梯度直方圖約束的多尺度塊先驗模型

張墨華，彭建華，馮新揚，張俊峰

(1. 國家數字交換系統工程技術研究中心 鄭州 450000；2. 河南財經政法大學 計算機與信息工程學院 鄭州 450000)

圖像復原問題中，給定觀測圖像Y由原始清晰圖像X經過線性算子A和標準差為σ加性高斯白噪聲N退化所生成，即

Y=AX+N,

(1)

為了恢復原始圖像X，需要有關原始圖像的先驗知識。由于維度的原因，對整個圖像的全局建模比較困難，因此近年來許多圖像復原算法選擇通過采用塊(或局部)先驗來解決建模問題。塊尺寸較小更易于建模，流行的模型包括：稀疏模型[1]，高斯混合模型(GMM, gaussian mixture model)[2]，ICA[3]等。盡管塊先驗對每個去噪塊進行了很好的處理，但塊的平均化操作破壞了這種行為，因為從聚合圖像中提取的結果塊可能不再符合局部先驗。Zoran和Weiss等人提出的塊對數似然期望(EPLL, expected patch log likelihood)算法[4]改善了上述狀況，他們的方案使用全局先驗，在圖像中去尋找每個選定的塊都可能符合的局部先驗，為了求解這一先驗的最大后驗估計(MAP, maximum a posteriori estimation)問題，迭代地對塊進行去噪，隨著迭代的進行，重疊的塊越來越接近局部模型。EPLL最初利用GMM先驗，后來擴展到基于稀疏性的塊模型[5]、專家場[6]、分析稀疏模型[7]等。這些模型實現通過局部相互作用來形成全局先驗。利用塊的自相似性塊建模是另一種生成全局模型的方法[8-9]，這一方法對即使相隔較遠的相似塊，仍能進行協同處理，從而實現非局部處理。但是上述這些方法也無法完全實現“全局化”處理，導致經常出現局部偽影的情況，以及復原圖像質量過度平滑的問題。基于塊的建模的另一缺點是整體模型的強制局部性，由于使用小的尺寸塊，會無視圖像中存在的更大范圍的相互作用，圖像塊無論采用簡單的平均，還是塊之間信息的復雜融合，這個缺陷都是存在的。通過考慮多尺度處理有望緩解上述問題，該方法可以生成由局部所組成的全局圖像先驗，通過在各種尺度上使用局部模型，即可以保持低維模型的簡單性，同時在圖像中較大區域實施非局部性。

另一方面，在圖像處理和計算機視覺領域中，圖像像素或梯度域的直方圖提供了圖像全局統計信息的簡單有效的方法，這種約束可以在數據點之間引入負相關。因此直方圖對輸出圖像的全局統計提供約束，不僅僅在像素值域，也可以對圖像的其他變換域(水平梯度、垂直梯度、Laplacian等)的直方圖應用這一約束，例如，強度和顏色直方圖可以得到圖像對比度和色調變化，這些變化可作為圖像增強[10]和檢索[11]中的特征。諸如SIFT[12]和HOG[13]之類的圖像特征描述子利用的是方向梯度直方圖，帶通濾波器響應直方圖的匹配是紋理分析和合成方法的關鍵步驟[14]，圖像梯度和小波系數的直方圖在零區域出現尖峰其他區域出現重尾特點，這激發了許多參數圖像模型的研究，如高斯尺度混合模型[15]和超拉普拉斯模型[16]，這些模型已經為應用于各種圖像復原任務。通過上述研究表明，圖像復原任務可以從這種整體約束中受益，但是以數值穩定的方式將這些約束與現有的復原方法相結合仍然是一個具有挑戰性的問題[17]。

為了對局部塊模型施加非局部性及全局統計約束，消除局部偽影，進一步改善圖像復原質量，提出一種集成梯度直方圖約束的多尺度塊先驗建模方法，主要如下：

1)引入多尺度方法，對目標圖像濾波及下采樣以得到不同尺度的圖像，再從中提取的相同大小的尺度塊并施加局部低維先驗，為了保持尺度不變性，通過在對原尺度圖像下采樣之前，應用高斯濾波；通過最小化濾波及下采樣后圖像的塊經驗分布與局部塊模型分布間的KL散度，對濾波器進行參數調整，從而使各尺度塊的局部模型可以保持不變，即單個局部模型可用于所有尺度；

