基于貓映射的圖像灰度值加密

李珊珊，趙 莉，張紅麗

（長安大學信息工程學院，西安 710064）

0 引言

智能手機和移動互聯網的發展，使得圖像信息的獲取與發布日益便捷，圖像內容的安全性也受到越來越多的關注。包含有私人、商業、軍事或醫用信息的圖像內容需要保密，而當這些圖像通過公共信道傳播時，易被惡意第三方獲取，造成隱私內容泄漏，危害信息安全。圖像加密通過方法隱藏視覺信息，保護數據安全，使無權限者無法得到圖像的內容，而有權限者通過解密能得到圖像的具體內容和全部細節，是保護圖像安全和隱私最常用的途徑。

從20世紀90年代起，圖像加密就吸引了圖像處理和信息安全領域研究者的興趣。隨著多媒體和互聯網技術的發展，近年來，國內外許多研究團隊利用不同工具探索各種圖像加密方法。一幅有意義的圖像，其鄰近像素點間具有很強的相關性。圖像加密一般采取破壞這種相關性的原則，將原本內容有意義的明文信號加密后轉換為無意義的類噪聲信號。常用的方法可分為空域加密和變換域系數加密兩種類別，其中空域加密又可以分為像素值變換和像素位置擾亂兩種處理方式。

像素值變換將每個像素點的取值作為明文進行加密，鄰近像素的密文差異變大，從而消除明文間的相關性，使原本有意義的信號失去意義。像素值變換過程可以逐像素點進行，也可以先分塊再對每個區塊進行。像素位置擾亂打亂像素排列的順序，使原本鄰近的像素變得不再相鄰，從而失去明文像素間的相關性［1］。變換域加密選用明文的變換域系數為加密對象。變換域個別系數的加密在時域會引起幾乎每個像素值的變化，破壞原有的相關性。常用的變換域有離散小波變換域、離散傅里葉變換域、離散余弦函數變換域，以及分數維傅里葉變換域等［2］。

在以上三種傳統圖像加密方法的基礎上，為了擴大密鑰空間，提高密文的混亂程度，混沌序列被引入產生密鑰序列。

混沌系統具有初始狀態敏感性、拓撲混合性和周期軌道稠密性。初值敏感性是指系統的狀態完全取決于初始值的選取，初始條件非常微小的變動也會導致狀態的巨大差別。對于加密方法來說，混沌系統的初值敏感性能夠有效地提高整個加密方法的安全性，初始值較大的取值范圍能夠提供足夠大的密鑰空間。

基于混沌序列的圖像加密，可以利用混沌映射的類隨機性，通過計算機迭代產生混沌序列，處理后對圖像進行加密操作。常用的混沌映射有logistic 映射、Baker 映射、standard 映射、circle 映射等［3-4］。其他系統例如神經網絡、脫氧核糖核酸（DeoxyriboNucleic Acid，DNA）［5］和物理混沌電路也具有混沌特性，因此也能夠用于圖像加密。

根據香農理論，強加密方法都是基于混淆（confusion）和擴散（diffusion）兩種本原操作［6］，前者是使密鑰和密文之間的關系盡可能模糊的加密操作，常用方法是替換；后者是將一個明文符號的影響擴散到多個密文的加密操作。僅僅執行混淆的密碼是不安全的，兩者結合才能構建強壯的加密方案。

本文提出一種新的空間域圖像加密方法，利用混沌序列對混淆圖像像素值和像素點位置，通過雙向擴散操作提高方法的安全性能：一個混沌序列用于產生廣義貓映射的控制系數，再利用廣義貓映射同時加密兩個像素點的值；另一個混沌序列用于置亂圖像像素點位置。這種加密方法易于實現，密鑰空間大，安全性能好。

1 貓映射

貓映射最早是由俄國數學家Vladimir 提出的一個離散混沌模型，因為經常使用一張貓臉演示而得名。這種映射擁有簡潔直觀的混沌性能。貓映射能夠擾亂圖像像素位置，使整幅圖像混亂化。然而，在經過足夠多的迭代之后，原始圖像將會被恢復［7］。最經典的貓映射工作于大小為N×N的圖像平面，在該圖像平面中的每個點唯一地被變換為另一個點。其方程為：

