美國水工混凝土規范壓彎構件正截面承載力計算

董正中,陳天恩,李 賀

(中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，西安 710065)

0 前 言

隨著中國越來越多的參與國際水電工程建設，需要我們對國外尤其是美國規范有更深入的理解。水電工程中的偏心受壓構件多出現在結構柱、水工襯砌結構受外水壓力時的截面之中。本文在采用美國規范進行水電工程偏壓構件正截面承載能力計算時，主要參考了美國ACI 318M-14[1]《混凝土結構設計規范》(簡稱ACI)和EM 1110-2-2104[2]《水工鋼筋混凝土結構強度設計規范》(簡稱EM)2本規范。

在查閱規范中發現，ACI對混凝土截面設計雖然做了一些原則性的規定與假設，但需要設計者在滿足ACI 規定情況下選用適宜的計算方法。而EM 規范針對水工結構做了一些補充原則，且在EM附錄B中給出了偏壓正截面承載力計算公式，但附錄B限于篇幅，個別公式有疏漏之處，未把各種情況下的計算公式描述全面。筆者查閱了一些關于水工偏壓構件正截面承載力計算教程，發現大部分采用手動計算判別，比如截面受拉還是受壓控制，受壓鋼筋是否屈服等。本文在梳理的EM附錄B公式的基礎上，補充相關計算公式，提出了適宜的壓彎構件正截面承載力計算方法，提高設計工作效率。

1 計算原則與假定

(1) 混凝土最外邊緣受壓纖維處極限壓應變εc等于0.003。

(2) 鋼筋應力(受拉鋼筋應力記為fs，受壓鋼筋應力記為fs′)若小于fy，則應取為鋼筋應變(受拉鋼筋應變記為εs，受壓鋼筋應變記為εs′)的Es倍。當鋼筋應變大于與fy對應的應變εy時，鋼筋應力應考慮與應變無關并等于fy。

(3) 平截面假定，應變沿截面高度呈線性變化。

(4) 當截面中受拉鋼筋達到fy對應的應變時，若受壓混凝土達到極限壓應變0.003，截面存在臨界平衡條件。當受壓混凝土達到極限壓應變0.003時，若εs≤εy，則截面由受壓控制，若εs>εy，則截面由受拉控制。

(5) 假定存在數值為0.85fc′的混凝土等效受壓區(應力均勻分布)，該區域由橫截面的邊緣線和一條與中和軸平行并與極限壓應變距離為a=β1c的直線所限定，如圖2所示。β1的計算公式如下(fc′為混凝土抗壓強度)：

(1)

(6) 強度折減系數φ和受拉鋼筋的應變εs相關[1]，其表達式如下。具體說明見本文4.1節。

(2)

(7) 受拉鋼筋的最大配筋率ρmax：建議限值為ρmax=0.25ρb[2]，超過此值將要求考慮適用性、可構造性和經濟性。ρb為當截面達到臨界平衡條件時的受拉鋼筋配筋率。其計算方法和相關說明見本文4.2節。

2 計算簡圖及通項公式

2.1 符號說明

Pn和Mn為名義強度或者標稱強度；φPn和φMn為設計強度；Pu和Mu為計算得到的軸力和彎矩；ku為相對受壓區高度；kb為臨界平衡狀態下相對受壓區高度。

2.2 計算簡圖

公式(3)～公式(19)相關參數的意義見圖1～ 4。

2.3 通項公式

(1) 截面壓力Pu到受拉鋼筋的偏心距：

(3)

圖1 截面尺寸及鋼筋位置圖

圖2 截面受力簡圖

(2) 根據臨界平衡狀態下應變相似三角形(見圖3)，聯立：

圖3 臨界平衡應變三角形圖

(4)

(3) 截面力的平衡即可推出：

(5)

(4) 截面所有力對受拉鋼筋的力矩求和即可推出：

(6)

(5) 由Pne′=Mn得出：

(7)

(6) 公式Mn/Pn即得出截面壓力Pn到受拉鋼筋的偏心距：

(8)

公式(5)～(8)即為偏心受壓正截面承載力計算的通項公式。

圖4 受拉/壓控制應變三角形圖

3 計算過程

本文將按先按單側(受拉側)配筋求解ρ，若單側配筋無法得出ρ，再按雙側配筋求解ρ和ρ′。無論是單側還是雙側配筋，在計算前根據ACI規范，Pn需按下面公式進行軸力判斷，若不滿足則需調整截面尺寸。

φPn(max)=0.8φ[0.85fc′(Ag-(ρ+ρ′)bd)+fy(ρ+ρ′)bd]

(9)

3.1 單側配筋

令ρ′=0以及ρ在0～ρmax之間搜索；對于每個ρ，先求解臨界平衡條件下的eb(公式8)；若e′≥eb則按單側受拉控制，若e′

3.1.1單側配筋臨界平衡的eb

令ρ′=0，ku=kb，fs=fy，代入公式(8)即可求出臨界平衡下的偏心距eb。

3.1.2單側配筋受拉控制

令ρ′=0，fs=fy，代入公式(7)整理如下，計算時需剔除小于0的根。

(10)

3.1.3單側配筋受壓控制

先假設fs>-fy，則根據應變三角形(見圖4)，利用混凝土極限壓應變εc側的相似三角形，很容易推出：

(11)

將公式(11)和ρ′=0代入公式(7)如下，此方程為ku的一元三次方程，本文采用盛金公式[3]求解，計算中不需要迭代求解，可根據判別式直接求出根，但需剔除掉復數根和小于0的根。