2)將梯度直方圖全局統計先驗引入到多尺度塊先驗建模中，以提升圖像復原視覺質量。使用二次Wasserstein距離(W2)來度量復原圖像的梯度直方圖和參考梯度直方圖之間的統計距離，W2距離可以直接從數據計算而不依賴于密度估計，提供平滑且可微分的形式來測量直方圖之間的差異性，將差異約束項集成到多尺度塊先驗的圖像復原框架中，利用半二次分裂和最優傳輸理論，通過坐標下降優化目標函數，算法具有有效的解析解和良好的收斂性；

3)在參考直方圖的估計方面，針對去噪和去模糊應用，基于廣義高斯分布設計不同的參考梯度直方圖的估計方法，以更好地適配不同的求解問題；

4)在去噪及去模糊任務中應用所提出的模型，針對多種噪聲標準差及多種模糊核進行實驗，并與傳統方法進行了對比分析，取得了更好視覺復原量，驗證了所提出模型的有效性。

1 相關研究工作

1.1 期望塊對數似然模型

圖像復原問題中，給定退化圖像Y，根據公式(1)，通過求解最大后驗估計問題來恢復X。

(2)

為此，需要利用圖像的全局先驗p(X)，塊對數似然期望(EPLL)就屬于這類先驗[4]，它通過累加本地塊對數似然來形成先驗。

(3)

其中：圖像X表示為n×m的向量；Pi為抽取圖像X第i個塊(表示為s維的向量)的算子。通過將退化模型以及EPLL代于公式(2)中，得到

(4)

其中，λ為參數，以平衡保真項和先驗項。通過引入輔助變量zi，借助半二次分裂[18]來求解這一問題，這簡化了優化過程。問題轉換為

(5)

當β→，可以得到PiX=zi，這樣式(5)的解可以收斂到式(4)的解。在實踐中，通過對不斷增大的β集合進行來迭代求解式(5)。對于每個固定β，使用塊坐標下降來降低目標值。

首先，通過固定X，求解關于zi最小化式(5)，通過局部MAP問題來更新zi：

(6)

然后，固定zi，求解關于X最小化式(5)。X通過最小二次問題來求解，可以得到閉式解

(7)

公式(5)一次迭代只執行一次更新。初始時，將X初始化為Y，固定X尋找所有zi；然后再更新一次X，這一過程是對Y中的退化塊進行去噪；最后結合退化算子A的逆對所有塊進行平均操作。在基于稀疏的模型中，K-SVD去噪算法[19]也是采用這種方法來執行迭代，以得到更好的去噪性能。EPLL的關鍵問題是β的選擇問題，以及迭代過程中如何增長，來保證得到不斷改進的性能。文獻[4]選擇簡單的固定值的β的設置方法，而文獻[5]是通過臨時圖像X估計得到。

在文獻[4]中與EPLL一起使用的局部先驗是高斯混合模型，定義為

(8)

其中，第k個高斯分量的協方差和權值分別表示為∑k和πk。所有分量的均值設置為0。因為在這一先驗下，式(6)中MAP問題并沒有閉式解，需要一種在給定X下近似的更新zi的方法。

首先，選擇最有可能被選中的高斯分量。

(9)

(10)

