基于EWT-ARMA的短期電離層TEC預測模型

魯鐵定 黃佳偉 魯春陽 賀小星 錢文龍

1 東華理工大學測繪工程學院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 河南城建學院測繪與城市空間信息學院，河南省平頂山市龍翔大道，467036 3 華東交通大學土木建筑學院，南昌市雙港東大街808號，330013

學者們對TEC預測模型進行了大量研究[1-9]。常用的短期預測方法主要包括經典數學統計法[1-2]和人工智能法[4-6]。但由于電離層復雜的時空變化特性[7]，經典數學統計方法難以得到理想的預測效果[8]。而人工智能法受主觀因素的影響，缺乏客觀理論依據，穩定性較差[4]。

灰色預測模型在短期預測中運用較廣，但無法精確地預測具有非線性特征的TEC數據[6]。人工神經網絡在電離層非線性預測中具有較高的精度，但其預測參數的選取較為復雜，網絡算法優化較為困難[4]。ARMA預測模型方法較為簡單，但其在極值點附近的預測精度較差[3]。因單一模型難以滿足TEC預測所需要的精度要求，本文基于ARMA模型，結合經驗小波變換(empirical wavelet transform，EWT)，提出一種短期組合預測模型EWT-ARMA。

1 模型原理

1.1 EWT方法

EWT是一種新型的自適應信號處理方法[10]，其核心思想是根據信號劃分的結果選擇合適的濾波器組，提取出具有傅里葉頻譜特性的調幅-調頻(amplitude modulated frequency modulated，AM-FM)組件。首先對信號頻譜進行自適應分割[11]，然后對分割的信號頻譜特征構造合適的正交小波濾波器組，提取出AM-FM組件，最后利用Hilbert變換對不同的AM-FM組件進行處理，獲取相應的瞬時頻率和瞬時幅值[12]。具體過程可參考文獻[10]。

最終，重構的原始信號f(t)表達式為：

(1)

1.2 EWT-ARMA模型的電離層TEC預報方法

針對TEC含量的隨機特性，在ARMA預測模型的基礎上，結合EWT方法，組成電離層短期預測模型。首先對電離層數據進行EWT分解，得到具有不同特征的若干分量，然后對各分量進行ARMA模型預測，預測結果進行重構得到最終的電離層TEC預測值。具體步驟如下[7]。

1)利用EWT方法將TEC數據時間序列x(t)進行分解，得到N+1個模態分量，其中包含1個經驗尺度分量和N個經驗小波分量。

2)對N+1個模態分量進行ARMA(p,q)模型預測。設xt(t=1,2,3,…)為電離層TEC值組成的時間序列數據，對于任意的t，滿足：

xt-φ1xt-1-φ2xt-2-…-φpxt-p=

εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(2)

式中，xt由1個經驗尺度分量f0(t)和N個經驗小波分量fk(t)組成，即xt={fk(t),k=0,1,2,…,N}，ε={εt,t=0,±1,…}是均值為0、方差為δ2的白噪聲序列。xt表示滑動平均序列ARMA(p,q)過程，其中p為移動模型(AR)的階數，q為滑動模型(MA)的階數，當p=0時，它是MA(q)模型，當q=0時，它是AR(p)模型。

引進后移算子B，式(2)可表達為：

伴隨著全球氣候變暖和《聯合國氣候變化框架公約》的制定，能源消耗與科學發展等問題越來越受到國際社會的關注，“低碳經濟”“低碳發展”等新型理念也愈發得到人們的認同。長久以來，如何實現經濟與環境的協調發展一直都是學術界關注的熱點，且中國現階段處在經濟轉型發展的關鍵時期，正面臨著前所未有的能源和碳排放的雙重壓力。作為一種剔除了碳排放環境成本之后的全要素生產率改進，低碳全要素生產率將能源消耗和碳排放納入到經濟增長的核算框架當中，因而對其進行科學準確地測算必將有助于經濟發展質量與綜合效益的客觀評價，且對于中國工業的低碳轉型發展意義重大。