其中：(xn+1，yn+1)為映射后的像素點坐標；(xn，yn)為映射之前的像素點坐標。

貓映射可以被推廣為最一般的二維可逆保面積映射：

其中a、b、c、d為映射系數，為正整數，并且滿足關系：

將圖像數據作為初始值利用廣義貓映射進行迭代加密時，需要先指定三個獨立映射參數。任意三個整數并不一定能夠滿足限制條件式（3），因此常用文獻［8］提出的方法，依次令a=1，b=1，c=1，d=1，相應地產生4 個映射系數矩陣，每個取法所在公式包含兩個獨立參數，這種方法易于程序處理：

由于貓映射的保面積性，因此圖像加密通常采用貓映射來置亂像素點位置。大多數利用貓映射的圖像加密方案都基于這個原則。貓映射可以被擴展到三維，再結合隨機掃描來置亂像素點位置［9］。文獻［10］利用廣義貓映射結合灰度擴散對像素塊進行二維空間變換；而文獻［11］先利用二維廣義貓映射對圖像像素位置進行置亂變換，再對置亂后的2 × 2區域內像素點采用四維貓映射進行像素值擴散變換。這種加密方案需要進行k輪以保證像素值盡可能多地擴散。

本文提出加密方案與傳統基于貓映射的加密方案最大的區別，在于采用二維廣義貓映射對像素灰度值進行變換，每次加密的廣義貓映射的控制系數都不同。生成貓映射的控制系數的序列和用于像素位置置亂的序列產生自coupled logistic映射。在像素灰度值變換和像素點位置置亂處理之后，所有像素灰度值進行雙向擴散。本文方案只需要進行一輪加密就可以取得良好的加密效果。

2 基于貓映射的圖像灰度值加密

本文提出的圖像加密方法一共有四個主要步驟：二維混沌序列的產生，像素灰度值變換，像素點位置置亂，灰度值雙向擴散。混沌序列的初始值、貓映射系數選自對應混沌序列元素的位數、灰度值雙向擴散的兩個初始值組成整個系統的密鑰，由用戶輸入。整個方法的流程如圖1所示。

圖1 本文方法流程Fig.1 Flowchart of proposed method

2.1 混沌序列的產生

本文提出的加密方法采用coupled logistic 映射［12］來產生二維混沌序列。設要加密的灰度圖像尺寸為R×M，灰度級一共為L級，用戶輸入的初始值為(s0，t0)。迭代式（5）總共R×M+200次，從而獲得二維混沌序列。

其中：(μ1，μ2，γ1，γ2)為控制系數。為了保證式（5）產生的序列是混沌的，需要滿足以下要求：2.75 ＜μ1≤3.4，2.7 ＜μ2≤3.45，0.15 ＜γ1≤0.21，0.13 ＜γ2≤0.15，且0 ＜s0，t0＜1。為了保證用于加密的序列足夠混亂，迭代產生的兩個序列前200項棄之不用。

由這一步產生的兩個長度為R×M的混沌序列分別被記作T和S。其中T被用于灰度值擾亂，S被用于像素位置置亂。

2.2 基于二維廣義貓映射的像素灰度值擾亂

將二維灰度圖像拉伸為R×M的一維序列P。用戶輸入兩個整數值(u，v)，用于從混沌序列T中選取貓映射的控制系數。具體來講，對混沌序列T中第i× 2位的元素，選擇其小數點后第u位的數值作為二維廣義貓映射的第一個控制系數混沌序列T中第i× 2+1位的元素，選擇其小數點后第v位的數值作為廣義貓映射的第二個控制系數如果u和v大于系統允許的小數總位數D，則控制系數為u或v對D取模的值。從式（4）中選擇一種，利用生成二維廣義貓映射矩陣C。對一維圖像序列中第i× 2位的像素p2i和第i× 2+1位的像素p2i+1，利用式（6）變換其像素值，得到變換后的像素e2i和e2i+1。

重復該過程直到所有的像素點灰度值都被變換，得到變換后的一維序列E。如果像素點的總數為奇數，則在最后一位補上一個0值像素點。

2.3 像素位置置亂

將混沌序列S中的元素按照從小到大的順序排列，其中的元素在排序前的序列中的序號將形成一個新的混沌序列A，其元素值為從1 到R×M的正整數。例如將序列(0.2，0.6，0.3)升序排列后得到(0.2，0.3，0.6)，其中元素在排序前的序列中的序號為(1，2，3)，在排序后會形成一個新的混沌序列(1，3，2 )。這個新的序列A被用于置亂一維序列E中的像素位置。對E中的第i個像素，位置改變為置亂后序列G的第A(i)個像素。也就是說