1.2 多尺度塊模型

基于塊的圖像復原建模是在整體模型上強制局部性，由于使用小尺寸的塊，無法考慮圖像中存在于較大范圍內的相互作用，通過多尺度處理可以緩解這一問題。多尺度塊處理與使用多尺度字典學習來去噪的方法相似，Sulam等人通過將圖像分解成不同的小波頻帶來對圖像進行去噪，通過基于塊的K-SVD獨立地對每個波段進行去噪，并應用逆小波變換來獲得最終的重建圖像[20]。該方法的困難是圖像的高頻帶將被去噪，而這種頻率是具有低信噪比的。因此，通過考慮低頻帶可以避免了這種問題，因為低頻帶具有高信噪比，而且隨著分辨率的降低，信噪比實際上會上升。Papyan等人應用多個尺度，對原始信號施加低通濾波器，再進行下采樣，得到所有的尺度圖像，通過一個所有尺度的所有塊都必須遵守的懲罰函數，可以融合所有波段[21]。在不同尺度圖像上提取塊上施加局部低維先驗，通過假設尺度不變性，使尺度塊的模型保持不變，即單個模型可用于所有尺度。盡管所有處理過的尺度塊都具有相同的尺寸，但是由于下采樣，它們在原始目標圖像中的占用面積會有所不同。例如尺度為2的情況下，從粗糙圖像中抽取的尺度塊事實上是2倍于原始圖像網格的，通過將這些塊約束為遵循局部模型，約束原始圖像中2倍于原始圖像塊的低頻信息。

不失一般性，只考慮2個尺度，但這一思路可以推廣到尺度金字塔。多尺度的期望塊對數似然先驗定義為

(11)

不同尺度的信號是通過對原始信號濾波及采樣得到，在所有尺度下提取的塊具有相同的大小，無論其原始尺度如何，在所有這些塊上強加本地塊模型。處理仍然是局部的，但隨著尺度的提升，單個塊在原始信號上的足跡會越來越寬。這一思路可以很容易地推廣到多個濾波器和下采樣因子的應用中。

1.3 梯度直方圖先驗及Wasserstein距離

1.3.1 梯度直方圖先驗

梯度直方圖先驗最早應用于紋理合成領域，例如通過小波子帶直方圖與期望紋理間進行匹配來合理紋理，通過匹配紋理元素的直方圖進行非均勻紋理合成等。在圖像復原領域，Li等人提出一種兩階段圖像復原算法[22]，該算法首先使用基于樣例技術重建圖像，然后將重建圖像的梯度分布適配為參考梯度分布。Woodford等人[23]使用稱為邊緣概率場的MAP估計框架，利用低級特征(例如梯度)的直方圖來求解去噪等視覺問題，其使用全局懲罰項來擬合全局分布，邊緣概率場要求每個箱體特征形成離散直方圖，利用從圖像數據庫估計出的圖像先驗，并在重建具有不同紋理的圖像使用相同的全局先驗。Schmidt等人[24]通過采樣比較梯度分布，這在計算上是非常耗時的，其在使用不同紋理重建圖像還使用單個全局先驗，這會在平滑區域中產生偽影。Hacohen等人將紋理合成與圖像復原相結合[25]，特別是用于圖像上采樣問題。為了恢復紋理，它們對退化圖像進行分割，并用圖像數據庫中的紋理替換每個紋理段。Cho等人[26]提出在反卷積過程中保留重尾邊緣梯度分布，增強了復原圖像中的視覺細節。然而，他們的方法最小化輸出圖像梯度和參考分布之間的KL散度，這需要參數密度擬合和復雜的調整權重優化方案。Zuo等人[27]提出了一種紋理增強去噪方法，該方法將非局部基于塊的圖像模型與啟發式梯度懲罰項相結合。Song等人[28]提出一種利用超拉普拉斯分布估計梯度直方圖，通過梯度直方圖保持進行圖像去模糊。

綜上，將梯度直方圖先驗這個全局統計信息約束集成到圖像復原框架中，有助于提升視覺觀感，是很有應用前景的技術。

1.3.2 Wasserstein距離

Wasserstein距離在圖像處理領域也被稱為“推土機距離”，相比KL散度，Wasserstein距離在比較圖像直方圖分布方面更有優勢：即使2個分布的支撐集沒有重疊或者重疊比較少，仍然能夠反映2個分布的遠近，而此時KL散度可能無意義。

給出2個概率測度p和q，其二次Wasserstein(W2)距離被定義為以下Monge問題的變分解[29]：

(12)

(13)

(14)

(15)

