概率論方法主要特征及實施策略

劉 斌，袁云云，牛向陽

(1.阜陽師范大學 商學院,安徽 阜陽 236032；2.阜陽師范大學 數學與統計學院，安徽 阜陽 236032)

公元15-18世紀，人們研究了大量的隨機現象，發現存在完全不確定規律性，從而開辟了隨機數學的新領域，建立了概率論.其主要方法就是觀察與試驗，前提往往也是“等可能”的.著名的概率統計學者威廉費勒爾(Willian Feller)在他著的《概率論及其應用》一書說過：“等可能性的假設常常需要真正的實驗的記錄來說明.”可以這樣說，對于許多隨機現象，沒有試驗，就會使我們對他的認識陷入愚昧無知.早期在對概率問題的研究中，觀察與試驗(實驗)總是緊密聯系在一起的，觀察常常可用試驗做基礎，而試驗又可使觀察得到的性質或規律得以重現或驗證.并且，觀察是概率論思維中不可缺少的最基本的方法，可以這樣說，沒有觀察就沒有思維，更沒有結果，因為他側重于探索發現，尤其是在解決具體問題時，他的時效性表現得尤為突出[1].隨著研究范圍的擴展，產生了多種相對應的概率的定義與計算方法.1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov,1903-1987)首次提出了概率的公理化定義，這個定義概括了歷史上幾種概率定義中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之處，不管什么隨機現象，只有滿足該定義中的3條公理，才能說他是概率.

概率的公理化定義刻畫了概率的本質，雖然他沒有告訴人們如何去確定概率，但由此可導出概率的一系列性質及運算公式，從而提供了眾多的計算事件概率的間接方法.所以，解概率論的方法不外乎兩類：一類為直接計算方法，一類為間接計算方法，前者可根據問題的具體背景直接用相應的概率定義求，后者則通過事件間的聯系，尋求對應概率之間的關系，通過概率公式求解.

隨機變量的引入，為使用近代數學的方法解決概率問題提供了理論依據和具體方法.如何才能發揮近代數學的優勢，更好地為概率論問題的解決提供有效的途徑呢？顯然，要完成一個轉換，就是要千方百計把概率問題轉化為確定性數學的問題.比如說，隨機變量的函數是隨機變量，如果從二者的取值這個角度入手，很自然地就實現了隨機性向確定性的轉化，如此等等.G波利亞在“怎樣解題”中指出：“你以前見過他嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道一個可用得上的定理？”話語不多，但卻道明了一個道理：當你，遇到一個新問題時，首先積極聯想，設法把陌生的問題通過適當的變更，化歸為熟悉的問題，這就是“化生為熟”的思維策略，其目的就是遇新思陳，推陳出新，起著用同求異，化難為易的作用.簡言之，就是在解決概率論問題時，思考的重點就是把所需要解決的問題轉化為已能解決的問題，這就是數學思維與方法中的“化歸法”.所以，在此階段中，巧妙“轉換”，聯想“化歸”是完成形形色色概率論解題的核心方法.

16世紀的笛卡兒、17世紀的歐拉、18至19世紀拉格朗日、高斯、阿貝爾、雅克比、伽羅瓦，還有近代的龐加萊、拉馬努楊和現代的愛爾特希等，他們不僅是解題的能手，而且也是發明創造的大師[2].歷史資料表明，他們的成果大都建立在多學科的融通之上.近年來，隨著概率論理論與應用的深入與發展，多學科的融通使得諸多概率問題的解決如虎添翼，簡潔的過程、漂亮的結果常常讓人回味，并由此產生諸多新理論、新方法.

1 概率論方法的主要特征

1.1 隨機性

由于概率論是從數量上研究隨機現象統計規律的學科，用隨機的目光去觀察現象，用隨機的思想去分析問題，透過表面上的偶然，去尋找內部蘊涵著的必然.一貫的遵守形成了概率論中的基本方法.以概率收斂和按分布收斂分別展示了大數定律與中心極限定理的豐富內涵.如切比雪夫大數定律.

定理[3]設{Xn}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)≤c,i=1,2,…,則對任意的ε>0,有

以林德伯爾格-萊維(Lindeberg-Levy)中心極限為例：設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2>0存在，則對任意實數y，有

此定理展示了這樣一個事實：只要{Xn}獨立同分布、方差存在，不管原來的分布是什么，只要n充分大，就可以用正態分布去逼近隨機變量和的分布.顯然，此種背景下有關和的概率可求了，這種隱藏在隨機性背后的規律性有著廣泛的應用.