Bxt=xt-1,Bkxt=xt-k

(3)

記算子多項式為：

φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

(4)

則式(3)可表示為：

φ(B)xt=θ(B)εt

(5)

ARMA屬于線性模型，根據電離層TEC時間序列數據，采用AIC定階準則選定p、q，使其滿足：

(6)

3)根據步驟2)，對經驗尺度分量和經驗小波分量進行預測，重構預測結果，得到最終的TEC預測值。

2 實例計算與分析

本文選用IGS提供的2 h時間分辨率的電離層格網點上的數據對組合模型進行實驗分析。參考文獻[7]，提取2018年年積日1～30、101～130、201～230、301～330等4個時間段內的低緯(5°N,120°E)、中緯(45°N,120°E)和(45°N,60°W)及高緯(85°N,120°E)4個不同地理位置共16組電離層數據進行分析。分別利用前25 d的TEC真實值預測后5 d的TEC值，后5 d的TEC真實值作為檢測值與預測值進行對比，驗證模型的預測效果。利用EWT方法對16組TEC真實數據進行模態分解，每組數據得到5～6個不同的經驗小波分量和1個經驗尺度分量，然后對各分量進行ARMA模型建模、預測，得到各分量的預測值，最后將各分量的預測值重構得到最終預測結果，并與真實值進行對比。為了驗證本文組合模型預測結果的優劣性，采用均方根誤差RMSE和平均相對精度P作為評定模型預測結果的指標，并與ARMA模型的預測結果進行對比：

(7)

(8)

選擇2018年年積日1～30(45°N,60°W)的1組數據進行具體分析。首先提取該組電離層時間序列數據，利用EWT分解前25 d的TEC數據(圖1)。可以看出，TEC原始數據被分解成了1個經驗尺度分量f0和5個經驗小波分量f1～f5，分解的分量呈現出從低頻到高頻變化的特點，且原有數據的能量分解后主要集中在經驗尺度分量f0和經驗小波分量f1、f2。對各分量25 d的數據進行ARMA建模，預測后5 d的數據，并與真實值對比(圖2)。可以看出，經驗尺度分量f0和經驗小波分量f1、f2預測效果較好，預測值與真實值偏差很小，分量f3～f5預測效果較差，但其所占能量比重小，不會對最終預測效果產生較大影響。將所有分量的預測值重構得到最終的TEC預測值。圖3為組合模型和ARMA模型的預測值與真實值的對比圖。可以看出，采用ARMA模型進行預測時，在極值點附近偏差較大，達到2～3 TECu，而本文組合模型預測值與真實值趨勢符合較好，在極值點附近的偏差也減小到1 TECu左右。

圖1 年積日1～25(45°N，60°W)原始信號和信號分解圖Fig.1 Original signal and signal exploded view of doy 1～25(45°N, 60°W)

圖2 年積日26～30(45°N，60°W)各分量預測值與真實值的對比圖Fig.2 Comparison between predicted TEC and true TEC of each component of doy 26～30(45°N,60°W)

圖3 2種模型在年積日26～30(45°N，60°W)的TEC預測值對比圖Fig.3 Comparison of TEC predicted values of two models of doy 26 ～ 30(45°N, 60°W)

為了從整體上檢驗組合模型的預測效果，引進殘差絕對值Δ進行說明，其表達式為：

(9)

圖4 2種模型在年積日26～30(45°N，60°W)的TEC預報殘差絕對值對比圖Fig.4 Comparison of TEC residual absolute values of prediction of two models of doy 26 ～ 30(45°N, 60°W)

圖4為2種模型在2018年年積日26～30的TEC預報殘差絕對值對比圖。可以看出，ARMA模型預測的殘差絕對值在1.5 TECu以內比重較大，部分超過2 TECu,而組合模型預測的殘差絕對值大部分在1 TECu以內，極少部分超過1 TECu。從整體來看，組合模型比ARMA模型預測效果更好。

