基于BP 神經網絡的電磁軸承逆系統解耦控制

趙宏凱，蔣科堅

（浙江理工大學信息學院，浙江杭州 310018）

主動電磁軸承又稱電磁軸承，是一種利用電磁力來實現轉子無接觸懸浮支承的新型高性能機電一體化軸承。相較于傳統滾動軸承和滑動軸承，它具有無摩擦、低損耗、無需潤滑以及高轉速高精度等一系列優點，在航空航天、高速真空旋轉機械、高效加工儲能以及清潔能源交通等領域擁有廣闊的應用前景。

在電磁軸承的研究中，控制器性能的好壞成為衡量電磁軸承系統能否穩定懸浮的重要標準之一。由于電磁軸承存在耦合性和非線性。現有的控制器通常采用PID 的線性組合加以控制，在復雜環境下，難以實現電磁軸承系統穩定高效的運行。目前，國內外對于電磁軸承-轉子系統解耦控制方法的研究主要采用前饋交叉補償方法，而在非線性反饋擬合方面的研究相對較少。文獻[1-2]設計了一種所有控制部件在重心坐標系展開的解耦控制方法，針對轉子的陀螺效應和低頻共振引起的穩定性問題，通過使用卡爾曼濾波器降低葉片頻率范圍內的增益，有效提高了頻率范圍內系統的魯棒性[1-2]。文獻[3]在由兩個三極組合的徑向和軸向軸承結構的五自由度磁懸浮系統用線性和非線性兩種控制策略進行分析，基于反饋線性法，實現了多自由度磁懸浮系統在最小偏置通量的情況下也能穩定懸浮[3]。文獻[4]針對電磁軸承的交叉耦合和機械耦合問題，將傳統的交叉解耦控制方法與滑模控制方法相結合，設計了一種滑模變結構控制器，不僅有效提高了系統的跟蹤特性，還增強了魯棒性[4]。文獻[5-6]分析了電磁軸承的耦合特性對電磁軸承存在的影響，提出了一種基于模態分離-狀態反饋的內模控制算法，對電磁軸承的徑向電磁力進行解耦，實現了解耦后電磁軸承系統的參數調節，并通過輸出阻尼控制信號來提高系統的控制性能[5-6]。文獻[7]為了降低高速轉動的電磁軸承的陀螺效應引起的不平穩問題，對轉子的徑向平移模態和傾斜模態進行解耦，并采用位移交叉反饋法來抑制轉子的振動[7]。文獻[8]將PID 控制方法與模糊控制方法相結合，提出了一種模糊PID 控制方法，并在溫控系統中獲得了較好的控制效果[8]。文獻[9]設計了一種電磁軸承的二自由度內膜控制器，可以對系統響應速度進行在線調節的同時增強了系統的抗干擾能力，有效改善了因陀螺效應引起的轉子偏轉問題，提高了電磁軸承在高轉速下的控制效果[9]。隨著現代控制理論的不斷完善，現代控制策略也被廣泛應用于各控制系統。文獻[10]提出一種基于神經網絡逆和2-DOF 的永磁偏置磁軸承（PMBAMB）控制方法，有效地消除了系統動態變化對解耦控制精度的影響[10]。文獻[11]將Anti-reset Windup 方法應用到PMSM 調速系統中，設計了可實時調節的滑模控制器，消除了積分飽和現象，有效提高了控制系統的響應，并進一步提高了永磁同步電機的抗擾能力[11]。文獻[12]針對PID 參數難以確定的問題，在四自由度電磁軸承系統上，提出了一種PID參數整定方法，實現了轉子的高速穩定懸浮[12]。同樣，對于PID 調參的問題，文獻[13]采用免疫遺傳算法，對控制系統的誤差進行計算，并設計可自調節參數的控制器，為PID 參數整定提供了新的解決思路[13]。

在電磁軸承-轉子控制系統設計中，為了實現電磁軸承徑向位移之間以及轉子平動和轉動之間的解耦，解決因耦合引起的懸浮不穩定問題，文中在電磁軸承-轉子系統的數學模型基礎上，針對電磁軸承-轉子系統控制電流與轉子位移的非線性和徑向位移之間的耦合問題，提出一種基于神經網絡逆系統的控制方法，通過構建電磁軸承-轉子的多階逆系統，在4 個自由度上實現徑向位移之間的解耦，并通過神經網絡對控制電流與位移之間的非線性關系進行學習辨識，建立了控制電流與各徑向上轉子位移的一對一映射關系，同時設計了電磁軸承-轉子的神經網絡逆系統閉環控制器，提高了轉子的懸浮穩定性和抗干擾能力。

