基于多重相關狀態采樣的多元EWMA控制圖

劉欣怡　朱永忠

摘 要：為提高控制圖的監測效率，提出了一種基于多重相關狀態采樣的多元EWMA控制圖，并利用改進后的馬爾可夫鏈方法計算控制圖的平均運行長度。根據不同參數下控制圖的平均運行長度，分析了控制圖在失控和受控狀態下的性能表現，并與其它多元EWMA控制圖進行比較。模擬結果表明，該控制圖具有良好的監測能力。最后用一組模擬數據來說明該方法的使用。

關鍵詞：多重相關狀態采樣;多元EWMA控制圖;平均運行長度;馬爾可夫鏈

中圖分類號：O212????? 文獻標識碼：A

A New Multivariate EWMA Control Chart Using

Multiple Dependent State Sampling

LIU Xin-yi， ZHU Yong-zhong

（School of Science， Hohai University， Nanjing， Jiangsu 211100， China）

Abstract：To improve the efficiency of control chart， a new multivariate EWMA control chart has been developed using multiple dependent state sampling. The parameter of the proposed control chart as well as the average run length has been evaluated for different process settings using an improved Markov chain model. The proposed control chart has been evaluated using the average run length of the in-control and out-of-control process. The comparison of performance of the proposed and existing control chart has been studied. It has been shown that the proposed control chart using MDS sampling is more sensitive than the existing control chart. A simulated data is used to illustrate the procedure of the proposed control chart.

Key words：multiple dependent state sampling; multivariate EWMA control chart; average run length; Markov chain model

在產品質量控制和管理中，統計過程控制（Statistical Process Control， SPC）起著很重要的作用，其最重要的方法就是繪制統計過程控制圖。現今，很多工業過程需要同時監測多個相關的質量特性，因此很多研究者著眼于多元控制圖的研究。Hotelling[1]首先提出了用于監測較大偏移的T2控制圖，隨后Crosier[2]和Lowry等[3]分別于1988年和1992年提出了多元累計和（Multivariate Cumulation Sum， MCUSUM）和多元指數加權移動平均（Multivariate Exponentially Weighted Moving Average， MEWMA）控制圖。MacGregor和Kourti[4]，Lowry和Montgomery[5]及Montgomery[6]詳細介紹了已有的幾種多元控制圖。

為了進一步提高控制圖的靈敏度，很多學者提出了利用各種采樣方法作為運行準則的控制圖。Wortham和Baker[7]于1976年首先提出了多重相關狀態（Multiple Dependent State， MDS）采樣方法。Aslam等[8]于2015年將MDS采樣和傳統的計數控制圖相結合，提出了一種基于MDS的計數控制圖。Aldosari等[9]將MDS采樣方法運用到了變化抽樣區間的控制圖中。2016年，Aslam等[10]提出了一種基于MDS的用于監測服從指數分布的質量特性的控制圖。Raza等[11]研究了當質量特性服從多元泊松分布時，采用MDS方法對控制圖的影響。最近，Khan等[12]提出了一種基于MDS的自適應控制圖。以上這些控制圖都表明了利用MDS采樣方法會提高控制圖的靈敏度。但該方法還沒有應用于質量特性服從多元正態分布的情形。因此將MDS采樣方法拓展到質量特性服從正態分布的問題中，利用EWMA統計量構造一個新的控制圖（MDS-MEWMA圖），通過計算該控制圖的平均運行長度（Average Run Length，ARL），并對比其他MEWMA控制圖的ARL，說明該方法的有效性。

結構安排如下：第1節介紹MDS采樣方法，并建立基于MDS的MEWMA控制圖。第2節通過馬爾科夫鏈方法計算MDS-MEWMA圖的ARL，并通過和其他控制圖的比較來分析其性能表現。第3節通過模擬來具體說明該控制圖的應用。最后第4節對文章進行了總結。

1 基于MDS的MEWMA控制圖

1.1 多重相關狀態采樣方法的描述

多重相關狀態采樣方法最早由Wortham和Baker[7]提出，用于判斷某一批次生產的產品是否合格，其核心思想為延遲決策。設MDS（r，b，m）表示一個判斷準則，其中r（r≥0）表示無條件接受的最大缺陷數;b（b>0）表示當有附加條件時，可額外接受的缺陷的最大數量;m（m>0）表示當有附加條件時，延遲決策所需要的未來批次的數量。具體過程如下：

