坡地地形對地震動特性的影響分析1

郝明輝 張郁山 趙鳳新

（中國地震災害防御中心，北京 100029）

引言

大量震害調查、強震觀測及理論研究表明（Borcherdt，1970；Boore，1972；Ashford 等，1997），地形條件對地震動的影響較大，不容忽視。通過整理震害出現的地形資料，依據地貌幾何形態將地形分為河谷、山地、階地、斜坡、陡坎，山脊、山梁，臺塬、盆地。大量學者研究了不同地形對地震動特性的影響，如梁建文等（2003）給出了凹陷地形SV 波入射下的解析解；巴振寧等（2018）采用間接邊界元法研究了SV 波入射下沉積谷地對地震動的放大效應，并分析了有無覆蓋層及多個谷地對結果的影響；劉中憲等（2019）基于快遞多極子間接邊界元法，針對城市區域沉積盆地進行了三維地震動響應模擬，結果表明入射頻率、盆地形狀和盆地內部位置點對沉積盆地地表位移放大作用均有不同程度的影響；周國良等（2012）和孫緯宇等（2019）研究了河谷地形對地震動分布特性的影響，結果表明河谷地形對地震動分布具有重要影響。沿河谷斜坡頂到谷底的各觀測點地震動峰值加速度存在顯著差異，地震動位移存在差動現象。袁曉銘等（1996）給出了任意圓弧形凸起地形對平面SH 波散射的解析解；蔣涵等（2015）采用三維譜元法模擬地震波傳播，研究了蘆山地區地震動頻譜特征；李英民等（2019）和郝明輝等（2019）分別采用動態子結構法、有限元有限差分法研究了凸起地形對地震動特性的影響，并分析了坡角、坡高、入射角度等因素對計算結果的影響。近年來，大量城市建筑建于山坡上，坡地地形對地震動的放大效應不容忽視（殷躍平，2008）?！督ㄖ拐鹪O計規范》（GB 50011?2010）（中華人民共和國住房和城鄉建設部等，2010）針對坡地地形給出了設計地震動影響系數的調整；李英民等（2010）采用脈沖輸入研究了巖質坡地地形對反應譜特性的影響；李家祥等（2021）研究了SH 波入射下斜坡地形對地震動特性的影響，定量分析了SH 波垂直入射下二維斜坡地形地震動響應與斜坡角度、土層厚度及介質阻抗比的關系。但上述研究均采用脈沖輸入，而實際地震動是非常復雜的，且受地震波頻散和干涉等因素影響，實際地震動脈沖之間存在復雜的相位關系。因此，基于脈沖輸入的地形對地震動峰值的放大倍數無法直接用于評估地形對實際地震動峰值的放大效應（郝明輝等，2014）。此外，除峰值、頻譜特性外，阿里亞斯烈度也是表征地震滑坡穩定性的重要地震動特性參數（劉甲美等，2015）。因此，本文針對坡地地形，基于透射人工邊界的有限元有限差分方法，采用人工合成地震動，研究SV 波垂直入射下，坡地地形對地震動峰值、反應譜、阿里亞斯烈度等的放大效應，并定量分析坡高、坡角對計算結果的影響，從而為坡地地形上建筑物選址及地震動參數的確定提供理論參考。

1 模型及分析方法

局部坡地地形模型如圖1 所示。坡地地表包括頂部平臺、斜坡面和坡底段。利用人工邊界從無限大場地中切取包含局部坡起在內的有限元計算區域，腳點與左、右人工邊界的垂直距離取為5H/tanα（H為坡高，α為坡角），與底人工邊界的垂直距離為5H，可滿足計算精度要求，減小人工邊界的影響。采用四邊形有限元網格離散，網格尺寸為1 m×1 m，以獲取對高頻成分可靠的數值模擬結果。介質假定為均勻、各向同性、黏彈性，縱波波速表示為cp，橫波波速表示為cs，阻尼比表示為ζ。本文主要考慮巖石介質，其剪切波速取為1 400 m/s，壓縮波速取為2 000 m/s，人工邊界區介質波速取為1 200 m/s，僅考慮平面SV 波垂直入射情況。