2 梯度直方圖先驗約束的多尺度塊模型

為了對局部塊模型施加非局部性及全局統計約束，進一步提升圖像復原性能，提出將多尺度建模與梯度直方圖先驗結合，在高斯混合模型的局部塊先驗模型基礎上，加入梯度直方圖全局統計約束，并結合多尺度塊建模，在圖像較大區域實施非局部性。所提出模型的目標函數如下

(16)

其中：第一項為數據保真項，表示觀測Y與AX的l2范數，正則項是前述的多尺度的期望塊對數似然模型，參數λ用于權衡2個項。約束條件為梯度直方圖先驗，hR是參考梯度直方圖，矩陣T表示相應的線性變換，hTX為在線性變換域(例如水平梯度、垂直梯度等)中X的直方圖。這里假定不同尺度的圖像具有尺度不變性，即所有尺度下局部模型是相等的，在對原始尺度下采樣操作之前應用濾波器，并且可以通過調整濾波器參數實現尺度不變性。通過求解公式(16)的約束最小化問題，可以用于大部分復原任務，包括：去噪、去模糊、超分辨等。

(17)

隨著懲罰權值βh→，公式(17)的局部最優解會成為公式(22)的局部最優解。

根據公式(15)的定義，引入輔助向量ξ，其維度與TX一致，優化下面的目標函數：

(18)

式(18)是所提出模型最終目標函數形式，可以利用坐標下降方法，關于ξ和X來交替最小化式(18)。這個算法能夠收斂到局部最小解。首先，固定X，最小化ξ則簡化為

(19)

利用公式(15)的結論，最優ξ可以通過類似直方圖匹配操作給出

(20)

然后，固定ξ，關于X的問題是關于2個二次項和2個正則項的優化問題。

(21)

(22)

隨著β→和，公式(22)將收斂到公式(21)解。這樣就得到一個重構的圖像，圖中每個抽取的塊都來自局部模型，額外尺度下采樣版本的圖像中每個抽取的塊也來自于同一局部模型。

(23)

表達式除以s(塊中像素的數目)是為了歸一化，這樣得到了一個逐個像素的度量。這個表達式可以進一步簡化為

(24)

(25)

為了計算zi，這是在原始尺度上求解圖像塊的MAP問題

(26)

(27)

2個尺度下的局部先驗都是公式(8)定義高斯混合模型。在這一先驗下，求解局部MAP問題利用式(9)、(10)求解即可。

(28)

綜上，提出的框架通過迭代地執行2個主要步驟，直到收斂：通過公式(20)更新ξ；然后通過公式(28)更新X；懲罰權值β和βh隨著迭代計算過程變化而增加。具體的圖像復原算法見算法1。

Algorithm 1：圖像復原算法

Input: 退化圖像Y，尺度濾波器H，下采樣算子D，退化算子A

Output:X

X←Y；

repeat

根據公式(20)求解ξ；

repeat

根據公式(28)求解X;

β←2β;

untilβ>βmax

βh←2βh;

untilβh>βh_max

returnX;

3 尺度不變性和參考直方圖估計

3.1 尺度不變性

(29)

然后，計算經驗高斯混合模型

(30)

其中，不同高斯的經驗協方差和權值分別定義為

(31)

(32)

(33)

高斯間的KL散度具有閉式解，因此式(33)可以簡化為

(34)