(12)

求出ku后需代回公式(11)看是否fs>-fy。若是，則ku即為所求；若不是，則令fs=-fy以及ρ′=0重新代入公式(7)來求解ku，整理如下：

(13)

3.2 雙側配筋

3.2.1雙側配筋臨界平衡的eb

臨界平衡條件下，根據應變三角形(見圖3)，利用混凝土極限壓應變εc側的相似三角形推出：

(14)

將公式(14)，ku=kb，fs=fy，代入公式(8)即可求出臨界平衡下的偏心距eb。

3.2.2雙側配筋受拉控制

先假定fs′≤fy，則根據應變三角形(見圖4)，利用混凝土極限壓應變εc側的相似三角形(EM規范B-31在此情況下利用受拉鋼筋εy側的相似三角形來推導fs′，本文覺得不妥，在此情況下受拉鋼筋εs已大于εy，所以不該用εy推導而應該用εc推導)，很容易推出：

(15)

將公式(15)以及fs=fy代入公式(7)整理如下：

(16)

求出ku后代回公式(15)判斷是否fs′≤fy。若是，ku即為所求；若否，則令fs′=fy以及fs=fy重新代入公式(7)來求解ku，整理如下：

(17)

3.2.3雙側配筋受壓控制

先假設fs′≤fy，則根據應變三角形(見圖4)，利用混凝土極限壓應變εc側的相似三角形(見圖4)，推出fs和fs′分別為公式(11)和公式(15)，將公式(11)和公式(15)代入公式(7)整理如下：

(18)

求出ku后需代回公式(15)判斷是否fs′≤fy。若是，則ku即為所求；若否，則將公式(11)以及fs′=fy重新代入公式(7)來求解ku，整理如下：

(19)

3.3 搜索失敗

若搜索完畢仍找不出滿足0≤(φPn-Pu)/Pu≤0.01條件的ρ或者ρ和ρ′，則看所有搜索的ρ和ρ′求出的φPn的最大值。假如最大值仍比Pu小，則說明截面尺寸不夠，需增大，否則說明截面不需要配筋(此處的不需要配筋僅從平衡方程角度來說，實際仍需考慮構造要求)。

4 兩個參數

4.1 強度折減系數

根據φ的定義，第1種最直接的方式求解φ即為在求出滿足要求的ku后，再根據應變三角形求出εs，然后按定義求解。但是計算的第一步是軸力判斷公式(9)，此時并不知道φ的值，若將軸力判斷放在求解ku之后會帶來一些不必要的計算。

本文采用第2種方法，經過觀察試算，截面壓力Pn到受拉鋼筋的偏心距e′公式(8)與εs近似線性相關。因此，可以利用e′公式(8)來線性插值求解φ。具體計算方法和本文3.1.1以及3.2.1求解eb的方法類似，即在計算公式(4)的kb時，分別令εy=fy/Es和0.005，求出2個kb(kb1和kb2)，用kb1和kb2分別可以求出eb1和eb2，用公式(3)的e′在eb1和eb2之間插值即可求出φ。

4.2 臨界平衡受拉鋼筋配筋率ρb

根據單側配筋臨界平衡時的應變相似三角形，以及軸力平衡，推出 ：

(20)

以及類似可以求出雙側配筋臨界平衡受拉鋼筋配筋率：

(21)

當按單側配筋搜索時，ρ在0～0.25ρb1之間變化；當按雙側配筋搜索時,ρ′在0～0.25ρb1之間變化，同時ρ在0～0.25ρb2之間變化。

5 計算實例

某截面尺寸及鋼筋混凝土強度如表1。

表1 截面參數表

截面在幾種典型內力組合下的配筋如表2。

表2 典型內力組合下配筋量表

從計算結果看出，首先保持Pu為一極小的值，在逐漸增大Mu過程中，單側受拉鋼筋面積一直增大至變成雙側配筋，這一過程即為純彎正截面承載力計算過程，若再增大Mu，則截面尺寸不夠。此時保持Mu不變，逐漸增大Pu，截面由雙側受拉控制——單側受拉控制——單側受壓控制——雙側受壓控制，與實際規律相符。將每種組合下的結果代入平衡方程公式(7)驗算，發現等式成立。

若已知截面尺寸和鋼筋配筋面積，要求核算截面所能承受內力，則相對容易，根據鋼筋面積判斷拉/壓控制，然后代入平衡方程求解ku，進而求出φPn。

6 結 語

(1) EM計算壓彎構件時，先按單側配筋計算;單側無法滿足再按雙側配筋考慮，配筋時實際滿足要求的ρ和ρ′組合可能不止一個。本文選取的附加條件是滿足ρ′最小，比如：DL/T 5057-2009《水工混凝土結構設計規范》選取的附加條件是ρ+ρ′最小或者ρ=ρ′等[4]，計算中可結合不同工況受力的分析以及工程需要選擇合適的附加條件。

(2) 按照平衡方程計算ρ和ρ′，實際配筋時需考慮最小配筋率等相關構造要求。

(3) EM規范與DL/T 5057-2009《水工混凝土結構設計規范》在原則假定以及平衡方程基本相通，但在細節處理上有所不一致。如我國大偏壓截面為保證受壓鋼筋屈服需滿足x≥2a′[5]，而EM則無此要求，若實際鋼筋強度很高時，加入x≥2a′的條件會影響配筋經濟。