頻譜劃分。客觀上，隨機優化式(6)問題一定存在一個和隨機信道狀態相關的最優解。當不同時間尺度的隨機信道狀態發生變化時，最優解（也稱為均衡點）在隨機信道狀態的驅動下動態變化。由于本文設計LTE 的頻譜劃分算法和Wi-Fi的頻譜劃分算法分別在每一時隙和每一幀只進行一次迭代，并且信道狀態也在隨算法的迭代而變化，因此迭代算法的輸出解很難跟蹤均衡點的動態變化。將算法的輸出解和均衡點之間的誤差定義為跟蹤誤差。不難理解，跟蹤誤差的存在導致算法很難收斂，因此有必要研究算法的跟蹤性能。

圖4 算法的跟蹤性能

為了分析方便，可以將不同時間尺度的離散迭代索引ns和nf映射到實數域，即sns=γns和snf=μnf。則算法迭代的軌跡可以用以下連續方程來描述

給定時隙的長度為τ，則幀和時隙的離散迭代索引分別為ns=t/τ和nf=t/τNs，因此，實數sns和snf與時間t的關系可以表示為

如果將時隙的長度看作一個單位，則式(11)可以表示為

根據式(11)和式(12)的建模分析，離散的算法迭代可以抽象為平均連續時間動態系統（MCTS,mean continuous time dynamic system），如圖4 中的虛線所示。算法的均衡點(x*,α*)一定滿足G(g;x*,α*)=0和K(h;α*)=0。事實上，當網絡中的CSI 為靜態時，均衡點是固定不變的。然而在時變的無線網絡中，均衡點隨著隨機CSI 的變化而變化。根據最優條件（G(·)=0和K(·) =0）和隱函數定理，均衡點的動態變化過程可以由以下MCTS 建模

將式(12)中的算法迭代和式(13)中均衡點相減可以得到跟蹤誤差為

從式(14)和式(15)可以看出，當dg和dhl都為0時，跟蹤誤差可以收斂為0。然而，動態隨機變化的CSI 會對算法的迭代產生持續的擾動，這會導致跟蹤誤差(xe,αe)很難收斂到0，因此迭代算法的輸出很難跟蹤均衡點的變化。為了提高算法的跟蹤性能，可以為式(12)中的算法設計補償項來抵消dg，dhl和dα*為對算法的迭代產生的擾動。基于這點考慮，設計基于補償的頻譜劃分迭代算法，如式(16)和式(17)所示。

3.2 算法的收斂性分析

在設計式(16)和式(17)中的補償機制時，補償項φxgdg、φxαdα和φαhldhl并不是根據均衡點(x*,α*)得出的，而是用算法的當前輸出值(x,α) 取代。這是因為在算法的運行過程中均衡點是不可能提前得到的，因此補償項只能根據算法的當前輸出值來計算。不難理解，根據算法當前輸出值設計的補償算法并不符合根據式(14)和式(15)得到的理論值。因此，仍然不能確定得到的補償算法是否能實時地跟蹤均衡點的變化。為了研究補償算法的跟蹤性能，首先計算補償算法和均衡點之間的跟蹤誤差為

然后，式(4)和式(5)代入式(18)和式(19)，隨機誤差可以動態建模為式(20)所示的虛擬隨機動態系統（VSDS,virtual stochastic dynamic system）。

若式(20)中的VSDS 能夠在(0,0) 處逐漸穩定，則跟蹤誤差(xe,αe) 能夠收斂到(0,0) 。因此，式(20)表明基于補償的頻譜劃分迭代算法的收斂等同于VSDS 的穩定。VSDS 的穩定性可以由李雅普諾夫穩定性理論來證明[8]。定義一個關于VSDS 狀態u的李雅普諾夫能量函數為

則V(u) 的李雅普諾夫漂移可以由引理1 給出。

引理1假設隨機過程u可以由以下SDE 建模[7]

其中，W是一個標準的復合維納過程，則V(u) 的李雅普諾夫漂移可以計算為

引理1 構建了一個李雅普諾夫漂移LV(u) 和式(20)中SDE 之間的一個橋梁。因此，式(20)中VSDS 的穩定性可以通過研究其李雅普諾夫漂移的特性來刻畫，因此給出引理2。

引理2假設隨機過程u(t) 的李雅普諾夫漂移滿足如下條件

其中，θ是一個正的常量，s是一個滿足如下條件的隨機過程

其中，d＜∞，則隨機過程u(t) 一定穩定并且滿足如下條件

證明證明過程可參考文獻[7]。

在證明VSDS 的穩定性之前給出以下假設條件。

根據引理1 和假設條件，可以得到定理1。

定理1如果算法的步長因子滿足條件

則小時間尺度迭代算法和均衡點之間的跟蹤誤差能夠收斂到0，并且大時間尺度迭代算法和均衡點之間的跟蹤誤差滿足上限

證明將大時間尺度跟蹤誤差αe的李雅普諾夫能量函數定義為

根據引理1，式(19)的李雅普諾夫漂移可以轉化為

其中，c＞0 是常量。需要指出的是，上式中存在以下關系

隨后定義一個關于xe的李雅普諾夫函數

大時間尺度信道衰落h1和用戶的位置相關，因此它的變化相對緩慢。而小時間尺度信道狀態hs則變速變化，通常情況下為毫米級[8]。在相同的實數單位內，dh1的量值要比dhs小得多，因此證明中省略了dh1。根據以上結果，如果

則跟蹤誤差xe能夠收斂到0。

證畢。

在所提的雙時間尺度迭代算法中，小時間尺度算法在每一個時隙需要O(1)次迭代，大時間尺度算法在每一個幀需要O(1)次迭代，則它在每一個時隙需要平均O(1/Ns)次迭代，因此算法的平均復雜度為O(1 +1/Ns)。