由于A中的元素值是從1到R×M的正整數，而且每個數字都出現且只出現一次，因此式（7）可以保證E中的每個像素唯一地被映射到G中。

2.4 雙向擴散

擴散能夠將明文中一個像素的改變擴展到密文中的多個像素，是對抗差分攻擊最常用的方法。雙向擴散［13］能保證明文中任何一個像素的改變擴展到所有密文像素中，能顯著提高加密方法的安全性能。擴散操作是將當前的像素灰度值與前一個擴散操作后的結果相加，再對總的灰度級L取模，從而保證擴散后的像素灰度值都在允許的范圍內。正向處理完畢后，再逆向擴散一次。

雙向擴散結束后，產生的序列G2再經過2.2節中，二維圖像拉伸為一維序列的逆過程，還原為二維圖像，這個圖像就是加密后的圖像。

由于對圖像的處理是拉伸為一維序列，因此與傳統的基于貓映射圖像加密方案要求圖像的行列數必須相等不同，本文方法對圖像的尺寸大小沒有要求。

2.5 解密過程

解密過程是加密過程的逆運算。對于密文圖像，先將其拉伸為一維序列，利用逆向擴散的初始值解除逆向擴散，利用正向擴散的初始值解除正向擴散；接著輸入混沌序列的初始值，迭代式（5），獲得二維混沌序列T和S；采取2.3 節中的方法從序列S生成序列A，從而恢復出像素位置置亂前的序列；然后利用序列T生成廣義貓映射的逆矩陣，解除像素灰度值的變換；最后將一維序列還原為二維圖像，即得到解密后的圖像。

3 實驗與結果分析

3.1 加密效果圖

為了驗證新加密方法的有效性，本文對一系列灰度圖像進行了實驗。實驗中coupled logistic 映射的參數選擇為(μ1，μ2，γ1，γ2)=(2.93，3.17，0.179，0.139)；廣義貓映射控制參數矩陣采取式（4）中的第一種形式。圖2 是源自CVG-UGR（Computer Vision Group，University of Granada）數據庫大小為256×256 的Lena 原圖。從圖2 可以看出密文圖像混亂，無規律，無法從密文圖像中看出明文圖像內容。此外，加密圖像的直方圖分布非常接近均勻分布，即無法通過對密文圖像的直方圖統計獲得明文圖像的直方圖信息。

圖2 Lena圖像加密前后的對比Fig.2 Comparison before and after encryption of Lena image

密文圖像應該盡可能地破壞原圖像中，鄰域像素之間的相關性。圖3（a）是圖2 Lena原圖在水平方向鄰域像素值分布圖，圖3（b）是圖2 加密圖像在水平方向鄰域像素值分布圖?？梢钥吹?，明文圖像的鄰域像素之分布集中于對角線，說明鄰域像素的相關性較強，密文圖像的鄰域像素值分布則毫無規律，說明加密破壞了鄰域像素之間的相關性。

圖3 加密前后水平方向鄰域像素值的分布圖Fig.3 Distribution maps of neighborhood pixel values in horizontal direction before and after encryption

3.2 加密效果分析

信息熵反映一個系統的混亂程度。有規律的系統信息熵小，無規律、混亂的系統信息熵大?；叶葓D像的灰度信息熵通過式（9）計算：

其中：h(i)為灰度值i的概率。

表1 統計了文獻［14］對于Cameraman 圖像、文獻［15］對于Lena 圖像及一系列源自CVG-UGR 圖片數據庫的灰度圖像加密前后的灰度信息熵值。其中Lena 和Cameraman 原圖像大小為256 × 256，Goldhill 和Peppers 原圖像大小為512 × 512，View 原圖像大小為640 × 480。實驗圖像的灰度等級均為L=256。加密前的信息熵值較小，加密后的信息熵值都非常接近于理論上的最大值8，實驗數據如表1所示。

表1 加密前后圖像的信息熵值Tab.1 Information entropies of images before and after encryption

鄰域像素的相關性可以通過鄰域像素相關系數的絕對值來定量衡量。相關系數［16］的絕對值越小，意味著鄰域像素之間的相關性越小。相關系數通過式（10）計算：

其中：(ai，bi)是一對相鄰的像素點，相鄰的方向可以為水平、垂直或對角線；B是這些像素對的總數為所有ai的平均值；是所有bi的平均值。

表2 統計了加密前后圖像的水平方向鄰域像素相關系數。密文圖像的相關系數絕對值接近于0，說明加密效果較好。

表2 加密前后圖像的水平方向鄰域像素相關系數Tab.2 Correlation coefficient of horizontal neighborhood pixels of images before and after encryption