圖1 局部坡地模型Fig. 1 A model with local terrain

為消除輸入地震動隨機性對分析結果的影響，本文采用多組輸入地震動計算得到的反應譜譜比平均值，研究坡地地形對地震動反應譜的放大效應。針對第i個輸入地震動樣本ai（t），利用程序TPG2D 求解圖1 所示凸起的地震反應，得到不同輸出點地震反應加速度時間過程ari（t,→x），其絕對加速度反應譜為Sra,i（T,→x）， →x為輸出點空間坐標，→x=[x,y]T。

已有研究表明（郝明輝等，2014），利用Hanning 窗對3 個輸入地震動樣本計算所得平均反應譜譜比曲線進行平滑，所得結果與大樣本數量所得平均值相近，可有效消除輸入地震動隨機性的影響，同時降低計算工作量：

式中，Hann[f(x)]表示利用Hanning 窗對函數f(x)進行平滑處理。下文研究的反應譜譜比是由式（2）定義的反應譜譜比。后續計算結果均采用3 個輸入地震動樣本計算所得結果的平均值表征。

基于郝明輝等（2014）的研究，采用人工合成的地震動時程作為模型輸入，研究凸起地形對地震動反應譜的放大效應，其中1 個輸入地震動樣本加速度、速度和位移時程曲線如圖2 所示。

圖2 輸入地震動時程曲線Fig. 2 Acceleration, velocity and displacement curves of artificial ground motion samples

2 計算方法

2.1 集中質量顯式有限元內點計算方法

集中質量顯式有限元的實質是從當前時刻節點運動方程推求下一時刻節點運動，無須進行剛度矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣集成，其右端項的形成僅需在單元一級水平上根據每個單元對有效荷載向量的貢獻累加，整個計算基本在單元一級水平上進行，僅需很小的高速存貯區，計算效率較高。當一系列單元剛度矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣相同時，無須重復計算，效率更高。

2.2 透射人工邊界

2.3 程序驗證

采用上述基于透射人工邊界的顯式有限元計算方法，開發了并行化Fortran 數值計算程序TPG2D，并移植到北京工業云計算平臺上運行。為驗證該程序計算結果的正確性，計算了彈性半空間在SV 波和P 波垂直入射下的動力響應，并與理論解進行對比。

從二維半無限空間中截取6 m×50 m的有限范圍，單元網格尺寸為1 m×1 m，材料彈性模量E=2.4×107Pa，泊松比μ=0.2，質量密度ρ=1 000 kg/m3。在底部垂直向上入射水平方向單位脈沖剪切位移波和豎直方向單位脈沖壓縮位移波：

圖3 所示為程序TPG2D 計算得到的有限元模型底部、中部、頂部水平向和豎直向位移時程曲線與理論解的比較。入射波由底部向上傳播，在自由地表發生反射，自由地表處位移幅值為輸入波幅值的2 倍。由圖3 可知，程序TPG2D 計算結果與理論解吻合較好，證明了本文采用計算方法的正確性和有效性。

圖3 數值解與理論解比較Fig. 3 Comparison of viscous-elastic boundary calculated results with the theoretical solution

式中，f=4 Hz。

3 坡地地形地表不同位置放大系數

以坡高50 m、坡角45°的坡地地形為例，分析地形效應對地震動反應譜特性的影響。坡底段、斜坡段、平臺段不同空間點反應譜譜比曲線如圖4～6 所示。由圖4～6 可知，在遠離斜坡的坡底段反應譜譜比基本在1 附近波動，越靠近斜坡放大效應越明顯（節點2）；對于斜坡段，各點反應譜譜比最大值沿坡高逐漸增大，而坡腳點對地震動反應譜呈縮小效應（藍色實線），斜坡頂點在大部分頻段對地震動起放大作用，反應譜譜比最大值達1.24（紅色實線）；對于斜坡平臺段，平臺節點在大部分頻段反應譜譜比均>1，對地震動均起放大作用。