表1為2018年年積日26～30的4個不同地理位置的預報殘差絕對值百分比統計表。表中顯示，ETW-ARMA組合模型的殘差絕對值均值小于1 TECu的占比為81.8%，相比ARMA模型提高了20.1%。ETW-ARMA組合模型的殘差絕對值均值大于3 TECu的占比為0.6%，相比ARMA模型降低了5.2%。由此表明，本文組合模型的整體預測效果更優。同時，2種模型的殘差絕對值均主要集中在2 TECu以內，符合IGS給出的3 TECu的精度范圍[3]。

以2018年年積日201～230的TEC數據為例進行分析，表2給出了同一時間段5 d內不同經緯度的均方根誤差和平均相對精度的實驗結果。從表中可以看出，同一時段相同位置處，組合模型的預測效果普遍比ARMA模型好；同一時段相同經度下，緯度越高，2種模型預測的平均相對精度越大，均方根誤差越小；同一時段相同緯度下，不同經度間預測的平均相對精度和均方根誤差沒有明顯變化。2018年為太陽活動低年，為驗證EWT-ARMA組合模型在太陽活動高年的預測效果，用相同方法對2014年(太陽活動高年)的數據進行實驗。表3為2種模型在2014年年積日226～230的預測誤差對比表。可以看出，2種模型在太陽活動高年的預測效果與太陽活動低年相同，組合模型的預測效果普遍優于ARMA模型的預測效果。

表4給出了2種模型在太陽活動低年和太陽活動高年的4個時段5 d內的整體預測誤差情況對比。結果顯示，4個不同時段中，EWT-ARMA組合模型的預測效果均比單一ARMA模型更好。在太陽活動低年和太陽活動高年，ARMA模型預測的平均相對精度分別為83.0%和86.3%，組合模型的則分別為87.8%和89.1%；ARMA模型預測的均方根誤差分別為1.61和3.64，組合模型預測的則分別為1.22和2.93，證明組合模型比ARMA模型更優。對比太陽活動低年，2種模型在太陽活動高年預測時相對精度更高、均方根誤差更大。

在表4的基礎上，給出4個時段前1 d內整體的預測誤差對比(表5)。結果表明，在前1 d內，太陽活動低年和太陽活動高年EWT-ARMA組合模型的平均相對精度比ARMA單一模型分別提高了7%和6.1%，均方根誤差則分別降低了0.82和1.71。對比組合模型5 d內的平均相對精度87.8%和89.1%，前1 d內的平均相對精度為92.1%和94.5%，表明組合模型在前1 d內的整體預測效果更好。

表1 4個不同地理位置預報殘差絕對值百分比統計

表2 2018年年積日226～230不同模型的預測誤差對比

表3 2014年年積日226～230不同模型的預測誤差對比

3 結 語

針對電離層預測模型中ARMA模型預測精度較低、極值點附近預測效果較差的問題，本文提出利用EWT-ARMA組合模型對電離層TEC數據進行預測分析，并與ARMA模型預測效果進行比較。對太陽活動低年和太陽活動高年的各16組數據進行實驗，得出以下結論。

表4 4個時段5 d內的預測誤差對比

表5 4個時段前1 d內的預測誤差對比

1)利用ETW方法對電離層數據進行分解，對分解的各分量進行ARMA預測，預測結果重構得到最終的TEC值。與ARMA預測方法對比表明，組合模型整體預測精度更高。

2)太陽活動低年和太陽活動高年的實驗結果表明，相較于ARMA模型的平均相對精度，本文組合模型5 d內的平均相對精度分別提高了4.8%和2.8%，前1 d內組合模型的平均相對精度分別提高了7%和6.1%，表明本文預測方法效果更好，在前1 d內的預測精度更優。

本文將EWT方法應用到非線性、非平穩的電離層信號研究當中，給類似特性的信號提供了一種新的研究思路。但ARMA時間序列預測模型本身存在一定的局限性，結合經驗小波變換的同時也增加了預測的工作量。此外，電離層復雜的時空變化特性也給預測帶來一定的影響，建立一個更加完善的電離層預測模型還有待進一步的研究。

致謝：感謝IGS中心提供電離層TEC格網數據。