時滯正反饋控制下汽車懸架系統的多目標優化

劉建均 孫藝瑕 李 勝

(上海工程技術大學機械與汽車工程學院 上海 201620)

0 引 言

汽車懸架系統的隔振效果對汽車行駛的平順性和安全性有著重要的影響。傳統的被動懸架系統因具有結構簡單、性能穩定和價格低廉等優點得到廣泛應用。然而，在汽車行駛過程中被動懸架的結構參數無法進行調整，使其無法適應復雜的路況。為了克服這一缺陷，人們提出了主動和半主動汽車懸架系統。在主動控制中，時滯現象是無法避免的，它對系統的穩定性和振動控制效果影響很大。在某些不合理的取值情況下，時滯會導致系統失穩[1-3]。鑒于此，人們提出了時滯補償技術來減少或抵消時滯帶來的消極影響[4-6]。進一步的研究表明，若以時滯和反饋增益系數作為設計變量，在合理的設計變量取值下，時滯反饋控制不僅可以提高系統的穩定性，還可以改善振動控制效果[7-9]。王在華等[10]以單自由度線性振動系統為例，討論了時滯狀態正反饋在改善系統穩定性方面的作用。Udwadia等[11]提出了將時滯狀態正反饋比例控制應用于結構的主動控制。蔡國平等[12]以柔性梁為對象，對時滯正反饋控制技術進行了理論和實驗研究。李苗[13]研究了時滯正和負反饋控制對二自由度二元機翼閉環系統穩定性的影響。宋敦科等[14]討論了時滯反饋控制對汽車非線性半主動懸架系統的影響，研究表明，選取合適的反饋增益系數和時滯量能有效地改善懸架系統的減振效果和穩定性。王飛等[15]研究了具有時滯減振主動控制的非線性汽車懸架系統，結果表明，時滯反饋和非線性聯合控制大幅提高了懸架系統的減振效果。

值得注意的是，目前在時滯反饋控制下汽車懸架系統的研究多集中于控制律的設計，而對于設計變量的多目標優化問題涉及較少。本文針對時滯正反饋控制下的汽車主動懸架系統，同時考慮振動控制效果和控制力輸入，以時滯和反饋增益系數為設計變量，采用粒子群優化算法，研究了設計變量的多目標優化問題。

1 時滯正反饋控制下汽車懸架系統模型

時滯正反饋控制下1/4汽車懸架系統的力學模型如圖1所示。

圖1 力學模型

根據圖1的力學模型，由達朗貝爾原理得到系統的運動微分方程如下：

(1)

k2(x2-x3)=u

(2)

式中：m1和m2分別為懸架質量和非懸架質量；c1和c2分別為減振器阻尼和輪胎阻尼；k1和k2分別為彈簧的剛度和輪胎剛度；u為反饋控制力；x1、x2和x3分別為車身的位移、車輪的位移和路面位移激勵。

反饋控制力u和路面位移激勵x3[13]的形式如下：

(3)

x3=rsin(ωt)

(4)

式中：g為反饋增益系數；τ為時滯；r為路面激勵幅值；ω為路面激勵頻率。

對于時滯反饋控制下的汽車懸架系統，按照反饋增益系數的符號分為時滯正反饋控制(g<0)和時滯負反饋控制(g>0)，當g=0時，時滯反饋控制下的汽車懸架系統退化為被動汽車懸架系統。

設式(1)和式(2)的解為:

x1=a1sin(ωt)+b1cos(ωt)

(5)

x2=a2sin(ωt)+b2cos(ωt)

(6)

式中：a1、b1、a2和b2為待求系數。

將式(3)-式(6)代入式(1)和式(2)，由方程式等號兩端sin(ωt)和cos(ωt)的系數相等，可以得到關于a1、b1、a2和b2的線性方程組：

[a1,b1,a2,b2]T=D-1F

(7)