圖4 坡底段地表點反應譜譜比曲線Fig. 4 Spectral ratio chart of surface point on bottom

4 坡高對計算結果的影響

坡角α取為45°，分析坡高變化對斜坡頂點反應譜譜比的影響。入射地震波采用垂直入射的SV 波。參與計算的凸起地形坡高H分別取20.0、30.0、40.0、50.0、60.0、70.0、80.0、90.0、100.0、110.0、130.0、150.0、170.0、190.0、210.0 m。斜坡頂點反應譜譜比隨坡高變化曲線如圖7 所示，由圖7 可知，不同坡高反應譜譜比曲線形狀基本相同。反應譜譜比峰值點對應的特征周期隨著坡高的增加呈增長趨勢，峰值點對應的反應譜譜比隨著坡高的增加呈增大趨勢。在本文研究的坡高范圍內，周期>1.0 s 的反應譜譜比隨著坡高的增加呈增大趨勢，最大值達1.3，且隨著周期的增大，反應譜譜比逐漸趨于1.0，說明這一坡高范圍對較長周期地震動成分的影響逐漸減弱，在反應譜上表現為斜坡頂點地震動反應譜與自由地表地震動反應譜相差較小。周期為0.1～0.3 s 時，隨著坡高的增加，反應譜譜比呈減小趨勢。在其他周期范圍內，反應譜譜比隨坡高的變化不再呈單調變化趨勢，變化規律較復雜。

圖5 斜坡段地表點反應譜譜比曲線Fig. 5 Spectral ratio chart of surface point on the slope

圖6 平臺段地表點反應譜譜比曲線Fig. 6 Spectral ratio chart of the surface point on the platform

圖7 斜坡頂點反應譜譜比隨坡高變化曲線Fig. 7 Spectral ratio curve of the vertex with different heights

圖8 所示為坡腳點反應譜譜比隨坡高變化的曲線，由圖8 可知，不同坡高反應譜譜比曲線在大部分周期點對地震動的放大作用均不明顯，基本呈減弱趨勢，反應譜譜比最小值為0.5。在本文研究的坡高范圍內，所有周期范圍內反應譜譜比隨坡高的變化不再呈單調變化趨勢，變化規律較復雜。

圖8 斜坡腳點反應譜譜比隨坡高變化曲線Fig. 8 Spectral ratio curve of the Slope toe with different heights

圖9 所示為斜坡頂點不同反應譜控制周期點處反應譜譜比隨坡高的變化曲線，由圖9 可知，長周期范圍（藍線）反應譜譜比隨坡高變化較明顯，且反應譜譜比隨坡高的增加呈增大趨勢，最大值達1.25 左右；當坡高>160 m 后，反應譜譜比隨坡高的增加呈減小趨勢；短周期范圍（黑線）隨坡高變化反應譜譜比基本呈減弱趨勢，當坡高>60 m 后，峰值加速度基本隨著坡高的增加而減弱，且當坡高>130 m 后峰值加速度放大系數基本保持不變；峰值速度隨著坡高的增加呈增大趨勢，PGV 放大倍數最大值達1.2 左右，PGD 放大倍數基本在1 左右。

圖9 不同周期點處斜坡頂點反應譜譜比隨坡高變化曲線Fig. 9 Variation curve of slope peak spectral ratio with height at different periodic points

圖10 所示為斜坡頂點阿里亞斯烈度比值隨坡高變化曲線，由圖10 可知，對于寬度為50 m、坡角為45°的計算模型，當坡高<30 m 時，斜坡頂點阿里亞斯烈度比值隨著坡高的增加呈增大趨勢；當坡高>30 m 時，斜坡頂點阿里亞斯烈度比值隨著坡高的增加呈減小趨勢。