1 電磁軸承的數學模型

1.1 電磁軸承的動力學建模

電磁軸承-轉子系統的結構動力學示意圖如圖1所示。實際的電磁軸承系統中，由于施力點和電渦流傳感器的位移檢測點有位置安裝差異，為了簡化分析，文中忽略施力點和檢測點的位置偏差，并且認為左右電磁軸承參數相同。

圖1 電磁軸承橫向示意圖

根據牛頓第二定理和電磁軸承的轉動特性，結合圖1 可得系統的運動方程為:

式中，Jx、Jy、Jz分別是轉子繞x軸、y軸和z軸的轉動慣量；ω為轉子角速度；m為轉子質量；θx、θy分別為轉子繞x、y軸的角位移；lA、lB分別為左電磁軸承和右電磁軸承到轉子質心的距離；Flx、Frx、Fly、Fry分別是左、右電磁軸承在徑向x和徑向y方向上產生的電磁力；e為轉子不平衡力產生的偏心距；式meω2sin(ωt+Φ)、meω2cos(ωt+Φ)為轉子不平衡產生的不平衡激振力（力矩）。

對于剛性轉子來說，通常可以采用轉子質心的位移偏移和角度偏移來描述轉子的空間姿態，稱為廣義位移。那么轉子廣義位移與位移傳感器直接檢測所得位移之間的關系為：

式中，a、b分別為轉子處于質心時的位置；Xl、Xr、Yl、Yr分別為轉子在左右電磁軸承徑向x、y軸方向上的支承位移量。

電磁軸承常采用差動控制結構[14]，可得差動控制方式下，在x、y軸方向上的電磁力公式為：

式中，Ilx、Irx、Ily、Iry分別為左、右電磁軸承x和y方向上施加的偏置電流；c為氣隙大小；ilx、irx、ily、iry分別為加在左、右電磁軸承上的控制電流；α為磁極軸線與兩磁極間的中心位置線所形成的夾角；k為與結構相關的常系數，由式(1)～(3)可見電磁軸承具有很強的耦合性，電磁軸承間的電磁力具有很強的非線性。

1.2 電磁軸承-轉子系統的可逆性分析

圖2 電磁軸承-轉子系統控制框圖

電磁軸承-轉子系統的常規控制框圖如圖2 所示，位移傳感器采集轉子的實際位置，將該位置與給定的期望懸浮位置相比較，所得位置偏差經過控制器處理和功率放大器放大后輸出到電磁軸承-轉子系統，產生可控電磁力，從而使轉子的實際懸浮位置緊緊跟隨期望位置，使位置偏差為0。因電磁軸承-轉子系統具有非線性和耦合性，難以建立準確模型將控制器參量化，故可采用逆系統方法[10]設計非線性系統控制器來實現電磁軸承的解耦控制，圖中逆系統I(s)是電磁軸承-轉子R(s)的逆，將所求得的電磁軸承-轉子的逆系統I(s)與原系統R(s)級聯，那么這個級聯后的系統就能使輸出信號與輸入信號相同，實現解耦控制。

為求得電磁軸承-轉子系統的逆系統，實現電磁軸承徑向x和y方向之間的解耦和轉子x和y方向上平移和轉動之間的解耦，在動力學模型基礎上對電磁軸承-轉子系統進行可逆性分析。

式（2）（3）中，因所采用的功放為電流型功率放大器，所以在構建電磁軸承系統的狀態空間模型時[15]，以加在電磁軸承上的控制電流作為輸入變量，即：

以左右電磁軸承電磁力的作用下轉子在x、y軸方向上的位移量作為輸出變量，即：

選取狀態空間模型的中間狀態變量為：

忽略系統外在的干擾力，在不考慮時滯對系統的影響下，結合式（1）可得電磁軸承-轉子系統的狀態方程為：

結合式（2）～（6）可得電磁軸承-轉子系統的輸出方程為：

為得到系統輸入輸出的映射關系，由式（1）可知轉子的徑向位移的微分是電磁力的函數，而電磁力又是控制電流的函數。目前為止，在求逆系統過程中，基本采用Interactor算法[16]，分別對式(5)的輸出函數中的每一個元素不斷求導，直到得到求導表達式各分量均顯含輸入變量，在一次求導后，得出的是電磁力F的一次積分函數，輸入向量并不能顯性表示，只有在二次求導時輸入向量才顯性表示。具體計算如下：