例1：某種產品有20個相同部件連接而成，部件長度是均值為2 mm、標準差為0.02 mm的隨機變量.假如這20個部件的長度相互獨立同分布，且規定產品總長為(40±0.2)mm時為合格品，求該產品的不合格率.

解：記Xi為第i個部件的長度，則Y=X1+X2+…+X20為總長度，且E(Xi)=2,σi=0.02，可用林德伯格-萊維中心極限定理近似計算合格品率：

=2Φ(2.236)-1=0.974 6.

所以不合格率為0.025 4.

如此等等，針對研究對象的隨機性構建出了對應的隨機性的解決問題的方法.

1.2 概括性

隨機現象無時不在、無處不在，如果我們總是針對形形色色的各種隨機現象去具體的研究求概率等的方法，不加提煉與概括，那么就構不成概率論這門學科.因而，從基礎概率中求概率的頻率方法、古典方法、幾何方法、主觀方法到概率的公理化定義及其確定的方法，從近代概率中定常數、求概率、由分布律和分布密度求分布函數、求隨機變量函數的分布、求數字特征到判斷隨機變量的獨立性等，其相應的概率論的方法都是在對各種背景下的隨機現象進行大量的觀察，并經過提煉、概括而形成的.概率論的方法一旦形成，就會舍棄其研究對象的具體內容，運用到一切合適的場合之中.

例如，對于下列問題我們可構造不同的樣本空間：

抽查一件產品：Ω={正品，次品}；

擲一枚硬幣：Ω={正面，反面}；

新生嬰兒性別：Ω={男，女}；

一次射擊：Ω={命中，不命中}；

檢查一臺車床：Ω={正常工作，需要維修}.

如上等等，這些雖是不同的隨機試驗，但拋開每個樣本點的具體屬性，都可以用一次貝努里試驗來描述，從而樣本空間可抽象為：

Ω={成功，失敗}.

進一步就可把上述所有試驗概括成兩點分布.這種概括在未來的化整為零和聚零為整的思維策略實施中發揮著重要作用.從更宏觀意義上來講，近代概率中的種種分布也都是概括性的體現.

1.3 層次性

概率論所接觸到的問題千姿百態、形形色色，由于客觀上顯示出不同層次，因而對應解決問題的方法也必具有層次性.從宏觀而論，有針對問題的直接法，也有迂回求解的間接法；有僅用概率理論求解的單純法，也有多學科并用的融合法等等.從微觀上說，對同一個概率問題，也應有一個清晰的層次劃分.如對一個復雜的“由因求果”問題一般我們常采用全概率公式求解，所考慮概率的結果(B)是第1層次，導致B發生的各個原因(Ai)是第2層次，對各Ai的進1步處理是第3層次，只有3個層次由下到上一一處理正確，才能確保問題的圓滿解決.多分布的融合在近年來的各類考試中常見，因為他的確可以考察與培養一個人利用多方面知識解決問題的綜合能力.這類問題的處理方法就凸顯了層次性.

解決這個問題，第1層次：Y～B(100,p)；第2層次：求出p；第3層次：寫出Y的分布律.從而有：

1.4 針對性

概率論方法是生長在概率論知識這塊“皮”上的“毛”.概率論問題是概率論方法的載體，概率論方法通過概率論問題的解決來顯化.解析幾何的創始人笛卡爾說過：“我所解決的每個問題，都成為以后解決其他問題的規則.”概率論也是如此，針對不同的背景有不同的解決問題的具體方法，如對于隨機抽樣問題，若采取有放回抽樣，就可以用二項分布來描述，若采取不放回抽樣，就要用超幾何分布來刻畫.因此，有針對性的通過合理的轉換方式進行問題的化歸促使問題迎刃而解是概率論方法中一個主要方法.

解法1：不失一般性，先固定其弦一端點于圓周上，以此點為頂點作一等邊三角形，顯然只有落入此三角形內的弦(圖1)才滿足要求，這樣弦的另一端點跑過的弧長為整個圓周長的，故所求的概率為：

圖1 弦端點在圓周上均勻分布示意圖

圖2 弦中點在直徑上均勻分布示意圖

圖3 弦中點在圓內均勻分布示意圖

同一問題由于構造了3種不同的樣本空間得出了3種不同的答案.第1種解法中，假定端點在圓周上呈均勻分布，Ω是全圓周；在第2中解法中則假定弦的中點在直徑上服從均勻分布，Ω是直徑；而在第3種解法中又假定弦的中點在圓內均勻分布，Ω對應于圓面積.對應于各自的假定而言，樣本空間的構造均是正確的，在此基礎上所得結論也無可非議.歸根到底，之所以出現了殊途各異，問題就出現在題中語言“任意”的不確定性.這正是概率論方法的針對性，了解到這一點，所謂的“奇論”也就不奇了.