可以利用式(34)的上界來對濾波器H進行調優，以得到尺度不變性。在實驗中，設置H是一個居中和各向同性的高斯，并搜索其最佳寬度，以尋找最小近似KL的參數。

3.2 參考直方圖估計

為了對模型進行求解，需要知道參考直方圖hR，它是對原始圖像X的梯度直方圖的估計。參考直方圖的生成方法可能會因不同的應用而異，常用的直方圖生成的方法如下：

1)使用外部源指定直方圖。Woodfood等人提出用自然圖像構建直方圖數據庫，并使用最接近的匹配直方圖用于圖像去噪[26]。

2)通過用戶交互和參數模型指定直方圖。眾所周知，自然圖像的邊緣梯度直方圖遵循超拉普拉斯模型。通過調整模型的參數，可以很好地估計原始直方圖。

3)對于某些特定的問題，可以直接從退化圖像中估計邊緣直方圖。對于由小的高斯噪聲污染的圖像，梯度直方圖可以通過一維去卷積過程粗略的估計。

針對去噪和去模糊2個不同實驗應用場景，設計了不同的參考梯度直方圖生成方法。在去噪應用中，假定梯度圖像X中所有像素是獨立同分布的，可以將其視作標量變量的樣本，表示為x。這樣X的歸一化直方圖可以看作是x的概率密度函數的離散近似。對于加性高斯白噪聲N，可以將其元素建模為一個獨立同分布變量n的樣本。因為有n～N(0,σ2) ，令v=n，可以知道v也是獨立同分布的高斯分布，其概率密度函數為

(35)

因為有Y=X+N，因此有：Y=X+N，對Y建模為獨立同分布的變量y，有y=x+v。令px是x的概率密度分布，py是y的概率密度分布。因為x和v是獨立的，聯合概率密度分布p(x,v)為

p(x,v)=px×pv,

(36)

因此，py的概率密度分布為

(37)

如果使用歸一化直方圖hx和hy來近似px和py時，可以在離散域中重寫公式(37)為

hy=hx?hv，

(38)

其中，?表示卷積算子。注意hv可以通過對pv離散化而得到。hy可以直接對噪聲觀測y計算出來。因此，hx的估計可以通過建模為一個去卷積的問題

(39)

其中ψ是一個常量，R(hx)是自然圖像梯度直方圖的先驗信息。考慮到hx是px的離散版本，而px可以建模為一個廣義高斯分布。使用廣義高斯分布模型對px建模，并將其離散化為hx。

(40)

在去模糊應用中，由于原始圖像受到模糊核和噪聲污染，梯度直方圖的估計更為困難。考慮到圖像紋理的分形特性和表面的分段平滑特性，許多紋理是尺度不變的，梯度曲線在尺度上大致相等。因此考慮先進行基本的去卷積操作，然后進行下采樣。下采樣的圖像被用來估計梯度直方圖，利用下采樣圖像梯度分布尺度相對不變的特性，同時在下采樣期間也降低了由反卷積引入噪聲的影響。這種方法在大部分應用場景下是有效的。

當對退化圖像進行去模糊時，使用如下的MAP估計器。

(41)

(42)

利用擬合后的廣義高斯分布，離散化后得到參考直方圖hR。雖然通過下采樣可能會丟失細節，但根據實驗結果來看，估計的參考直方圖對于復原任務來說已經足夠準確。

4 實 驗

4.1 實驗環境及參數設置

所提出模型應用于圖像去噪和去模糊實驗中。選擇經典合成圖像及BSDS部分圖像作為評估圖像。實驗的硬件配置為：Intel(R) Core(TM) i7-8700K@3.70GHz，RAM為32G，在Matlab環境下進行測試。采用峰值信噪比PSNR和結構相似性SSIM作為算法的客觀度量。估計圖像的質量越高，通常會有更高的PSNR和SSIM值，相比來說SSIM評估更貼近于主觀質量評價。

確定圖像復原質量的過程稱為圖像質量評估(IQA, image quality assessment)。通常，IQA方法包括基于人類觀察者的感知評估的主觀方法和基于自動預測圖像質量的計算模型的客觀方法。PSNR和SSIM是兩種主流的客觀評估方法。

1)峰值信噪比

(43)

PSNR=10.log10(L2/MSE)。

(44)

在使用8位圖像表示情況下，L等于255，并且PSNR的典型值在20—40之間變化，值越高越好。當L固定時，PSNR僅與圖像之間的像素級MSE相關，僅關注相同位置處的像素值之間的差異而不是人類視覺感知。這導致PSNR在表現真實場景中的圖像的質量方面表現不佳，在這種情況下通常更關注人類感知。PSNR是目前最廣泛使用的復原模型評估標準。

2)結構相似性指數(SSIM, structural similarity index measure)