由式（3）可知，電磁軸承-轉子系統的左右徑向電磁力Flx、Frx、Fly、Fry是關于各徑向輸入變量控制電流ilx、irx、ily、iry的方程，計算可得Jacobi 矩陣J如下：

其中：

由式（10）可知，矩陣J的秩是4，為滿秩矩陣，則行向量與列向量線性無關，即每一個輸入輸出量都不能由其他矢量的線性組合所表示，各自獨立存在。故計算可得矩陣J的行列式如下：

當電磁軸承-轉子懸浮時，受離心力、重力等因素影響，轉子的懸浮位置并非固定不變，那么必有偏差位置經控制器產生的控制電流存在，即ilx，irx，ily，iry≠0，進而在磁吸力的影響下轉子徑向位移 量Xl，Xr，Yl，Yr≠0，則 式（11）的，也 就是說矩陣J為非奇異矩陣。又由于系統的向量相對階為：

滿足α1+α2+α3+α4=8 ≤n（n是中間狀態變量的個數），可見電磁軸承-轉子系統的逆存在，其逆系統函數表達式為：

為得出逆系統靜態非線性映射關系，將原系統的輸出作為逆系統的輸入，故進一步假設存在變量V，滿足：

由以上分析可得電磁軸承的逆系統為二階系統，結合式（13）與隱函數唯一理論可得最終逆系統的表達式為：

式（15）表明，經過對電磁軸承-轉子系統采用逆系統解耦方法后，將存在耦合的徑向四自由度解耦成4 個彼此獨立的單輸入單輸出傳遞函數為的偽線性系統。

2 電磁軸承的逆系統控制設計

結合圖2 電磁軸承-轉子系統的控制模型，首先設計PID 控制器作為懸浮控制器[11]，然后將此控制器與BP 網絡訓練后的逆系統級聯，通過對模型參數的合理調節，實現電磁軸承-轉子系統的解耦控制。圖3 為電磁軸承-轉子系統的神經網絡逆系統解耦控制框圖，圖中Yl*、Yr*、X1*、Xr*為期望輸出量，即電磁軸承處在期望懸浮位置的徑向位移量。將采集的實際位置與期望懸浮位置比較后，經過神經網絡逆控制器輸出控制信號，從而實現對電磁軸承-轉子系統的解耦控制。

圖3 電磁軸承系統整體解耦控制框圖

3 仿真及實驗

3.1 實驗數據采集

由以上分析可知，以系統的輸出信號及其導數，即電磁軸承在x、y軸上的徑向位移量的一階導數和二階導數作為輸入量；以系統的輸入信號，即使處于相對懸浮位置時的控制電流作為輸出量，來構建神經網絡逆系統的訓練模型。為了使采樣數據包含足夠多的系統穩態響應信息，選用采樣頻率為10 k，采樣時間為0.1 ms，獲取5 000 個樣本。為了保證采樣數據的精度要求，對采樣數據進行保留4 位有效數組的數據預處理。

3.2 神經網絡模型訓練

在模型的訓練過程中，保證系統特征信息正確的情況下，將樣本數據作歸一化處理，根據數據內容和樣本大小，文中選取三層BP 神經網絡結構，其中輸入層節點數為12，隱含層節點數為15，輸出層節點數為4。采用基本梯度下降法可得在最大訓練次數15 000 次處有最小誤差為0.009 431，此模型的訓練精度基本達到所需要求。

在神經網絡的訓練過程中，為防止訓練網絡飽和，將這5 000 組樣本數據，分為訓練集、驗證集和測試集，以70%、15%和15%的比例進行分配。可得圖4 所示的回歸分析圖，在刨除異常點的情況下，可見訓練數據、驗證數據和測試數據擬合程度較好。圖中R值基本處于0.83 左右，接近于1，說明網絡有較好的線性擬合程度。

