基于信道相關性的物理層安全性能分析

吳宣利，許智聰,2，王禹辰，李勇

（1.哈爾濱工業大學電子與信息工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.清華大學電子工程系，北京 100084；3.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081）

1 引言

在無線通信飛速發展的時代，通信系統的安全性能日益受到人們的重視。滿足不同業務對于時延、能效、峰值速率、連接密度等指標的相關需求，將成為5G 移動通信發展的重要方向。但同時，系統安全性方面的問題亟待被研究，信息安全機制需要緊跟通信技術發展的步伐[1]。傳統安全機制是建立在網絡上層的密碼加密體制以及安全協議體系，這種做法是以計算能力來換取信息的安全性，極大地增加了計算的復雜度。但是隨著科技的進步，計算機的計算能力得到了指數級別的增長，這使復雜的密鑰可能被強大的計算能力暴力破解。因此，在傳統安全機制面臨威脅的情況下，單一的密碼體制亟待被完善，需要引入物理層安全新機制來增強系統的安全性。

物理層安全基于信息論的理論指導，利用物理層的自身特性實現保密通信，同時可以結合上層加密技術實現對系統的跨層安全設計，因此成為學者關注的熱點問題。相較于有線通信系統，無線通信系統由于其部署不受地形條件的限制、作用范圍更廣泛的特點而具有一定的優勢。然而，除了上述優勢，無線通信系統由于無線信道具有開放性的特點，致使信息的安全傳輸存在隱患。近年來，隨著對無線信道認知的完善，學者認識到無線信道隨機衰落的特性為安全傳輸提供了有效保障，其核心在于利用信道的噪聲和多徑帶來的隨機性實現對傳輸信息的加密，提升主信道的通信質量，從而使非法竊聽者獲得的信息量趨于零。

物理層安全的本質是信息論安全，相關研究可以追溯到Shannon[2]提出的完全保密理論。在完美保密模型的基礎上，Wyner[3]提出了竊聽信道模型，證明了當竊聽信道是主信道的某種退化形式時，存在某種安全編碼，使發送端到合法接收端的信息安全傳輸速率最大化；同時定義該信息安全傳輸的最大速率為系統的保密容量。文獻[4]研究了在主信道為無噪信道且竊聽信道為其對稱信道時，系統保密容量的解析表達式。文獻[5]將保密容量的解析表達式推廣至加性白高斯噪聲（AWGN,additive white Gaussian noise）信道。然而，由于信息論安全模型過于理論化，文獻[3]的研究最初并未受到研究者的廣泛關注。隨著無線通信的發展，人們對無線信道模型的研究更加充分。文獻[6]研究了準靜態瑞利衰落信道下的遍歷保密容量及中斷概率的解析表達式。針對上述基于保密容量的分析，學者通過人工噪聲、功率分配等手段來提高系統的保密性能。文獻[7]研究了主信道是AWGN 信道、竊聽信道是瑞利衰落信道時，利用高斯隨機碼實現安全傳輸的方案。文獻[8]研究了主竊信道均為瑞利衰落信道時的安全傳輸方案。文獻[9]針對多天線目的節點提出一種切換分離式最優天線選擇方案，給出相應的安全性能指標閉合表達式。文獻[10]研究了私密信號和人工噪聲之間的最優功率分配，并給出了人工噪聲工作的臨界信噪比。

上述研究均假設主竊信道相互獨立，并不具有信道相關性。但是，受噪聲、信道估計時差、竊聽者位置等因素的影響，竊聽者即使只是被動竊聽，不對合法信息進行干擾，也能夠從發送的信號中獲得部分信道特征，這會影響系統的安全性能。此外，在實際的無線電環境中，合法接收者和竊聽者之間的距離較近及其周圍的散射體相似性較高，均會導致2 個接收機的接收信號之間存在高度相關性。在這些場景下，無法始終保證主信道的信道狀態優于竊聽信道，導致傳輸的信息不再安全[11]。文獻[12]研究了瑞利衰落信道下，接收端處于高信噪比區域時系統遍歷保密容量的表達式；文獻[13]在此基礎上研究了對數正態衰落信道下，接收端處于高信噪比區域時系統遍歷保密容量的表達式。