圖10 斜坡頂點阿里亞斯烈度比值隨坡高變化曲線Fig. 10 Curve of arias intensity ratio with height at the top of slope

圖11 所示為節點1～7（坡高50 m，坡角45°）阿里亞斯烈度比值，由圖11 可知，地形對平臺中點和平臺頂點阿里亞斯烈度的放大作用較大，最大值達1.2；地形對腳點、斜坡中點阿里亞斯烈度起減小作用；地形對自由地表點阿里亞斯烈度的放大系數基本為1，這與地表點反應譜譜比放大規律基本一致。

圖11 地表點阿里亞斯烈度比值Fig. 11 Arias intensity ratio map of surface points

5 坡角對地震動特性的影響

將圖1 所示凸起地形模型寬度B取為50 m，坡高H取為50 m，研究坡角變化對地震動反應譜特性及阿里亞斯烈度的影響。入射地震波為垂直入射的SV 波，參與計算的坡角分別取20°、25°、30°、35°、40°、45°、50°、55°、60°。

不同坡角對應的斜坡頂點反應譜譜比曲線如圖12 所示，由圖12 可知，相比凸起臺地地形，不同坡角反應譜譜比曲線變化規律不同（郝明輝等，2019），反應譜譜比最大值為1.28 左右，說明坡角變化對反應譜某頻段上的最大反應的影響較大。在坡高不變的情況下，隨著坡角的增大，高頻段（0.01～0.03 s）及低頻段（0.3～6.0 s）放大倍數增大，中間頻段（0.03～0.3 s）在不同周期點處放大倍數與坡角之間的變化規律較復雜。

圖12 不同坡角對應的斜坡頂點的反應譜譜比曲線Fig. 12 Spectral ratio curve of the vertex with different slopes

圖13 所示為不同反應譜控制周期點處反應譜譜比隨坡角變化曲線，由圖13 可知，長周期范圍（藍線）反應譜譜比隨著坡角的增加呈增大趨勢，反應譜譜比最大值為1.1 左右；短周期范圍（黑線）反應譜譜比隨著坡角的變化較復雜，在坡角較大的情況下，反應譜譜比隨著坡角的增加呈增大趨勢；PGA 受坡角的影響較大，反應譜譜比最大值達1.3 左右；PGV、PGD 隨坡角變化不明顯，PGV 放大倍數基本為1.1 左右，PGD放大倍數基本為1 左右。

圖13 不同周期點處反應譜譜比隨坡角變化曲線Fig. 13 Variation curve of slope peak spectral ratio with slope at different periodic points

圖14 所示為斜坡頂點阿里亞斯烈度隨坡角變化曲線，由圖14 可知，對于寬度50 m、坡角45°計算模型，斜坡頂點阿里亞斯烈度比值在坡角>30°后基本隨著坡角的增加呈增大趨勢，最大值達1.38。

圖14 斜坡頂點阿里亞斯烈度比值隨坡角變化曲線Fig. 14 Curve of arias intensity ratio with slope at the top of slope

6 結論

本文基于有限元有限差分法，結合人工透射邊界理論，研究了局部坡地地形對地震動特性的影響，分析了坡高、坡角對地形放大效應的影響，得出以下結論：

（1）斜坡頂點地震動受地形效應的影響較大，在零阻尼條件下，反應譜譜比曲線呈雙峰特點，腳點在大部分周期點對地震動呈縮小效應。

（2）在坡角一定的情況下，斜坡頂點反應譜譜比峰值點對應的特征周期隨著坡高的增加呈增長趨勢，對應的譜比隨著坡高的增加呈增大趨勢。斜坡頂點阿里亞斯烈度比值在斜坡坡高大于一定值后隨著坡高的增加呈減小趨勢，與地震動高頻成分受地形影響的規律基本一致。

（3）當坡高不變時，斜坡頂點反應譜譜比放大倍數與坡角之間的變化規律較復雜。此外，斜坡頂點阿里亞斯烈度比值在坡角大于一定值后基本隨著坡角的增加呈增大趨勢。