非正規子群鏈長為3 的有限p 群

賀麗娟，李璞金

山西師范大學數學與計算機科學學院，山西臨汾041000

0 引言

正規子群是有限群的基本概念，它源于著名的Galois 理論中的正規擴張的概念. 早在1897 年，Dedekind 就在文獻［1］中確定了所有子群都正規的有限群，這類群后被稱為Dedekind 群. 研究比Dedekind 群更廣的群類問題是群論學者研究的熱點問題之一，例如見文獻［2 ～7］等.值得一提的是，著名群論學家Passman 的經典p 群論文［3］.該文中他研究了非正規子群階的可能性并提出了非正規子群鏈的概念:

以M(G)，m(G)的術語，Passman 在文獻［3］中分類的是M(G)- m(G)= 0 的p 群;安立堅分類的是M(G)- m(G)≤1 的p 群. 本文繼續安立堅在文獻［2］的工作，分類了M(G)- m(G)= 2 的特殊情況.

本文旨在研究p ＞2 時，非正規子群的階為pm，pm+1，pm+2(m ≥3)的有限亞Hamiltonp 群.主要結果見本文的定理1 與定理2.

1 預備知識

引理1［7，引理2.4］ 設E 是有限p 群G 的內交換子群.若［G，E］= E'，則G = E* CG(E).

定義2［8，定義12.2.1］ 設G 是有限非交換p 群，稱G 是亞Hamiltonp 群，如果G 的每個子群或交換或正規.

引理2［8，定理2.3.6］ 設G 是有限p 群. 則下列命題等價:

(1)G 是內交換群;

(2)d(G)= 2 且| G' | = p;

(3)d(G)= 2 且Z(G)= Φ(G).

2 非正規子群鏈長為3 的有限p 群

由文獻［2，定理9.1］可知，P 群均為亞Hamilton p 群. 文獻［定理3.1，定理4.1］給出了有限亞Hamilton p 群的分類. 因此分類非正規子群鏈長為3 的有限p 群，本文只需從有限亞Hamilton p 群的分類中挑出滿足條件m(G)≥3，M(G)- m(G)= 2 且chn(G)= 3 的群即可.

引理3 設G 是有限p 群，p ＞2，| G' | = p.若m(G)≥3 且M(G)- m(G)= 2，則d(G)≤4.

證明 顯然G 非交換.設H 是G 的內交換子群.根據引理1 可設，G = H* CG(H)，其中H ∩CG(H)≤H'.又設d(G)= t.下證t ≤4.若否，則t ≥5.此時不妨可設

(4)(Mp(n，m)* Cp2)× Cp，其中n ≥m ≥3.

證明 ? 根據引理3 可知，d(G)≤4.因此我們只需考慮2 ≤d(G)≤4 的情況.

下面將分三種情形進行討論.

情形1 d(G)= 2.

顯然G 是內交換群. 故G ?Mp(m1，n1)或G ?Mp(m1，n1，1).

若G ?Mp(m1，n1，1)，則m1≥n1≥3 且n1≥3.但此時G 同構于文獻［10，定理3.2］的群(1)，其中m1≥3，n1≥3 的情形. 因此chn(G)≤2，矛盾.

情形2 d(G)= 3.

此時，G 同構于下列互不同構的群之一:

(i)Mp(m1，n1)× Cpk，其中m1≥2，n1≥1，k ≥1;

(ii)Mp(m1，n1，1)× Cpk，其中m1≥n1≥1，k ≥1;

(iii)Mp(m1，n1，1)× Cpk，其中Mp(m1，n1，1)∩Cpk= M'p(m1，n1，1)，m1≥n1≥1，k ≥2.

若G 同構于群(i)，不妨設G =〈a，b，c| apm1= bpn1= cpk= 1，［a，b］= apm1-1，［c，a］=［c，b］= 1〉，其中m1≥2，n1≥1，k ≥1.

情形3 d(G)= 4.

顯然G 是非交換群，故G 中必存在內交換子群，不妨設為H.根據引理1 可設，G = H* CG(H)，其中H ∩CG(H)= G'.因為d(G)= 4，故不妨可設G =〈a1，a2〉*〈a3，a4〉其中H =〈a1，a2〉，|〈a3〉| = pk，| 〈a4〉| = pl，k ≥1，l ≥1.由引理3 可知，H ?Mp(m1，n1)或H ?Mp(m1，n1，1).

若H ?Mp(m1，n1)，類似可知，m1≥3，n1≥3.若H ?Mp(m1，n1，1)，同理m1≥n1≥3.

又注意到〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉≤G'，因此下面分〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉= 1 和〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉= G'兩種子情形進行討論.

情形3.1 〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉= 1.

綜上可知，p3≤| H|≤p5.又容易計算知〈b〉≤〈b，ap2〉≤〈b，ap〉為G 的一條非正規子群鏈.

若G 群同構于群(2)～群(4)之一.類似群(1)的證明方法，可證pm≤| H|≤pm+2.對于群(2)而言，計算知〈b〉≤〈b，cp〉≤〈b，c〉為G 的一條非正規子群鏈.對于群(3)而言，又容易計算知〈b〉≤〈b，c〉≤〈b，c，d〉為G 的一條非正規子群鏈. 對于群(4)而言，不妨設為又容易計算知〈b〉≤〈b，apn-2c-1〉≤〈b，apn-2c-1，d〉為G 的一條非正規子群鏈.

綜上可知，定理中的群(1)～群(4)滿足chn(G)= 3 且非正規子群的階僅為pm，pm+1，pm+2.定理的證.

定理2 設G 是有限p 群，| G' | ＞p. 則G 是P 群當且僅當G 同構于下列互不同構的群之一:

(1)〈a，b| apn= bpm+1= 1，［a，b］= apn-2〉，其中n ≥m +1 ≥4;

(2)〈a，b，c| ap3= bp3= cp3= 1，［a，b］= cp2，［a，c］= bvp2，［b，c］= 1〉，v 是某固定的模p 平方非剩余;

(3)〈a，b，c| ap3= bp3= cp3= 1，［a，b］= cp2，［a，c］= bkp2，［b，c］= 1〉，1 +4k ?(Fp)2.

證明 ? 設p ＞2 | G' | ＞p. 當exp(G')＞p 時，根據引理［2，推論5］可得定理中的群(1). 當exp(G')= p 時，G 同構于文獻［9，定理3.1，定理4.1］的群(B1)～群(B8)，群(C3)～群(C10)，群(D1)，群(D2)，群(D4)，群(D5)之一.又因為G 的p 階子群均正規，所以c(G)= 2.顯然群(B1)～群(B8)不符合條件.因此只需考慮G 同構于群(C3)～群(C10)，群(D1)，群(D2)，群(D4)和群(D5)之一.下面逐一討論.

綜上所述，定理得證.