通過上述分析可以發現，物理層安全利用無線信道的隨機性，即使在主信道狀態較差的情況下，仍然能夠實現信息的安全傳輸。雖然現有文獻分析了保密容量在相關衰落信道下，接收端處于高信噪比區域時的漸近性能，但是并未給出任意信噪比區域時系統遍歷保密容量與中斷概率的精確性能表達式。為了解決這一問題，本文首先建立了相關瑞利衰落信道的信道模型，通過合法接收端和竊聽端的聯合信噪比分布推導，得到了遍歷保密容量和中斷概率的精確性能表達式，并在此基礎上得到了主竊信道的信道狀態差異較大和較小2 種情況下，遍歷保密容量和中斷概率的漸近性能表達式。通過分析可以發現，當主竊信道相互獨立時，較差的主信道狀態會導致系統的保密容量趨于零；但主竊信道間相關性的存在使上述結論不再成立。因此，分析信道相關性對物理層安全性能的影響對保密系統的設計具有重要的理論意義和實際應用價值。本文的創新性總結如下。

1) 在相關瑞利衰落信道模型下，分析得到了接收端聯合信噪比分布，在此基礎上推導得到了遍歷保密容量和中斷概率的精確性能表達式。

2) 針對主竊信道狀態差異較大和較小2 種不同的場景，分別得到了遍歷保密容量和中斷概率的漸近性能表達式。

3) 研究結果表明，相關性對系統安全性能的影響并不單一，而是與接收端的平均信噪比、信道增益比以及所設置的目標速率等多種因素有關。

2 系統模型

在實際的無線通信環境中，2 個信道之間的相關性是普遍存在的[14-15]。合法接收者和竊聽者之間的距離較近及其周圍的散射體相似性較高，均會導致2 個接收機的接收信號之間存在高度相關性，該相關性的產生與信道自身的特性有關，因此，本節首先分析產生相關性的因素，給出相關系數的計算式，并建立相關瑞利衰落信道系統模型。

2.1 相關系數

在多徑衰落信道中，信道的相關性與時間差τ、多普勒頻移fm、天線距離d、信號波長λ等信道特征參數有關。當合法接收端與竊聽端之間的距離較近時，信道的時間相關性與空間相關性等價。信道相關系數可由式(1)計算[16]。

2.2 相關瑞利衰落信道模型

圖1 考慮相關瑞利衰落信道的保密通信系統模型

由文獻[17]可知，高斯隨機變量可由相互獨立的高斯隨機變量的線性組合來表示，即hM、hE可分別表示為

其中，Cov[g]是協方差計算，E[g]是均值計算，D[g]是方差計算。由式(6)可知，變量X0和Y0的存在使信道衰落系數hM、hE之間具有相關性。同時，可以看出主竊信道之間的信道相關系數是在一段時間之內統計變量，而不是瞬時變量。

式(7)表明了相關系數對主竊信道的相似程度的影響。相關系數ρ越大，主竊信道差值的方差越小，表明二者的相似程度越高；反之，相似程度越低。

本文為簡化分析，通過改變權重系數α和β使信道相關性變化，并對應無線信道中時間差τ、天線距離d等實際場景下信道參數的變化。結合式(1)和式(6)得到等價關系式為

為求解接收端聯合信噪比分布fγMγE(x,y)，根據圖1 所示系統模型，接收端瞬時信噪比γM、γE可分別表示為

在條件T=t下，γM、γE服從非中心χ2分布[16]，則其條件概率密度分別為[18]

其中，I0(x)是第一類零階修正貝塞爾函數。

結合式(11)～式(13)，可計算γM和γE的聯合概率密度函數fγMγE(x,y)為

將式(6)代入式(14)可得

3 安全性能分析

本節將分析信道相關性對單輸入單輸出（SISO,single-input single-output）系統安全性能的影響，具體由遍歷保密容量和中斷概率2 個指標衡量。根據式(15)所示合法接收端和竊聽端的聯合概率密度函數，推導得到基于Marcum Q 函數表示的精確性能表達式，并在此基礎上推導得到主竊信道的信道狀態差異較大和較小2 種情況下的漸近性能表達式。