同樣，在古典概率中類似于上述所謂“奇論”者也可以舉出很多.對應于一題多解，可謂是殊途同歸，但他仍然體現了概率方法的針對性，和上述“奇論”比較起來，由于已知條件明確，他體現了解決問題的多途徑，而對于每一途徑，同樣是針對已知條件及在其基礎之上的再挖掘而得的可靠信息.

1.5 融合性

融合性是概率論方法的一個主要特征，他表現為縱向融合和橫向融合.縱向融合是指本課程前后不同知識背景下所用方法的融合，如例2.橫向融合是指概率論方法與其他學科解決問題方法的融合.如例4：假定國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量(單位：t)，他服從[2 000，4 000]上的均勻分布，設每售出1 t這種商品可掙得外匯3萬元，假若銷售不出而囤積倉庫，則1 t需花費保養費1萬元，問：需要組織多少貨源，才能使收益最大？

解：設組織該種商品at，由題意只需考慮2 000≤a≤4 000，收益Y是隨機變量，且是X的函數.因為

解得a=3 500(t).

即當a=3 500 t時，可使期望收益最大，最大期望收益為E(Y)=8 250萬元.

把數學分析的方法融進概率論方法中，使得問題的解決十分精彩.

由于諸多的概率論問題都可以轉化為中等數學、高等代數及數學分析等學科的問題，所以確定性數學方法的介入自然而然.反之，利用概率論與眾多數學學科的聯系，也可以用概率論的方法解決其他學科的問題.諸如通過概率建模，可以證明代數等式、證不等式、解排列組合應用題、求無窮級數和、求極限、求積分、證明維爾斯特拉斯定理等，巧妙地構思不僅使問題得以解決，同時別開生面的解決方法使人真正感受到了“刪繁就簡三秋樹，標新立異二月花.”的內涵，美的享受將會激勵學習者以更大的熱情積極投入到學習之中，不斷成功的嘗試一定會產生源源不斷的正能量，從而使得攻堅度加強、創新意識強化和創新能力提升.

這是著名的柯西不等式，我們可以利用數學分析的方法加以證明，也可以用高等代數等多種方法去證，但要用概率的有關理論和方法來證，更使人感到清晰明了，尤其是設計的多維隨機變量的分布背景，不僅把抽象的問題直觀化了，而且也為在更大的范圍里構建概率模型解決問題提供了啟示[4].

證設(X,Y)有如下聯合分布(表1)：

表1 分布表

且由Schwarz不等式|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2),

即有

1.6 可操作性

可操作是一切方法的本質屬性，概率論方法之所以可稱作方法，就是因為只要在對應的背景下按其規定的程序、路徑和手段實施，就能達到預期的目的.可以這樣說，他的產生是在反復次的試驗與應用中凝練而成，他的優化與創新更是在反復次的探索與調整中獲得.從應用這個角度，一種方法可以在同類與相似問題中直接或調整后適用，這就更凸顯了可操作性.

2 概率論方法實施策略

所謂方法,我國中文大辭典中注解為：行事之條理和判定方形之標準.《墨子天志中》說：“中吾矩者，謂之方，不中吾矩者，謂之不方，是以方與不方，皆可得而知之，此其故何，則方法明也.”[5]方法，是對研究活動本身的反思，不僅是一種技巧技術，也是一門藝術，其實質在于規律的應用，遵循規律就成了方法[6].那么，在概率論的學習與研究中，如何去尋求這種方法？顯然，方法來自解決問題的一定過程之中，他在很強的目的性和計劃性的活動中孕育而生，又在很強的目的性和計劃性的實踐中凝練而成.從這種意義上說，在遇到一個概率論問題時，你就必須把看到的(問題中顯示出的信息)與存儲的知識進行匹配，從中獲得感覺信息，然后將這些信息發送給大腦以抽取并加工相關的信息，最終形成的便是可試探的方案，最后再通過反思和推理，就形成了真正意義下的名副其實的方法.