式中：

D=(dyz)4×4y,z=1,2,3,4

d11=d22=k1-m1ω2-gω2cos(ωτ)

d12=-d21=-c1ω-gω2sin(ωτ)

d13=d24=-k1

d14=-d23=c1ω

d31=d42=-k1+gω2cos(ωτ)

d32=-d41=c1ω+gω2sin(ωτ)

d33=d44=k1

d34=-d43=-c1ω-c2ω

F=[0,0,k2r,c2rω]T

由式(7)可得車身加速度幅值A、車輪加速度幅值B和時滯正反饋控制力幅值U的表達式如下：

(8)

(9)

(10)

2 穩定性分析及數值驗證

2.1 穩定性分析

考慮到時滯正反饋控制的引入會給系統的穩定性帶來很大影響，因此必須對時滯正反饋控制下的汽車懸架系統進行穩定性分析。

設式(1)和式(2)的特征根為s，由拉普拉斯變換可得時滯正反饋控制下汽車懸架系統的特征方程為：

P(s)+Q(s)e-sτ=0

(11)

其中：

P(s)=m1m1s4+(c1m1+c1m2+c2m1)s3+(c1c2+

k1m1+k1m2+k2m1)s2+(c1k2+c2k1)s+k1k2

Q(s)=(-k2-c2s-m2s2)g

系統穩定的充要條件是式(11)的所有特征根均具有負實部[16]。若式(11)存在非零解，則當s=ωci(ωc>0)時，系統有可能發生穩定性切換。將s=ωci代入式(11)，分離實部和虛部可得：

(12)

(13)

由式(12)和式(13)可求得sin(ωcτ)和cos(ωcτ)的表達式。根據sin2(ωcτ)+cos2(ωcτ)=1，可得關于ωc的多項式方程：

G(ωc)=0

(14)

當反饋增益系數取某一定值時，式(14)的系數決定了根的分布情況。當式(14)無正實根時，系統不發生穩定性切換，即系統的穩定性與τ的取值無關，僅取決于τ=0時系統的穩定性。當式(14)存在N個正實根ωc1<ωc2<…<ωcN時，對于每個根ωcm(m=1,2,…,N)都存在無窮多個臨界時滯量τcn(n=1,2,…,∞)與之對應。在臨界時滯量τcn處是否發生穩定性切換取決于特征根s隨時滯的變化情況。

當τ從τcn-ε增加到τcn+ε(0<ε?1)，式(11)的特征根實部變化情況由以下方程確定[17]：

(15)

隨著時滯τ的增加，當穿過臨界時滯量τcn時，如果RT=1，式(11)的特征根從左到右穿過虛軸，不穩定特征根的數量增加兩個；如果RT=-1，其特征根從右到左穿過虛軸，不穩定特征根的數量減少兩個。由此，根據特征根的變化情況可以得到反饋增益系數取某一定值時，時滯的穩定和不穩定區間。依次取不同的反饋增益系數值，重復上述分析過程，可得到反饋增益系數和時滯的兩參數平面上系統的穩定性分區圖。

取系統的物理參數[18]如下：m1=600 kg，m2=60 kg，k1=18 000 N/m，k2=200 000 N/m，c1=2 500 N·s/m，c2=1 000 N·s/m，得到系統的穩定性分區圖如圖2所示。

圖2 穩定性分區圖

當反饋增益系數和時滯的取值位于圖2的灰色區域時，系統穩定；當反饋增益系數和時滯的取值位于圖2的空白區域時，系統失穩。

2.2 數值驗證

為了驗證上述穩定性分析的正確性，在圖2中隨機選取4個點M1、M2、M3、M4。其中:點M2和M4對應穩定的系統響應，點M1和M3對應不穩定的系統響應。

取r=0.01 m，Ω=9 Hz(Ω=ω/2 π)，分別將上述四點的坐標代入式(1)和式(2)，利用Runge-Kutta法對其進行數值模擬，得到四個點對應的車身加速度時程響應，如圖3所示。

圖3 時程響應

由圖3(b)和(d)可見，車身加速度響應幅值收斂到某一定值，此時系統穩定；由圖3(a)和(c)可見，車身加速度響應幅值發散，此時系統失穩。這與圖2中四點對應的穩定性一致，從而驗證了圖2給出的穩定性分區圖的正確性。