3.1 遍歷保密容量分析

SISO 系統中，主信道和竊聽信道的信道容量分別如式(16)和式(17)所示。

文獻[6]給出了準靜態瑞利衰落信道下SISO 系統瞬時保密容量的表達式，如式(18)所示。

由于衰落信道具有隨機性，因此瞬時保密容量同樣表現出隨機性。為消除隨機引起的波動，通常采用遍歷保密容量衡量衰落信道下系統的安全性能，其定義如下。

定理1主竊信道相關的場景下，遍歷保密容量精確性能計算式為

證明根據文獻[19]可以得到式(19)的表達式為

其中，F(y)為積分變限函數，定義為

將式(15)代入式(22)可得

將式(23)代入式(19)可得

其中，E1(x) 為指數積分函數，定義為

其中，G(y)同樣為積分變限函數，定義為

由文獻[20]可得

將式(27)代入式(25)，定理1 證畢。

證明根據Marcum Q 函數展開式(30)可得

由于合法接收端通常處于高信噪比區域，即→∞，對應于系數A→ 0+。將式(30)代入式(20)，可得近似值為

根據式(32)，可近似認為

將式(33)代入式(31)，推論1 證畢。

由于主竊信道的遍歷信道容量分別為

結合式(34)、式(35)和式(29)可得

由式(36)可知，在該場景下，遍歷保密容量與信道的相關性無關，只與主竊信道的信道增益有關，且增強信號強度有利于提高安全通信的速率。

3.2 中斷概率分析

中斷概率是用于可靠和安全傳輸系統的有效設計的重要指標，實際上，文獻[21]的研究已表明，通過允許一定的中斷可能性，可以大大提高通信速率。文獻[22]給出了中斷概率的定義，即系統的安全傳輸速率CS小于目標速率RS時的概率，中斷概率定義式為

由二維聯合概率分布，式(37)可重寫為

定理2主竊信道相關的場景下，中斷概率的精確性能計算式為

證明根據式(37)，可定義積分變限函數T(x)，由式(14)可知，變量x、y的地位對等，因而函數T(x) 和F(y)應具有相同的形式，即

將式(40)代入式(38)可得

綜上，定理2 證畢。

推論2在實際場景中，對應于主竊信道狀態差異較大的場景，即合法接收端通常處于高信噪比區域（→∞），竊聽端平均信噪比有限，系統中斷概率的漸近性能計算式為

證明根據Marcum Q 函數展開式可得

綜上，推論2 證畢。

由式(42)可知，主信道信號強度的增大會降低系統的中斷概率，且相關性的增強也會導致中斷概率減小，這表明在接收端處于高信噪比區域時，相關性有利于系統安全。

當信道狀態固定時，需要合理控制目標速率RS來滿足系統中斷概率的需求。若給定中斷概率δ，使通信中斷的概率不超過δ，如式(45)所示。

則可以得到目標速率RS的設置范圍為

證明當合法接收端平均信噪比→∞，且信道增益比K有限時，中斷概率定義式等價于

定義一個新隨機變量U=γM/γE，則中斷概率由其累積分布函數計算

文獻[12]中給出了FU(u)的表達式為

結合式(49)和式(50)，推論3 證畢。

由式(50)可知，在該場景下，中斷概率不再隨合法接收端平均信噪比的增大而降低，而只與信道相關性、信道增益比有關。因此，當信道增益比有限時，只能通過改變信道相關性、信道狀態差異或目標速率來降低通信中斷的概率。

由上述分析可知，為了降低中斷概率，必須滿足0＜RS＜lbK。給定中斷概率δ，使通信中斷的概率不超過δ，如式(51)所示。

則可以得到目標速率RS的設置范圍為

其中，φ=(2δ-1)2。

4 仿真分析

本節通過蒙特卡羅仿真驗證理論分析的正確性，假設主竊信道均為準靜態瑞利平坦衰落信道。

4.1 主竊信道狀態差異較大場景

圖2 遍歷保密容量與平均信噪比的關系

仿真驗證了式(20)和式(35)理論分析的正確性，由圖2 可得如下結論。

1) 遍歷保密容量隨合法接收端平均信噪比的增大而增大。這是由于當主信道的信道狀態遠好于竊聽信道時，主信道的信道容量占主導地位，根據式(34)，當平均信噪比增大時，主信道的信道容量增大，因而系統安全傳輸速率增大。

3) 在[K]∈[0,10]dB 的區間內，相關性對遍歷保密容量造成的影響較大，這說明當信道增益差異較小時相關性對系統安全的影響最大。當→0時，主信道增益較差，因而保密容量趨于零。當[K]＞10 dB時，主信道狀態較好，竊聽端產生的影響較小，進而使相關性不產生影響。此外，當[K]∈[0,10]dB 時，該場景下竊聽端不可忽略，相關性是影響容量的主要因素；且強相關性意味著主竊信道的信道估計具有高度相似性，由于瞬時保密容量為主竊信道的信道容量之差，因此強相關會使瞬時保密容量減小，進而造成遍歷保密容量損失。

主竊信道狀態差異較大的場景下中斷概率SOP與平均信噪比的關系如圖3 所示。仿真參數設置如下：合法接收端平均信噪比設置為[0,30]dB；竊聽端平均信噪比=5 dB；相關系數ρ設置為[0,0.45,0.9]；目標速率RS設置為0.3bit/(s.Hz)。

