向量組的線性相關(guān)性有關(guān)概念的高等代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

顧勇為 張錦添

（信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部，河南 鄭州 450001）

高等代數(shù)是一門抽象性較強(qiáng)的課程，作為大學(xué)數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)專業(yè)必修的數(shù)學(xué)專業(yè)課程，學(xué)員從中學(xué)階段接觸的二維平面、三維空間問題，拓展到高等代數(shù)中向量拓展到了n維的情形，缺乏幾何直觀，非常抽象，對(duì)于概念和方法都非常難以理解。并且在后面線性空間，線性變換的學(xué)習(xí)中，廣義向量的引入讓數(shù)學(xué)的表達(dá)方式和抽象性又有了一次全面的提升，這就需要學(xué)生培養(yǎng)一定的抽象思維能力，才能完成深入思考，而抽象思維的基石是不斷搭建起來的一系列概念體系。舊的概念在頭腦中不斷根深蒂固，由抽象變?yōu)樾蜗螅蔀閷W(xué)習(xí)新的、深一層的抽象概念的基石；而這些抽象概念又不斷根深蒂固起來，不斷由抽象變?yōu)樾蜗螅蔀橄乱徊綄W(xué)習(xí)的基石，這樣思維得以螺旋上升。由此可見，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)在教學(xué)過程中至關(guān)重要，必須進(jìn)行精心設(shè)計(jì)、反復(fù)打磨。下面以高等代數(shù)中向量組的線性相關(guān)性的有關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)為例談一點(diǎn)體會(huì)。

1）從生活和歷史背景出發(fā)引入新概念。為引入向量概念，先介紹向量的歷史起源。向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓。18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾用平面坐標(biāo)上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，并利用復(fù)數(shù)運(yùn)算定義了向量的運(yùn)算。19世紀(jì)80年代，英國數(shù)學(xué)家居伯斯在三維空間中定義了向量，并把向量概念引入到微積分，豐富和發(fā)展了解析幾何。通過這些歷史背景和生活場(chǎng)景，使學(xué)員對(duì)以往接觸的向量的概念獲得一個(gè)綜合印象，消除對(duì)向量陌生抽象的感受。

2）強(qiáng)調(diào)向量組的線性相關(guān)性本質(zhì)。向量組的相關(guān)性是一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。線性相關(guān)與線性無關(guān)是兩個(gè)相反的概念，搞清其中一個(gè)，另一個(gè)就好理解了。線性無關(guān)的向量組的定義為：若一個(gè)向量組線性組合出一個(gè)零向量時(shí)，其組合系數(shù)只能全為0，則稱該向量組是線性無關(guān)的。這個(gè)定義十分抽象，必須做好教學(xué)設(shè)計(jì)，才能使學(xué)員易于接受。

我們?cè)诮虒W(xué)中采取了以下方法。首先復(fù)習(xí)向量組的線性表示，提出一個(gè)引例。向量組A：可以線性表示向量。然后提問：向量組A還能夠線性表示哪些向量？此時(shí)學(xué)員一定發(fā)現(xiàn)這個(gè)向量組可以表示任意一個(gè)二維向量，或者說能表示整個(gè)二維平面R2。我們給出一個(gè)概念，二維平面R2可以由向量組A生成，即。接下來我們把三個(gè)向量組成一個(gè)向量組B：。并提出問題：向量組B能夠線性表示哪些向量？學(xué)員不難回答還是二維平面R2，也不難理解。此時(shí)出現(xiàn)一個(gè)問題：以上有兩種方式生成二維平面R2，哪一種更加簡(jiǎn)潔明了？顯然比簡(jiǎn)潔明了，其原因在于向量組B多出一個(gè)向量，這個(gè)向量可以由線性表示。而向量組A中的任意向量都不能被其余向量線性表示。從直觀上，認(rèn)識(shí)到A這樣的向量組是重要的。

接下來我們給出一個(gè)定理：一個(gè)向量組，其中的任意一個(gè)向量都不能被其余向量線性表示，其充要條件是，該向量組線性組合出一個(gè)零向量時(shí)其組合系數(shù)只能全為0。并證明之。做了以上鋪墊后，我們給出線性無關(guān)的向量組的定義為：若一個(gè)向量組線性組合出一個(gè)零向量時(shí)其組合系數(shù)只能全為0，則稱該向量組是線性無關(guān)的。再說明這樣的向量組，實(shí)際上其中的任意一個(gè)向量都不能被其余向量線性表示。就比較好理解了。

那么為什么線性無關(guān)向量組的定義，一般不用“其中的任意一個(gè)向量都不能被其余向量線性表示”呢？這是因?yàn)椋@樣的定義在實(shí)踐中不便操作，但這是一個(gè)易于理解的定義，它揭示了線性無關(guān)的本質(zhì)。