3 設計變量的多目標優化及驗證

3.1 多目標優化

以車身加速度和時滯正反饋控制力幅值的線性組合作為目標函數f，其表達式[19]如下：

f=z11z21A+z12z22U

(16)

式中：z11和z12為本征權因子；z21和z22為校正權因子。

本征權因子反映了各目標之間的相對重要性；校正權因子用于消除各目標之間量綱和量級差別方面的影響。

以反饋增益系數和時滯為設計變量，采用粒子群優化算法對設計變量進行優化求解。以目標函數f作為適應度函數，優化過程中相關參數的設置如下：本征權因子z11和z12分別為0.6和0.4，校正權因子z21和z22分別為1.623 0和0.001 2，粒子數為500，空間維數為2，最大迭代次數為1 000，學習因子為0.9，慣性權重為0.8，速度限制為-1～1 m/s，位置限制為-500～500 kg和0～1.4 s。

在1～20 Hz的頻段內每間隔0.5 Hz取離散頻率點，在每個頻率點處對目標函數f進行優化，得到該頻率點對應的最優反饋增益系數gop和時滯取值τop。

為了便于定量分析，定義最優時滯正反饋控制下車身加速度、車輪加速度和時滯正反饋控制力的幅值變化百分比分別為ΦA、ΦB和ΦU，具體表達式為：

(17)

優化結果如表1所示。

表1 優化結果

可以看出，在某些路面激勵頻率點存在多個最優時滯量，這可給實際工程中時滯的取值提供一定的靈活性。

最優時滯正反饋控制(g=gop,τ=τop)、無時滯正反饋控制(g=gop,τ=0)和被動控制(g=0)下車身加速度幅值、車輪加速度幅值、時滯正反饋控制力幅值隨頻率的變化情況分別如圖4所示。

圖4 幅值隨頻率的變化情況

由表1、圖4(a)和(b)可知，與被動控制和無時滯正反饋控制相比，最優時滯正反饋控制下車身的加速度幅值明顯降低。當Ω=5 Hz和Ω=9 Hz時，車身加速度幅值分別降低了75.04%和38.60%，而車輪加速度幅值分別增加了134.99%和545.89%。這表明在最優時滯正反饋控制下汽車懸架系統的隔振效果得到了明顯改善，同時車身和車輪之間存在能量傳遞。由表1和圖4(c)可知，當Ω=5 Hz和Ω=9 Hz時，相較于無時滯正反饋控制力，時滯正反饋控制力的幅值分別降低了74.79%和38.59%。這表明在最優時滯正反饋控制下汽車懸架系統的耗能(消耗的能量)得到大幅降低。

3.2 優化結果驗證

為驗證優化結果的正確性，從表1中選取頻率Ω=5 Hz和Ω=9 Hz，對式(1)和式(2)進行數值模擬，分別得到兩個頻率下的車身加速度、車輪加速度和時滯正反饋控制力的時程曲線，分別如圖5和圖6所示。

圖5 當Ω=5 Hz時的時程曲線

圖6 當Ω=9 Hz時的時程曲線

由圖5和圖6可知，當Ω=5 Hz和Ω=9 Hz時，車身加速度、車輪加速度和時滯正反饋控制力的時程曲線與表1中的優化結果一致。由此表明，設計變量的優化結果是可靠的。

4 結 語

本文通過粒子群優化算法研究了1/4汽車懸架系統中時滯正反饋設計變量的多目標優化問題，結果表明，在最優的設計變量取值下汽車懸架系統的隔振效果得到有效提升。在1～20 Hz的頻率范圍內，相較于無時滯正反饋控制，最優時滯正反饋控制下車身加速度幅值至多可降低75.04%，控制力幅值至多可降低74.79%。這不僅使汽車懸架系統的隔振效果得到明顯改善而且還使系統的耗能得到大幅降低。此外，在某些頻率下，存在多個最優時滯量。

下一階段將關注汽車懸架系統的實驗實現，從實驗方面驗證最優時滯正反饋控制下汽車懸架系統的隔振性能。