考慮到人類視覺系統(HVS, human visual system)高度適應從視野中提取結構信息，結構相似性指數被提出用于測量圖像之間的結構相似性，基于亮度、對比度和結構3個相對獨立分量進行比較。對于具有N個像素的圖像I，亮度和對比度分別被估計為圖像強度的平均值和標準偏差。由于SSIM從HVS的角度評估重建質量，因此它更好地滿足感知評估的要求，并且也被圖像復原模型廣泛使用。

主要采用PSNR和SSIM作為客觀度量標準，而主觀方法也用于輔助對于復原方法的評估。

4.2 去噪

為了驗證所提出方法在去噪問題的求解性能，在具有不同紋理結構的自然圖像上進行實驗。同時與一些優秀的去噪算法進行了對比，包括BM3D[8]、EPLL[4]、多尺度EPLL[21]、HOSVDT[30]、MSDCT[31]等，對比方法的代碼來自于作者公開代碼，參數設定來自論文及代碼設置。表1給出方法與其他對比方法的在不同噪聲方差下去噪結果對比，單元格值左側為PSNR值，右側為SSIM值。從表中可以看出在所有噪聲級別上，SSIM指標上研究方法均占有優勢。

表1 去噪結果對比Table 1 Comparison of denoising results

圖1給出噪聲標準差為30情況下的去噪視覺質量對比，總體方法的主觀感觀更好，并且在SSIM指標上也體現了這一點。從圖2—圖4的裁剪局部放大圖也可以得到佐證。圖2為水面區域的局部放大圖對比，BM3D方法和EPLL方法的偽影情況較為嚴重；MEPLL方法盡管一定程度消除了偽影，但是水面區域被過度平滑，盡管取得最好的PSNR值，但是視覺觀感較差；MSDCT方法水面區域相比MEPLL方法更為平滑，已經沒有任何紋理層次，HOSVDT方法雖然保留一定的紋理，但是噪點較為明顯。而方法較好的還原了水面波光粼粼的效果。圖3給出建筑物還原的局部放大圖，方法在可視觀感上更為優秀，尤其在2個細節處：建筑物中的柱子和建筑物前的橋梁柵欄，這兩處方法相比對比方法更為清晰，還原細節較好。從這個實例也可以說明單純的PSNR指標難以完全反映復原算法的優劣，而SSIM指標則較好的反映了主觀視覺質量。

圖1 去噪結果視覺對比(噪聲標準差為30)Fig. 1 Visual comparisons of denoising results(σ=30)

圖2 裁剪局部區域1放大對比Fig. 2 Zooming-in comparison of the cropped region 1

圖3 裁剪局部區域2放大對比Fig. 3 Zooming-in comparison of the cropped region 2

圖4 梯度直方圖對比Fig. 4 Comparison of gradient histograms

圖4給出上例復原圖像各主要方法的水平梯度直方圖和垂直直方圖的對比，為了提高對比效果，縱坐標做了對數處理。從圖中可見，方法復原圖像的直方圖，相比MEPLL和EPLL能更為接近于估計直方圖及原始直方圖分布。這也說明了方法將直方圖先驗與多尺度塊先驗結合，一方面較好的抑制了圖像偽影，尤其是平滑區域的改善，這得益于多尺度的效果；另一方面也提升了紋理區域的細節，改善了視覺質量，這方面更多源自于梯度直方圖的全局統計約束的作用力。以上2點正是研究方法相比傳統方法最為重要的改進，下節的去模糊實驗對這2點有進一步的例證。

4.3 去模糊

在圖像去模糊的實驗中，對測試用圖先施加模糊核，實驗測試了3種模糊核：均勻模糊核(9×9)，高斯模糊核(21×21，標準差為1.6)和運動模糊核(len=20，theat=45)。模糊核退化圖像后，再加入噪聲方差為2的噪聲。在實驗中，除了原始尺度，額外增加2個尺度，下采樣因子分別為2和4。對不同的分量分別指定權值(w1=1，w2=0.25，w3=0.02)，在下采樣之前，并沒有應用濾波器，因為這樣能取得更好的結果。在每次迭代中，通過塊平均來重建抽取的圖像，一定程度上具有低通濾波器的效果，因此即使沒有明確地進行濾波，仍然可以獲得平滑效果。對比方法包括：EPLL[4]、多尺度EPLL[21]、INSR[32]、DeblurGAN[33]等，這些對比方法的代碼來自于作者所公開代碼，參數設定來自代碼及論文設置。表2給出測試圖像在3種不同模糊核下平均去模糊結果對比。從對比結果看，本研究方法在PSNR和SSIM均占有都有優勢。