3）運(yùn)用類比理解向量組的最大無關(guān)組。人類總是在尋找構(gòu)成世界的基本元素，從金木水火土，到元素周期表。向量組，特別是包含無窮多個(gè)向量的向量組，有沒有較少的一些元素，或說較少的一些向量，可以生成整個(gè)向量組呢？最大無關(guān)組正是由這樣的一些代表元素所構(gòu)成，一方面它們可以線性表示出整個(gè)向量組；另一方面如果它們其中減少了一個(gè)，就不足以線性表示出整個(gè)向量組了，即一個(gè)都不能少。另外，最大無關(guān)組不是唯一的。這個(gè)數(shù)學(xué)概念，可以類比生活中的很多實(shí)際問題。比如，人們吃飯要講究營養(yǎng)搭配，需要淀粉、蛋白質(zhì)、脂肪、維生素，那么可以選擇A套餐：米飯、雞蛋，炒肉、蘋果。也可以選擇B套餐：面條、豆腐、雞腿、桔子。每個(gè)套餐中各種食材具有不同的營養(yǎng)成分（類似于線性無關(guān)），而且營養(yǎng)套餐不唯一（類似于最大無關(guān)組不是唯一的）。

一個(gè)典型的問題是，已知一個(gè)向量組的每個(gè)具體向量，求該向量組的最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。為了解決這個(gè)問題，先做好理論鋪墊，證明以下命題：對(duì)一個(gè)矩陣作行初等變換，不改變列向量組的線性相關(guān)性。這個(gè)命題是易于理解的。有了該命題，我們解決前述問題，就可采用以下方法，將這個(gè)向量組的所有向量按列組合出一個(gè)矩陣，對(duì)該矩陣做行初等變換，成為行最簡(jiǎn)形矩陣，從行最簡(jiǎn)形矩陣找出列向量組之間的線性關(guān)系十分方便，而此關(guān)系與行初等變換之前的列向量組之間的線性關(guān)系是一致的。這由剛剛給出的命題可知。

4）設(shè)計(jì)新概念理解線性方程組的基礎(chǔ)解系。學(xué)習(xí)線性方程組的基礎(chǔ)解系之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了線性方程組是否有解及其解是否唯一的判定方法，熟悉了用行初等變換求解方程組的技術(shù)路線。當(dāng)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解。此時(shí)系數(shù)矩陣經(jīng)過行初等變換化為行最簡(jiǎn)形，其階梯數(shù)為r，剩下n-r行為零。

我們?cè)O(shè)計(jì)新概念，稱前r行對(duì)應(yīng)的方程為r個(gè)有效方程。有了有效方程的概念，理解和敘述都大為方便。比如，每個(gè)有效方程的第一個(gè)未知量的系數(shù)是1，稱為約束未知量。r個(gè)有效方程一共有r個(gè)不同的約束未知量。其余n-r個(gè)未知量稱為自由未知量。約束未知量可以由自由未知量的確定而確定。n-r個(gè)自由未知量組成一個(gè)n-r維自由未知向量，令向量中的第i個(gè)分量為1（i=1,2,…,n-r），其余分量為0。于是確定了n-r個(gè)線性無關(guān)的自由未知向量。約束未知量隨著自由未知量的確定而確定。每個(gè)自由未知量與相應(yīng)的約束未知量合并為一個(gè)解向量，于是得到n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量，成為線性方程組的基礎(chǔ)解系。然后我們闡明線性方程組的基礎(chǔ)解系是方程組全體解組成的解向量組的最大無關(guān)組，是解空間的生成元。

5）借助幾何形象理解線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。3維空間是現(xiàn)實(shí)的空間，直觀可見。一個(gè)3元線性方程在此空間中表示一個(gè)平面，是2維空間。我們可以理解為，一個(gè)方程相當(dāng)于一個(gè)約束，3維空間給一個(gè)約束，降為2維。兩個(gè)線性方程組成的方程組，3維空間給2個(gè)約束，降為1維，成一條直線。3個(gè)線性方程組成的方程組，3維空間給3個(gè)約束，降為0維，成為1個(gè)點(diǎn)。n個(gè)未知數(shù)m個(gè)線性方程組成的方程組的解是什么情況呢？n個(gè)未知數(shù)組成的向量存在于在n維空間中，如果不給約束，就充滿整個(gè)n維空間。現(xiàn)在給了m個(gè)方程，是不是減少m維呢？不是的。這m個(gè)方程中存在一些等價(jià)重復(fù)表達(dá)。只有經(jīng)過同解變形，成為r個(gè)有效方程（或稱獨(dú)立方程）后，這些方程才是相互獨(dú)立不能相互取代的。因此，實(shí)際上n維空間減少了r維，成為n-r維空間，這正是解空間的基本情況。