向量組的線性相關性有關概念的高等代數教學設計

顧勇為 張錦添

（信息工程大學基礎部，河南 鄭州 450001）

高等代數是一門抽象性較強的課程，作為大學數學和非數學專業必修的數學專業課程，學員從中學階段接觸的二維平面、三維空間問題，拓展到高等代數中向量拓展到了n維的情形，缺乏幾何直觀，非常抽象，對于概念和方法都非常難以理解。并且在后面線性空間，線性變換的學習中，廣義向量的引入讓數學的表達方式和抽象性又有了一次全面的提升，這就需要學生培養一定的抽象思維能力，才能完成深入思考，而抽象思維的基石是不斷搭建起來的一系列概念體系。舊的概念在頭腦中不斷根深蒂固，由抽象變為形象，成為學習新的、深一層的抽象概念的基石；而這些抽象概念又不斷根深蒂固起來，不斷由抽象變為形象，成為下一步學習的基石，這樣思維得以螺旋上升。由此可見，數學概念的學習在教學過程中至關重要，必須進行精心設計、反復打磨。下面以高等代數中向量組的線性相關性的有關教學設計為例談一點體會。

1）從生活和歷史背景出發引入新概念。為引入向量概念，先介紹向量的歷史起源。向量最初被應用于物理學，很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。18世紀末期，挪威測量學家威塞爾用平面坐標上的點表示復數，并利用復數運算定義了向量的運算。19世紀80年代，英國數學家居伯斯在三維空間中定義了向量，并把向量概念引入到微積分，豐富和發展了解析幾何。通過這些歷史背景和生活場景，使學員對以往接觸的向量的概念獲得一個綜合印象，消除對向量陌生抽象的感受。

2）強調向量組的線性相關性本質。向量組的相關性是一個教學重點和難點。線性相關與線性無關是兩個相反的概念，搞清其中一個，另一個就好理解了。線性無關的向量組的定義為：若一個向量組線性組合出一個零向量時，其組合系數只能全為0，則稱該向量組是線性無關的。這個定義十分抽象，必須做好教學設計，才能使學員易于接受。

我們在教學中采取了以下方法。首先復習向量組的線性表示，提出一個引例。向量組A：可以線性表示向量。然后提問：向量組A還能夠線性表示哪些向量？此時學員一定發現這個向量組可以表示任意一個二維向量，或者說能表示整個二維平面R2。我們給出一個概念，二維平面R2可以由向量組A生成，即。接下來我們把三個向量組成一個向量組B：。并提出問題：向量組B能夠線性表示哪些向量？學員不難回答還是二維平面R2，也不難理解。此時出現一個問題：以上有兩種方式生成二維平面R2，哪一種更加簡潔明了？顯然比簡潔明了，其原因在于向量組B多出一個向量，這個向量可以由線性表示。而向量組A中的任意向量都不能被其余向量線性表示。從直觀上，認識到A這樣的向量組是重要的。

接下來我們給出一個定理：一個向量組，其中的任意一個向量都不能被其余向量線性表示，其充要條件是，該向量組線性組合出一個零向量時其組合系數只能全為0。并證明之。做了以上鋪墊后，我們給出線性無關的向量組的定義為：若一個向量組線性組合出一個零向量時其組合系數只能全為0，則稱該向量組是線性無關的。再說明這樣的向量組，實際上其中的任意一個向量都不能被其余向量線性表示。就比較好理解了。

那么為什么線性無關向量組的定義，一般不用“其中的任意一個向量都不能被其余向量線性表示”呢？這是因為，這樣的定義在實踐中不便操作，但這是一個易于理解的定義，它揭示了線性無關的本質。

3）運用類比理解向量組的最大無關組。人類總是在尋找構成世界的基本元素，從金木水火土，到元素周期表。向量組，特別是包含無窮多個向量的向量組，有沒有較少的一些元素，或說較少的一些向量，可以生成整個向量組呢？最大無關組正是由這樣的一些代表元素所構成，一方面它們可以線性表示出整個向量組；另一方面如果它們其中減少了一個，就不足以線性表示出整個向量組了，即一個都不能少。另外，最大無關組不是唯一的。這個數學概念，可以類比生活中的很多實際問題。比如，人們吃飯要講究營養搭配，需要淀粉、蛋白質、脂肪、維生素，那么可以選擇A套餐：米飯、雞蛋，炒肉、蘋果。也可以選擇B套餐：面條、豆腐、雞腿、桔子。每個套餐中各種食材具有不同的營養成分（類似于線性無關），而且營養套餐不唯一（類似于最大無關組不是唯一的）。

一個典型的問題是，已知一個向量組的每個具體向量，求該向量組的最大無關組，并把不屬于最大無關組的向量用最大無關組線性表示。為了解決這個問題，先做好理論鋪墊，證明以下命題：對一個矩陣作行初等變換，不改變列向量組的線性相關性。這個命題是易于理解的。有了該命題，我們解決前述問題，就可采用以下方法，將這個向量組的所有向量按列組合出一個矩陣，對該矩陣做行初等變換，成為行最簡形矩陣，從行最簡形矩陣找出列向量組之間的線性關系十分方便，而此關系與行初等變換之前的列向量組之間的線性關系是一致的。這由剛剛給出的命題可知。

4）設計新概念理解線性方程組的基礎解系。學習線性方程組的基礎解系之前已經學習了線性方程組是否有解及其解是否唯一的判定方法，熟悉了用行初等變換求解方程組的技術路線。當齊次線性方程組的系數矩陣的秩r小于未知數的個數n時，方程組有無窮多個解。此時系數矩陣經過行初等變換化為行最簡形，其階梯數為r，剩下n-r行為零。

我們設計新概念，稱前r行對應的方程為r個有效方程。有了有效方程的概念，理解和敘述都大為方便。比如，每個有效方程的第一個未知量的系數是1，稱為約束未知量。r個有效方程一共有r個不同的約束未知量。其余n-r個未知量稱為自由未知量。約束未知量可以由自由未知量的確定而確定。n-r個自由未知量組成一個n-r維自由未知向量，令向量中的第i個分量為1（i=1,2,…,n-r），其余分量為0。于是確定了n-r個線性無關的自由未知向量。約束未知量隨著自由未知量的確定而確定。每個自由未知量與相應的約束未知量合并為一個解向量，于是得到n-r個線性無關的解向量，成為線性方程組的基礎解系。然后我們闡明線性方程組的基礎解系是方程組全體解組成的解向量組的最大無關組，是解空間的生成元。

5）借助幾何形象理解線性方程組的解的結構。3維空間是現實的空間，直觀可見。一個3元線性方程在此空間中表示一個平面，是2維空間。我們可以理解為，一個方程相當于一個約束，3維空間給一個約束，降為2維。兩個線性方程組成的方程組，3維空間給2個約束，降為1維，成一條直線。3個線性方程組成的方程組，3維空間給3個約束，降為0維，成為1個點。n個未知數m個線性方程組成的方程組的解是什么情況呢？n個未知數組成的向量存在于在n維空間中，如果不給約束，就充滿整個n維空間。現在給了m個方程，是不是減少m維呢？不是的。這m個方程中存在一些等價重復表達。只有經過同解變形，成為r個有效方程（或稱獨立方程）后，這些方程才是相互獨立不能相互取代的。因此，實際上n維空間減少了r維，成為n-r維空間，這正是解空間的基本情況。