表3 統計了本文與文獻［17-19］方法對Lena 圖像在水平、垂直和對角方向鄰域像素相關系數的對比結果。

表3 幾種加密方法對加密前后Lena圖像的相關性分析Tab.3 Correlation analysis of Lena image before and after encryption by several encryption methods

3.3 安全性能分析

加密方法應具備足夠大的密鑰空間以抵抗暴力攻擊。本文的方法通過coupled logistic 映射生成用于變換灰度值和置亂像素點位置的混沌序列。日常采用的64 位電腦對于這種二維映射的初始值空間大小為2104，再疊加上生成貓映射控制系數的密鑰和雙向擴散的初始值，整個系統在雙精度、灰度等級為256的條件下，密鑰空間可以達到2104× 3082× 28×2。這么大的密鑰空間足以抵抗暴力攻擊。

除了足夠大的密鑰空間，加密方法需要對密鑰高度敏感，才能更好地抵抗暴力攻擊。圖4 為對圖2 加密圖像采用細微不同的密鑰進行解密的結果，其中圖4（a）為使用正確密鑰的解密結果，圖4（b）所采用的密鑰中，coupled logistic 映射的初始值其中之一有0.000 000 1的差異。可以看到錯誤的密鑰無法解密出原圖像，方法對密鑰高度敏感。

圖4 本文方法的解密結果Fig.4 Decryption result of proposed method

一個安全的加密方案還應該對明文敏感，即原始圖像的輕微部分更改會在加密圖像中產生很大的更改。像素數目變化率（Number of Pixels Change Rate，NPCR）是指當明文一個像素改變時密文像素數目改變率，其取值范圍為0～1。加密圖像系統抵抗查分攻擊的能力可以通過NPCR指標衡量［20-21］，該指標的值越接近1，表明該加密系統的明文敏感性越強，則該加密系統越能抵抗已知明文攻擊。當圖2中Lena原圖的第(3，3) 個像素從161 改變為160 時，加密后的NPCR 值為0.997 5，非常接近于1。也就是說幾乎每個密文像素的值都發生了改變。這說明本文方法能抵抗已知明文攻擊。

3.4 運行時間

成功的加密方法要求處理速度盡可能快，但因方法所運行的環境具有一定的差異，直接比較運行時間可能不是很準確，但若在相近的軟硬件配置下比較運行時間是較為切實可行的性能比較方法。如表4 所示，選用像素256 × 256 的Lena作為測試圖像，在相近的軟硬件配置下各方法的運行時間。本實驗使用的處理器為Intel Core i5-2430M CPU@2.40 GHz，所使用的編程語言軟件為Matlab 2012a。從表4 可以看出，本文方法的加密的處理速度比文獻［22］方法快，但比文獻［15］方法略慢。本文所提的加密方法是對每個像素組使用不同的貓映射系數，用于變換組內每個像素的灰度值，此外，方法采取雙向擴散提高安全性能，在加密的效果和時間的復雜度之間有一定的取舍；文獻［22］方法改善加密方法對密鑰、明文的敏感性以及置亂的隨機性達到較好的加密效果，但同時增加了時間的復雜度；文獻［15］方法利用廣義cat映射對像素點進行迭代和置亂，再用廣義Henon 映射產生的混沌序列與置亂后圖像進行擴散加密運算。文獻［15］方法和本文方法有著更高的置亂隨機性，相較于文獻［22］方法損失了一定的密鑰空間和密鑰敏感性，從而提高了加密速率。本文方法相較于文獻［15］方法有著略低抵抗熵攻擊性能，但比文獻［22］方法有著更高抵抗熵攻擊性能。因此本文在確保加密效果同時有著較理想的加密時間，基本可以滿足用戶需求。

表4 不同方法的加密時間對比Tab.4 Comparison of encryption time of different methods

4 結語

本文提出一種基于coupled logistic 映射和貓映射的圖像加密方案。密鑰空間由混沌序列的初始值、貓映射系數選自對應混沌序列元素的位數、灰度值雙向擴散的兩個初始值組成，密鑰空間足夠大，能夠抵御暴力攻擊。雙向擴散保證了加密方案在明文攻擊下穩定。實驗和分析表明，新方法加密效果好，安全性能高，便于實現。