表2 去模糊結果對比Table 2 Comparison of deblurring results

圖5給出butterfly圖像在3種模糊核下復原效果對比。方法在所有3種模糊核情況下，都具有更好視覺還原質量及更好客觀度量值。

圖5 去模糊視覺質量對比Fig. 5 Comparison of visual quality of deblurring

圖6給出圖5運動模糊核下復原結果局部放大區域的視覺質量對比。DeblurGAN由于測試數據集與訓練數據集的有一定差異，還原效果比較糟糕，由于生成對抗網絡(GAN, generative adversarial networks)建模固有的模型塌陷問題，導致生成圖像的多樣性不足，通常容易出現復原圖像的保真度較差；MEPLL和INSR方法的噪點較多，尤其是INSR方法更為明顯，平滑度不足；EPLL方法有點過度平滑，相比研究方法銳度不夠，觀感度較差；而研究方法較好地兼顧了局部紋理的還原度、銳度及平滑度，這一結果也進一步印證了上節的分析。

圖6 裁剪局部區域放大對比Fig. 6 Zooming-in comparison of the cropped region

為獲得最佳性能，實驗中發現權值w2設置為負值，視覺質量更為理想，這一點與文獻[21]的實驗結果類似。從原始圖像中減去其模糊版本，從而獲得銳化效果，這有助于進行去模糊的任務。相關的解釋源于圖像處理中的偏微分方程的領域。EPLL方法是迭代恢復算法，因此，它可以被視為擴散過程。在處理去模糊問題時，普通擴散是不夠的，因為它不會在初始圖像中向已存在的細節添加新的細節。為了緩解這個問題，可以使用反應擴散過程，也稱為前向和后向擴散。前向過程去噪平滑區域，而后向過程增強邊緣和特征。后向擴散是試圖向后移動并反轉擴散過程，以重建丟失的特征。在多尺度先驗中的負權重可以被視為向原始EPLL完成的已經存在的前向擴散添加后向擴散過程的嘗試。通過改變增加尺度的權重符號，實現反轉擴散，從而有助于增強細節。

4.4 收斂性分析

研究方法的收斂性實驗結果，以去高斯模糊和去運動模糊實驗為例，圖7給出部分測試圖像隨迭代推進PSNR值的變化情況。可以觀測到隨著迭代的增加，PSNR值顯著增長，大部分測試圖像在經過6～7輪基本會達到峰值。在實驗中統一設置最大迭代次數為7次，總體來說，這一設置能夠取得比較好的收斂效果，在視覺質量及效率間取得較好的折衷。通過實驗說明了方法的算法收斂性方面表現理想，能在較低的時間復雜度情況下，完成復原工作。

圖7 研究方法的收斂性Fig. 7 The convergence of the proposed method

5 結 語

提出一種將梯度直方圖先驗與多尺度塊先驗集成建模的圖像復原方法，以施加非局部性及全局統計約束。首先，利用多尺度塊先驗，對退化圖像執行濾波和下采樣過程，通過濾波器的調整實現尺度不變性，在所有尺度圖像的塊上施加同樣的塊局部模型；其次，利用Wasserstein距離作為衡量復原圖像直方圖與參考直方圖的相似性度量，來施加直方圖全局統計約束；針對不同的復原任務，通過廣義高斯分布參數優化調整來估計參考直方圖。最后，將所提出模型在圖像去噪和去模糊任務中進行了實驗，相比傳統方法取得了更好的視覺質量。下一步，將把模型擴展應用于圖像填充及超分辨等圖像復原任務中。