圖3 中斷概率與平均信噪比的關系

仿真驗證了式(39)和式(42)所示的理論分析的正確性，由圖3 可得如下結論。

1) 中斷概率隨合法接收端平均信噪比的增大而減小，且隨著，中斷概率減小的速度變快，說明增大主竊信道的信道增益差異有利于顯著提升系統的安全性能。

2) 由圖3 可知，中斷概率的精確分析曲線與相關系數的關系分為2 種趨勢。在高信噪比區域，中斷概率隨相關系數的增大而減小，表明在高信噪比區域，相關性有利于系統安全，能降低通信中斷的概率；在低信噪比區域，中斷概率隨相關系數的增大而不斷增大，表明在低信噪比區域，相關性不利于系統安全，會增加通信中斷的概率。這是由于相關性的強弱會影響主竊信道增益的方差（如式(7)所示），進而影響系統遍歷保密容量的方差。具體而言，強相關性對應瞬時保密容量的方差減小，這意味著瞬時容量小于目標速率的次數減少，表現為中斷概率降低。

4.2 主竊信道狀態差異較小場景

文獻[11]研究了主竊信道狀態差異較小的場景下遍歷保密容量與平均信噪比的關系，因此本節只針對該場景下的中斷概率進行仿真驗證。

中斷概率下界值SOP2與相關系數ρ的關系如圖4 所示。仿真參數設置如下：信道增益比K=5；相關系數ρ設置為[0,0.9]；目標速率RS設置為[0.1,0.3,2.5,3]bit/(s.Hz)。

圖4 中斷概率下界與相關系數的關系

仿真驗證了式(47)理論分析的正確性，由圖4可得如下結論。

1) 當2RS＜K時，相關性對中斷概率的影響較大，且中斷概率隨相關系數ρ的增大而減小，最終趨于零，這說明相關性有利于系統安全。在強相關區域內，系統中斷概率變化較大，隨相關性增強而顯著減小。

2) 當2RS＞K時，相關性對中斷概率的影響較小，且隨相關系數ρ的增大，中斷概率逐漸增大，最終趨于1，這是由于相關性的強弱會影響主竊信道增益的方差（如式(7)所示），進而影響系統遍歷保密容量的方差。具體而言，強相關性對應于瞬時保密容量的方差減小，當目標速率越大時，瞬時容量小于目標速率的次數增大，表現為中斷概率的增加，且隨ρ→1 而SOP →1，這說明此時相關性不利于系統安全。

由上述分析可知，目標速率RS和信道增益比K之間存在著相互制約的關系。這是由于信道增益比決定了系統安全通信的速率，如果目標速率設置得較大，顯然會增大通信中斷的概率。因此在得到信道增益比的情況下，可以通過合理設置目標速率達到維護系統安全的目的，通常為保證中斷概率滿足要求，往往需要調整目標速率使其滿足RS＜lbK的關系，更進一步地，式(52)給出了精確目標速率的取值范圍。

在上述仿真的基礎上，分析了強相關區域內（ρ≥0.7）中斷概率SOP 與平均信噪比的關系，如圖5 所示。仿真參數設置如下：信道增益比K=5，合法接收端平均信噪比設置為[0,30]dB，相關系數ρ設置為[0.7,0.8,0.9]，目標速率RS設置為0.3 bit/(s.Hz)。

圖5 中斷概率與平均信噪比的關系

由圖5 可得如下結論。

1) 中斷概率隨合法接收端平均信噪比的增大而逐漸減小，但在→∞時達到下界，式(47)和圖5描述了該下界與相關系數ρ的關系，這表明只有通過改變信道增益比或信道相關性才能改善系統的安全性能。

2) 在任意信噪比條件下，中斷概率隨相關系數的增大而減小，表明相關性有利于系統安全。這是因為，目標速率RS設置的值較小，會導致瞬時保密容量的均值大于目標速率，由于強相關性對應于瞬時保密容量方差的減小，即瞬時容量小于目標速率的次數減少，進而表現為中斷概率的降低。

5 結束語

本文對相關瑞利衰落信道下的物理層安全性能進行了研究。首先，分析了無線信道參數對信道相關性的影響；然后，研究了信道相關性對遍歷保密容量和中斷概率的影響。研究結果表明，當主竊信道增益差異較大時，在高信噪比區域內，相關性不影響系統的遍歷保密容量，但會降低系統的中斷概率；在低信噪比區域內，相關性會造成遍歷保密容量的損失，且會增大系統的中斷概率，不利于系統安全。當主竊信道增益差異較小時，在任意信噪比區域內，相關性會造成遍歷保密容量的損失和系統中斷概率的降低。基于上述結論，可以根據當前接收端獲得的信噪比、信道增益比、信道相關性等條件進行安全編碼等方式，來維護系統安全性能。