4 仿真分析

在仿真中，假設系統包含一個LTE 網絡和2 個Wi-Fi 網絡，并且每一個網絡服務3 個移動終端設備。假設所有的移動終端設備采用列維行走模型在系統中隨機移動[9]。所有移動設備的最大移動速度設置為vmax=2 m/s。每一個幀包含100 個時隙，即Ns=100，每個時隙為1 ms。移動設備和接入點之間的最小距離Dmin=40 m，路徑損耗指數為ι=3[7]。功率增益常量G=，信道的前后時間相關性參數設置為a=0.01。w1和w2設置為0.75 和0.25。仿真中，將雙時間尺度迭代算法和以下幾個策略進行對比。

1) 單時間尺度最優策略[5]。在每一個時隙，單時間尺度最優策略都會描述一個和式(6)一樣的頻譜劃分問題，并且調用一個次梯度算法來尋找當前時隙的最優解。假如單時間尺度最優策略的目標是ε-最優，即每個時隙內迭代算法的停止門限為|λ-λ*|≤ε，則單時間尺度最優策略需要在每一個時隙內進行O(1/ε2)次迭代。很明顯，單時間尺度最優策略的復雜度比雙時間尺度迭代算法高得多。

2) 無補償雙時間尺度策略。在無補償雙時間尺度策略中，Wi-Fi 和LTE 的頻譜劃分按照式(9)和式(10)分別在每個時隙和每個幀進行一次迭代。

3) 均衡點策略。均衡點策略利用次梯度迭代算法分別在每一時隙和幀找到問題式(7)和式(8)的ε-最優解。不難理解，當ε非常小時，均衡點算法得到的解可以看作雙時間尺度優化問題的最優解。

圖5 和圖6 分別通過展示Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分變量（歸一化頻譜）在不同時間尺度上的移動軌跡來驗證基于補償的雙時間尺度迭代算法的跟蹤性能。本文實驗中容忍度參數被設置為一個非常小的值。因此均衡點算法的輸出解可以作為最優解。從圖5 和圖6 可以看出，由于時變CSI 的影響，Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分均衡點分別在不同的時間尺度上劇烈變化，說明無補償雙時間尺度算法很難跟蹤上均衡點的動態變化。得益于式(16)和式(17)中所設計的補償項，基于補償的雙時間尺度迭代算法能夠實現對均衡點的準確跟蹤。

圖7 和圖8 分別為加權網絡吞吐量和平均迭代次數與算法容忍度ε之間的關系。通過圖7 可以發現，均衡點算法總是能夠獲得一個和單時間尺度算法接近的網絡吞吐量。然而從圖8 可以看出，當ε<10-4時，單時間尺度算法所需的迭代次數比均衡點算法高得多。這驗證了雙時間尺度算法設計的合理性，也就是說不同的網絡狀態分別按不同的時間尺度變化，如果在每一個時隙上對所有的算法都進行多次迭代，則會帶來大量的計算開銷。從圖7 可以看出，當ε比較小時，均衡點算法能夠獲得比基于補償的雙時間尺度迭代算法和無補償雙時間尺度算法更高的網絡吞吐量；均衡點算法需要在每一個時隙內對算法進行多次迭代以獲得ε-最優，這無疑會帶來巨大的迭代開銷。與均衡點算法不同，無論是無補償雙時間尺度算法還是基于補償的雙時間尺度算法，都只需要在每一個幀和時隙內進行一次迭代。當ε比較大時，盡管均衡點算法的迭代開銷和其他算法差不多，但是其獲得的網絡吞吐量要比其他算法小得多。與此形成對比的是基于補償的雙時間尺度迭代算法能夠在比較低的迭代開銷的情況下得到較好的網絡吞吐量性能。

圖5 Wi-Fi 頻譜劃分變量在大時間尺度上的移動軌跡

圖6 LTE 頻譜劃分變量在小時間尺度上的移動軌跡

圖9 和圖10 分別為加權網絡吞吐量和算法平均迭代次數與信道時間相關系數a之間的關系。從圖9 可以看出，網絡加權吞吐量隨著a的增加而減小。這是因為a越大，無線信道的波動越大，網絡傳輸條件越差，從而導致網絡加權吞吐量越低。從圖9 還可以看出，無論網絡條件的好壞，基于補償的雙時間尺度算法始終能夠獲得比無補償雙時間算法更好的性能。雖然均衡點算法和單時間尺度最優算法能夠獲得比基于補償的雙時間尺度算法更好的吞吐量性能，但是從圖10 可以看出，它們獲得的吞吐量性能提升的代價是非常高的算法迭代開銷。

圖7 加權網絡吞吐量與算法容忍度之間的關系

圖8 平均迭代次數與算法容忍度之間的關系

5 結束語

為了實現LTE 和Wi-Fi在未授權頻譜上的和諧共存，本文設計了一種基于補償機制的雙時間尺度頻譜劃分算法。具體而言，Wi-Fi 的頻譜根據全局CSI 進行劃分并且運行在以幀為單位的大時間尺度；LTE 依據局部CSI 進行頻譜劃分并且運行在以時隙為單位的小時間尺度。利用隨機微分方程將雙尺度迭代算法的跟蹤誤差建模為虛擬隨機動態系統。最后，通過使虛擬隨機動態系統穩定得到了算法收斂的充分條件。

圖9 加權網絡吞吐量和信道時間相關系數a 的關系

圖10 算法迭代次數和信道時間相關系數a 的關系