第一步：對于批次k，從當前批次中選擇n個單位的隨機樣本，并確定缺陷數c。

第二步：若c≤r，則接受該批次，認為該批次生產的產品為合格品;

若r+1≤c≤r+b，則推遲決策直到得到接下來m個批次的樣本，并確定每個批次樣本的缺陷數c（c1，c2，…cm）。若對j=1，2，…，m，都有cj≤r，則接受當前批次，認為該批次生產的產品為合格品;若有任何一個批次的產品被判定為不合格品，則拒絕當前批次，認為當前批次生產的產品不合格;

若c>r，則拒絕當前批次，認為該批次生產的產品不合格。

第三步：令k=k+1，并返回Step 1。

該方法將當前批次的信息和未來批次的信息結合，使決策的結果更加準確和可靠。

1.2 基于MDS的MEWMA控制圖

假設某一生產過程需要監測的質量特性共有p（p≥2）個，由這些質量特性組成的隨機向量X=（X1，X2，…，Xp）′服從均值為μ=（μ1，μ2，…，μp）′，協方差陣為Σ的二元正態分布，即X～Np（μ，Σ）。

定義第i個批次的MEWMA統計量Zi為：Zi=R（Xi-μ）+（I-R）Zi-1，其中Z0=（0，0，…，0）′，R=diag（r1，r2，…，rp）′，（0≤rj≤1，1≤j≤p）為平滑系數矩陣;I為單位陣。MEWMA控制圖可以針對不同的質量特性Xi選擇不同的平滑系數。當生產過程出現了較大的變動時，可以選擇較小的rj，而當出現較小變動時，則需要選擇較大的平滑系數。通常選擇r1=r2=…=rp，在這種情況下，MEWMA統計量可簡化為：

Zi=r（Xi-μ）+（1-r）Zi-1（1）

其協方差矩陣為ΣZi=r1-（1-r）2i2-rΣ。當生產的批次足夠多，即i足夠大時，協方差矩陣可近似為：

ΣZi=r2-rΣ（2）

將統計量T2i=Z'iΣ-1ZiZi繪制于MDS-MEWMA圖中，并通過MDS采樣方法判斷過程是否受控。Lowry等[3]證明了MDS-MEWMA圖的ARL值只與由均值向量μ和協方差陣Σ組成的非中心參數λ=（μ'Σ-1μ）1/2有關。

繪制基于MDS采樣方法的MEWMA控制圖的步驟如下：

第一步：選定第i個生產過程得到的樣本，測量其要監測的質量特性Xi，并計算其MEWMA統計量Zi。

第二步：若Zi≤h1，則判定該生產過程處于受控狀態;若Zi≥h2，則為失控狀態。否則，執行第三步。

第三步：若h1≤Zi≤h2，則推遲決策直到得到接下來的k個生產過程的樣本：若這k個生產過程都為受控狀態，即Zj≤h1，j=1，2，…，k，則認為當前生產過程處于受控狀態;否則認為該生產過程為失控狀態。

其中，k稱為MDS參數，由不同的生產過程決定。當k=0時，MDS-MEWMA控制圖就是由Lowry等提出的傳統的MEWMA控制圖。

傳統的MEWMA控制圖只有上控制限，而MDS-MEWMA控制圖在上控制限的基礎上又增加了一條控制限，兩條控制限分別為內控制限（h1）和外控制限（h2），可根據控制圖的平均運行長度ARL來確定。通常控制圖有兩類ARL，即受控的ARL（ARL0）和失控的ARL（ARL1）。ARL的常用計算方法主要有馬爾可夫鏈方法，積分方程法和隨機模擬法。基于已有研究方法，采用馬爾可夫鏈方法來計算。

在計算得到狀態空間后，可通過轉移概率矩陣計算出ARL，但該控制圖的轉移概率矩陣具有較強的稀疏性，在此基礎上進行計算會很困難。Woodall和Reynolds[13]針對轉移概率矩陣具有較強的稀疏性的情況，提出了一種新的計算ARL的方法。基于此方法可計算出MDS-MEWMA控制圖的ARL。