圖4 BP神經網絡回歸分析圖

3.3 實驗研究與結果

實驗所用電磁軸承-轉子為水平橫置式電磁軸承，電磁軸承-轉子系統控制平臺基本結構參數如表1所示，采用dSPACE 作為核心數字控制器，電渦流傳感器作為位移傳感器，具體實驗平臺如圖5 所示。

1）左右電磁軸承徑向位移之間的懸浮控制

改變左邊電磁軸在x、y軸方向的位移設定值，使其增大約1.3×10-4m，如圖6（a）和圖7（a）所示。觀察此過程的徑向位移響應曲線，可以發現在常規PID控制方法下，左電磁軸承在x、y軸方向的位移變化會對右電磁軸承在相同徑向位置上產生影響較大，位移變化約為0.2×10-4m，偏離原平衡位置較為明顯。對比（b）（c）可以發現，在神經網絡逆系統控制方法下，左電磁軸承在x、y軸方向的位移變化對右電磁軸承在相同徑向位置上產生的影響很小，只有約0.1×10-4m 的位移變化，基本維持在原平衡位置，與PID控制方法相比，轉子在穩定懸浮時的位移極值減少了近50%，控制效果提升較為明顯。

表1 電磁軸承基本參數

圖5 電磁軸承-轉子實驗平臺

圖6 電磁軸承在x軸方向的位移響應曲線

圖7 電磁軸承在y軸方向的位移響應曲線

2）外加干擾下的懸浮控制

在x軸方向增加一個持續時間為0.1 s 的單位脈沖，常規PID 控制下的徑向位移響應曲線如圖8 所示，從圖中（a）（d）可以看出存在較大的超調現象，且響應時間也較大，約為0.3 s，位移振蕩幅度較大，且y軸方向也存在位置波動，可見徑向x軸的位移變化會對y軸產生影響。同樣可以發現y軸方向上單位脈沖對其產生較大的位移波動，振蕩幅度約為3.0×10-4m，同時x軸位移也存在波動，說明徑向x、y軸之間存在較大耦合。

圖9(a)(d)為神經網絡逆系統控制下的x軸和y軸方向的位移響應曲線，從圖中可以看出增加脈沖后所在方向超調量較小，為0.5×10-4m 左右，響應時間在0.2 s 左右，有較小振蕩幅度，在y軸方向幾乎不存在位置波動，說明耦合現象較弱。同樣從圖中(b)(c)也可看出y軸方向上的位移波動較小，其振蕩幅度約為2.0×10-4m，同時對x軸方向位移響應不產生影響。

結合圖6～圖9 可以看出，在神經網絡逆系統控制下，左邊電磁軸承在徑向上的位移變化對右邊的位移影響很小，且電磁軸承x、y方向的干擾力對x、y軸方向的徑向位移幾乎沒有影響。說明在不同徑向干擾力下的控制效果提升明顯，耦合性有較為明顯的減弱；同時x軸和y軸方向的位移超調最大約為0.6×10-4m 和1.0×10-4m，可見x和y軸方向施加的干擾力對徑向位移影響十分有限。實驗表明，采用神經網絡逆系統控制方法，在x、y軸方向上施加的干擾力只對該方向的徑向位移產生影響，而不會對其他方向的位移產生影響，轉子徑向位移之間的解耦效果明顯。說明相較于常規PID 控制，轉子在神經網絡逆系統控制方法下可以實現徑向懸浮力解耦并保持轉子的穩定運行。

圖8 干擾脈沖下常規PID控制方法的徑向位移

圖9 干擾脈沖下神經網絡逆系統控制方法的徑向位移圖

4 結論

文中通過建立電磁軸承-轉子動力學模型和可逆性分析，證明了電磁軸承-轉子系統是可逆的，并采用BP 神經網絡構建逆系統，將逆系統與原系統級聯，提出一種基于神經網絡逆系統的電磁軸承-轉子系統解耦控制方法，實現非線性耦合系統的線性解耦。通過dSPACE 控制平臺對電磁軸承-轉子進行懸浮仿真實驗，結果表明，通過此方法可使電磁軸承-轉子系統保持穩定，并且能夠在干擾力下有著較好的懸浮控制效果，實現了徑向力之間的解耦控制，使電磁軸承-轉子系統具有良好的穩定性和一定的抗干擾能力，提高了電磁軸承-轉子系統的懸浮性能。