2.1 理清問題，通過聯想打通已知和未知的通道

概率論的解題過程或推理過程，就是要去尋找或證明某種客觀存在的數值(概率、數字特征等)或關系，從概率意義上，其全部過程有其客觀必然性.因此，你只有把他理解得非常自然，非常直觀，甚至成為你心目中一目了然的東西，那么不論問題多么復雜，這時候，你就能使用自己的語言很自然地而不是背誦式的去表述你所理解的一切.因為理解了，就等于理清了問題，打通了已知到未知的通道，自然天塹變通途，輸出和輸入自然而然，問題也就迎刃而解了.對于初學者，可以把待求概率的事件設出來，同時把題中所有已知也用事件表示出來，對照已知未知找聯系，聯系中斷找媒介，一番周折方法就會產生.

2.2 學會建構，通過常見模型直接或間接解決問題

基礎概率講概型，近代概率論分布，總的來說都是建立概率模型，即都是通過條件確定模型，依據模型計算概率.基于這一點，在尋求概率論的求解方法時，常規做法就是恰到好處地找到或通過轉化成為某一標準模型，從而利用模型的相應計算方法或推理求解.因而，準確的理解概率論中的一些基本概念和熟練地掌握概率論的一些基本理論尤其重要，因為做不到這一點，就失去了方法產生的源，即使能解決一些問題，也只能是就題論題，無法在大范圍里拿到解決問題的金鑰匙.反之，對一些常見模型心知肚明，在解決眾多問題中就會得心應手，哪怕是與模型有一些距離，也會想到通過一些數學手段遷移而至.

顯然，此題用代數的知識(比如系數對應法)可證.但若對超幾何分布很熟悉，根據待證命題的結構自然會聯想到如下概率論證明方法.

證設計概率模型如下：一袋中裝有a個紅球，b個白球，從中隨機摸出n個，n=min{a,b}.令Ak={取出的n個球中有k個紅球}，從而有

由于Ak互不相容，且P(A0∪A1∪A2∪…∪An)=P(Ω)=1,所以有

將分母移至另一側則得結論.

當然，有時某些實際問題所表現的現實原型是很復雜的，由于概率模型與現實原型的關系是一種反映與被反映的關系，所以概率模型的構造要經過抽象、提煉，使之融入一個熟知的共性的大家庭，或者成為能夠包羅更廣意義下的寶囊，二者必有其一.

2.3 善于反思，通過回顧提煉創新概率模型與方法

辨認與識別過程包含自下而上和自上而下兩種加工，他們共同作用以獲得對世界一致的理解[7].同樣，一個概率問題的解決，他經歷了對問題相關的由小到大和由大到小環境里的觀察、試驗或分析推理等，才一步一步走向最終目標.成功給人帶來喜悅，這種喜悅不僅僅來自特定問題的解決，還給人帶來了希望，這就是方法的魅力.哲學家們往往具有縱觀全局的氣魄，喜歡從事物的聯系上思考最基本最普遍的問題[8].對概率論的思考也不例外，特定問題的解決，能不能帶動一大批問題的解決？即能不能實現：解決一例，聯想一片，包羅一批？此方法是不是解決此類問題的最佳方法？驀然回首，那人卻在燈火闌珊處，這一切，都是通過問題解決后的反思完成的，并且這也是形成“方法庫”和拓廣創新的前提.

除此之外，反思還可以極大延緩知識與方法的遺忘速度.德國心理學家艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)的研究表明“保持和遺忘是時間的函數”，遺忘的進程是先快后慢.及時的反思，就可以大大提高記憶率.

據歷史記載，笛卡爾在一次患病之后，一天早上醒來，躺在床上琢磨著幾何學與代數學的關系問題，通過聯想，忽然想起幾何上最簡單的對象“直線”能和代數上的最簡單的對象“一次方程”聯系起來，利用點的坐標概念能在兩者之間建立對應關系.這樣，笛卡爾不僅形成了解析幾何的原始思想，而且還創立了變量概念[8].歷史和現實都告訴人們，難得回頭一望，反思常常孕育聯想，聯想常常導致創新.毛澤東說：“感性認識的材料積累多了，就會產生飛躍，變成了理性認識，這就是思想.”從前后聯系上和多學科的融會貫通上進行二次思考，因為他帶來的不僅僅是知識與方法量的遞增，更重要的是質的飛躍和良好習慣帶來的終身受益.

總之,概率論方法是分析、處理和解決概率論問題的具體策略.思維與方法是密切相關的，方法在思維下有序實施，思維通過方法具體體現，從涵蓋空間來看，思維比方法更寬泛一些.所以，思維是方法的精神實質和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段，強化思維與方法的密切融合，引導不可缺，但“悟”更重要[9].