為了確定該控制圖的狀態空間，定義W′=（W1，W2，…，Wk+1），X′=（X1，X2，…，Xk+1），其中

Wj=1，Zj∈（h1，h2）0，其他???? ，

Xj=Wj，∑jh=1Wh

此時，X′=（X1，X2，…，Xk+1）表示此控制圖的一個狀態。得到控制圖的狀態空間后，可以很容易地計算出ARL。

以k=3的控制圖為例，將整個空間劃分為三個區域：（0，h1），（h1，h2），（h2，+SymboleB@），則該控制圖共有7個狀態，如表1所示。設pj（j=1，2，3）表示監測統計量落在第j個區域內的概率，則可得到該控制圖運行長度的概率分布。

對于初始狀態為i的控制圖，可通過如下公式來計算其ARL：

ARL∑nh=1hP（Ni=h）+λ^P（Ni=n）×n1-λ^+1（1-λ^）2

其中λ^=1-∑nh=1P（Ni=h）1-∑n-1h=1P（Ni=h），n=ARL0，P（Ni=h）表示初始狀態為i，經過h步到達吸收態的概率。

2 MDS-MEWMA控制圖的性能表現

通過平均運行長度來分析控制圖的性能表現，將其與已有的MEWMA控制圖進行比較，以度量他們的監測效率。設定控制圖受控狀態下的ARL為200，計算并比較ARL1。

計算p=2，k=1，2，3，r的取值在0.05到3之間時MDS-MEWMA控制圖的ARL1值，結果見表2，表3，表4。分析后可知，當固定MDS參數k的值時，隨著平滑系數r的減小，ARL的值在減小。如表2所示，當固定λ=0.25，r=0.2時，控制圖的ARL為65.89，而r=0.8時該控制圖的ARL值為105.64。當其他參數不變，MDS參數k的值增加時，該控制圖的ARL也會減小。表2中k=1，λ=0.5，r=0.4時，該控制圖ARL的值為38.42，而表3中其他條件相同，k=2時，該控制圖的ARL值為32.42。

圖1給出了k=1時不同的平滑系數下，MDS-MEWMA控制圖的ARL的比較。從圖中可以看出該控制圖在r=0.2時，其監控效果相對較好。因此，在實際生產過程中，可以選擇較大的k值和較小的r值來獲得更好地監控效果。

為了進一步研究MDS-MEWMA控制圖的表現性能，不將同參數下MDS-MEWMA控制圖和已有MEWMA控制圖的ARL進行比較。設定每種控制圖具有相同的受控ARL，并比較失控ARL，如圖2所示。圖2中k=0的曲線代表了傳統的MEWMA控制圖，從圖中可以看出基于MDS采樣方法的MEWMA控制圖在ARL方面表現更好，對于較小變動的監測更有效。

3 數據案例

下面用一組模擬數據來說明MDS-MEWMA控制圖的使用。首先利用MATLAB生成50組服從二元正態分布的隨機數組，其中前35組為處于受控過程的均值為μ=（0，0），協方差陣為Σ=1001的質量特性，后15組為偏移程度為0.5的失控狀態下的質量特性。

取k=3，r=0.2，繪制MDS-MEWMA控制圖，結果見圖3。該控制圖繪制過程與傳統的MEWMA控制圖做法一樣，不同之處在于對于失控狀態的判斷，故將兩種控制圖繪制在一張圖中，以便比較。圖3中有三條控制限，分別為h，h1和h2。其中h為傳統的MEWMA控制圖的控制限，h1和h2分別為MDS-MEWMA控制圖的內控制限和外控制限。從圖中可以看出，當使用MEWMA控制圖對該過程進行監控時，失控信號出現在第41個點，而當使用MDS-MEWMA控制圖時，在第38個點處就已經發出了失控信號，比傳統控制圖提前了3個點。因此MDS-MEWMA控制圖可以更有效的對較小的過程偏移進行監測。

4 結 論

為了充分利用未來信息，更靈敏地監測較小的過程偏移，討論了基于MDS采樣方法的一種新的MEWMA控制圖。運用馬爾可夫鏈方法估計了該控制圖的參數，計算平均運行長度ARL，并和傳統的MEWMA控制圖進行比較。研究表明MDS-MEWMA控制圖的監控效率優于一般的MEWMA控制圖。當過程失控時，MDS-MEWMA控制圖能更快的發出失控信號，提高生產效率。最后利用一個模擬數據來具體說明該控制圖的應用，同時也表明MDS-MEWMA控制圖的監控效果優于傳統的MEWMA控制圖。未來的研究可著眼于對基于MDS采樣方法的控制圖的優化方面，對其中的參數進行調整，以便達到更好地監測效果。

參考文獻

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